2020九年级数学下册 第27章 27.2.3 切线 27.2.3.1 切线的判定与性质同步练习 (新版)华东师大版

27.2 与圆有关的位置关系3.切线第1课时切线的判定与性质教学目标1.掌握切线的判定定理与切线的性质定理.2. 能够运用切线的判定方法判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.3.会运用圆的切线的判定与性质来解决相关问题.教学重难点重点：理解并掌握圆的切线的判定定理与切线的性质定理.难点：能运用圆的切线的判定定理与性质定理解决问题.教学过程导入新课教师提出问题：下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？学生回答：相切.教师：你是怎样判断出图中的直线与圆相切的？如何界定直线与圆是否只有一个公共点？教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其他方法．(板书课题)探究新知1.切线的判定定理【做一做】如图，画一个⊙Ｏ及半径OA,经过⊙O的半径OA 的外端A，画一条直线l垂直于这条半径，这条直线与圆有几个公共点？（师生互动）引导学生动手操作并思考回答.教学反思教学反思学生：从图中可以看出，对直线l 上除点Ａ外的任一点Ｐ,必有OP >OA ， 即点Ｐ位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所以直线l 是圆的切线. 【问题】已知⊙O 上一点A ，怎样根据圆的切线定义过点A 作⊙O 的切线？师生活动：学生尝试作图，教师适时点拨.教师追问：（1）圆心O 到直线AB 的距离与圆的半径有什么数量关系? （2）二者有什么位置关系？为什么？师生活动：（小组讨论，老师点拨）抓好两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径.【归纳总结】1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点【归纳总结】 判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：1.定义法：直线与圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d ＝r )时，直线与 圆相切；3.判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教学反思【新知应用】例 1 如图，直线AB 经过⊙O 上的点Ａ，且AB =OA ，∠ＯBA =45°. 求证：直线AB 是⊙O【探索思路】（学生先独立思考，教师适时点拨）由于AB 经过⊙O 上的点Ａ，所以OA 是半径，只要证明OA ⊥AB 即可.【证明】∵AB =OA ，∠ＯBA =45°，∴∠A ＯB =∠ＯBA =45°，∴∠ＯAB =90°. 又∵点Ａ在⊙O 上， ∴OA 是⊙O 的半径， ∴直线AB 是⊙O 的切线． 即学即练已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB . 求证：直线AB 是⊙O 的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时点拨，由于AB 过⊙O 上的点C ，所以连结OC ，只要证明AB ⊥OC 即可.【证明】连结OC .∵ OA ＝OB ,CA ＝CB ,∴ OC 是等腰三角形OAB 底边AB 上的中线.∴ AB ⊥OC .∵ OC 是⊙O 的半径, ∴ AB 是⊙O 的切线.【归纳总结】证明直线AB 是⊙O 的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型①，所以连结圆心与切点证垂直.2.切线的性质定理 问题：如图，如果直线l 是⊙O 的切线，点A 为切点，那么OA 与l 垂直吗？师生活动：（小组讨论，老师点拨）直接证明比较困难，可以运用“反证法”.“反证法”分三步证明，即①假设原命题不成立；②在假设成立的条件下，推出矛盾；③得出结论，假设不成立.【解】①假设OA 与l 不垂直,过点O 作一条直线垂直于l ,垂足为M .②则OM <OA ,即圆心到直线l 的距离小于⊙O 的半径, 因此, 直线l 与⊙O 相教学反思交. 这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾.③所以⊙O的半径OA与直线l垂直.【归纳总结】1.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.2.应用格式∵直线l是⊙O的切线，A是切点，∴直线l⊥OA.【新知应用】例2如图, △ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.师生活动：学生先独立思考，教师适时引导，根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是⊙O的半径，因此只需要证明OE＝OD.【证明】如图，过点O作OE⊥AC,垂足为E,连结OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点.∴AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∴AC是⊙O的切线.【归纳总结】证明直线AC是⊙O的切线，有两种类型：①已知切点,连结切点与圆心，证垂直；②作垂直，证明圆心到垂足的线段长等于半径.此题是类型②，所以作OE⊥AC，垂足为E，证明OE等于半径.例3如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连结CD，CE，且CE是⊙O的切线.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AB＝4，求OABC的面积.教学反思师生活动：(引发学生思考，教师适时点拨)(1)要证明CD是切线的关键是作出正确的辅助线.(2)已知四边形OABC是平行四边形，有底边长，求其面积，还要得到哪个关键量？有切线就有垂直，利用勾股定理能得到哪条边长？(1)【证明】连结OD.∵CE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°.∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ，∴∠EOC ＝∠A ，∠COD ＝∠ODA .∵OD ＝OA ，∴∠A ＝∠ODA ，∴∠EOC ＝∠DOC .在△EOC 和△DOC 中， ∵ OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△EOC ≌△DOC (SAS)， ∴∠ODC ＝∠OEC ＝90°，∴OD ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线. (2)【解】过点D 作DF ⊥OC 于点F .在Rt △CDO 中，OC ＝AB ＝4，OD ＝OA ＝BC ＝3，由勾股定理，得CD＝42－32＝7.∵S △CDO ＝12CD ·OD ＝12OC ·DF ， ∴DF ＝CD×OD OC ＝7×34＝374，∴S 平行四边形OABC ＝OC ·DF ＝4×374＝37. 【归纳总结】(学生总结，老师点评)有关圆的考查中，切线的判定与性质经常综合运用，在此类问题中，要注意分清是运用判定定理还是性质定理，不能混淆.有时还常常运用判定定理得到切线，再运用性质定理求解，注意解答的逻辑性.课堂练习1.判断下列命题是否正确.（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（ ）（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（ ）（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ）（4）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ） （5）过直径一端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，直线DA 与⊙O 相切于点A ，DO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC ＝21°，则∠ADC 的度数为（ ）A.46°B.47°C.48°D.49°第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB 是直径，∠BCD ＝120°，过D点的切线PD 与直线AB 交于点P ，则∠ADP 的度数为（ ）A.40°B.35°C.30°D.45°4.如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12,AC ＝8,则⊙O 的半径长为 .5.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D ＝ .6.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1 cm 的⊙P 的圆教学反思心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm ，如果⊙P 以1 cm/s 的速度沿A 向B 的方向移动，则经过 秒后⊙P 与直线CD 相切.第5题图 第6题图7.如图,在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于点P ，PE ⊥AC 于点E . 求证:PE 是⊙O 的切线.第7题图 第8题图8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点P ，E 是BC 边上的中点，连结PE ，则PE 与⊙O 相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由.参考答案 1.（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√ 2.C 3.C 4. 5 5.40°6.4或87.【证明】如图，连结OP .∵ AB ＝AC ,∴ ∠B ＝∠C .∵ OB ＝OP ，∴ ∠B ＝∠OPB ， ∴ ∠OPB ＝∠C .∴ OP ∥AC . ∵ PE ⊥AC ，∴ PE ⊥OP .∴PE为⊙O 的切线.第7题答图 第8题答图8.【解】PE 与⊙O 相切.证明：如图，连结OP ，BP ，则OP ＝OB ， ∴ ∠OBP ＝∠OPB .∵ AB 为⊙O 的直径，∴ BP ⊥AC . 在Rt △BCP 中，E 为斜边中点，∴ PE ＝12BC ＝BE ，∴ ∠EBP ＝∠EPB .∴ ∠OBP ＋∠PBE ＝∠OPB ＋∠EPB ，即∠OBE ＝∠OPE . ∵ BE 为⊙O 的切线，∴ AB ⊥BC ，教学反思∴ OP ⊥PE ，即PE 是⊙O 的切线. 课堂小结1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用格式：OA O BC O BC OA A ⎫⎬⊥⎭是⊙的半径为⊙的切线于点2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.应用格式：∵直线l 是⊙O 的切线，A 是切点，∴直线l ⊥OA .布置作业教材52页练习第1－4题.板书设计27.2与圆有关的位置关系3 切线第1课时 切线的判定与性质1.切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.常用的辅助线方法.4.技巧：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径.。

27.2.3 切线第1课时切线的判定与性质知|识|目|标1．通过画图、探究，总结切线的判定方法，能判断一条直线是不是圆的切线．2．通过辨析、思考，能准确理解圆的切线的性质．目标一能判断一条直线是不是圆的切线例1 教材例2针对训练已知：如图27－2－7，AD是⊙O的直径，直线BC经过点D，并且AB ＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：直线BC是⊙O的切线．图27－2－7【归纳总结】1．判定圆的切线的“三种方法”：(1)定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)求值法(d＝r)：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．(3)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．判定圆的切线常作的辅助线：(1)如果已知直线过圆上一点，那么连结这点和圆心，得到半径，证明这条半径垂直于已知直线即可，可简记为有交点，连半径，证垂直．(2)如果已知直线与圆没有明确是否有公共点，那么过圆心作已知直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可简记为无交点，作垂线，证半径．目标二理解圆的切线的性质例2 (1)[教材补充例题] 如图27－2－8，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点．如果∠PAB＝30°，那么∠AOB＝________°.图27－2－8(2)如图27－2－9所示，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连结CA，CB，AB＝12 cm，∠ACD＝30°，求AC的长．图27－2－9【归纳总结】切线的三条性质及辅助线的作法：1．三条性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；(3)圆的切线垂直于过切点的半径．2．辅助线的作法：连结切点与圆心，得垂直关系．知识点一切线的判定定理经过圆的半径的外端且__________________的直线是圆的切线．知识点二切线的性质定理圆的切线________经过切点的半径．如图27－2－10，在△ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．图27－2－10证明：如图27－2－11，设AC与⊙O的公共点为E.连结OD，OE.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OB＝OC，OD＝OE，∴△OBD≌△OCE，∴∠OEC＝∠ODB＝90°，∴AC与⊙O相切．图27－2－11 以上证明过程正确吗？若不正确，请改正．教师详解详析【目标突破】例1 证明：∵AB ＝AC(已知)，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAD ＝∠CAD ，∴AD ⊥BC ，即OD ⊥BC.又∵OD 是⊙O 的半径，且BC 经过点D ，∴直线BC 是⊙O 的切线(切线的判定定理)．例2 (1)[答案] 60[解析] 由于△OAB 为等腰三角形，要求∠AOB ，只需求出∠OAB.因为PA 是⊙O 的切线，所以∠OAB ＋∠PAB ＝90°，则∠OAB ＝90°－30°＝60°，所以△OAB 为等边三角形，所以∠AOB ＝60°.(2)解：连结OC.因为DC 是⊙O 的切线，所以OC ⊥DC ，而∠ACD ＝30°，所以∠ACO ＝60°.又因为OA ＝OC ，所以△AOC 是等边三角形，所以AC ＝OA ＝12AB ＝12×12＝6(cm )． 【总结反思】[小结] 知识点一 垂直于这条半径知识点二 垂直于[反思] 不正确．改正如下：过点O 作OE ⊥AC 于点E ，连结AO ，DO.∵AB ＝AC ，O 是BC 的中点，∴AO 平分∠BAC.又∵AB 与⊙O 相切，∴OD ⊥AB ，∴OD ＝OE ，∴AC 与⊙O 相切．。