人教A版2019年高中数学选修1-2创新应用：课下能力提升(一)含解析

课下能力提升(一)[学业水平达标练] 题组1 线性回归分析1．关于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的也可以是负的C ．在回归分析中，如果r 2＝1或r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1)2．为了研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，已知两人计算过程中x ，y 分别相同，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2一定平行B ．l 1与l 2重合C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交3．若某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e i (单位：亿元)(i ＝1,2，…)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e i |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5亿元4．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)题组2残差分析6．关于残差图的描述错误的是()A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小7．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()解析：选A用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．8．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和()A．越大B．越小C．可能大也可能小D．以上均错9．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为()A．第四个B．第五个C．第六个D．第七个10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组数据为：求出y关于x参考数据：∑i ＝15x i y i ＝3 992，∑i ＝15x 2i ＝1 660.[能力提升综合练]1．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元3．某饮料店的日销售收入y (单位：百元)与当天平均气温x (单位：度)之间有下列数据：y 之间的三个线性回归方程：①y ^＝－x ＋2.8，②y ^＝－x ＋3，③y ^＝－1.2x ＋2.6；其中正确的是( )A ．①B ．②C ．③D ．①③4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′5．某种商品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下关系：(单位：万元)y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________． 6．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．7．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．答案 [学业水平达标练]题组1 线性回归分析1．解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r ≤1.2．解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(x ，y )，故C 正确． 3．解析：选C y ^＝0.8×10＋2＋e i ＝10＋e i ， ∵|e i |<0.5， ∴9.5＜y ^<10.5.4．解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好． 5．解：(1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 题组2 残差分析6．解析：选C 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R 2的值越大，故描述错误的是选项C.7．解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．8．解析：选B 因为R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2，所以当R 2越大时，∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小，即残差平方和越小．9．解析：选C 由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.10．解：作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．因为x ＝22＋20＋18＋16＋145＝18，y ＝37＋41＋43＋50＋565＝45.4.所以b ^＝3 992－5×18×45.41 660－5×182＝－2.35，a ^＝45.4－(－2.35)×18＝87.7. 所以回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7. y i －y ^i 与y i －y －的值如下表：计算得∑i ＝15(y i －y ^i )2＝8.3，∑i ＝15(y i －y －)2＝229.2，所以R 2＝1－8.3229.2≈0.964.因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果比较好． [能力提升综合练]1．解析：选B 选项A 与B 中的残差图都是水平带状分布，并且选项B 的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B 中回归模型的拟合效果最好，选B.2．解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a ^＝y －－b ^x －＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^＝9.4x ＋9.1， 把x ＝6代入得y ^＝65.5.3．解析：选A 回归方程y ^＝b ^x ＋a ^表示的直线必过点(x ，y )，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.4．解析：选C 过(1,0)和(2,2)的直线方程为y ′＝2x －2， 画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，显然，b ′>b ^，a ^>a ′，故选C.5．解析：当广告费x ＝5时，y ^＝6.5×5＋17.5＝50，残差为60－50＝10. 答案：106．解析：由相关指数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案：85% 15%7．解：(1)由题意知n ＝10， x ＝1n ∑i ＝110x i ＝110×80＝8，y ＝1n ∑i ＝110y i ＝110×20＝2，所以b ^＝∑i ＝110x i y i －n x －y －∑i ＝110x 2i －n x －2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3， a ^＝y －b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)将x ＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。