第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S（α±β）：sin（α±β）＝①sinαcosβ±cosαsinβ.C（α±β）：cos（α±β）＝②cosαcosβ∓sinαsinβ.T（α±β）：tan（α±β）＝③tanα±tanβ1∓tanαtanβ（α，β，α±β≠kπ＋π2，k∈Z）.注意在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tan α，tan β，tan（α±β）都有意义.2.二倍角公式S2α：sin 2α＝④2sinαcosα.C2α：cos 2α＝⑤cos2α－sin2α＝⑥2cos2α－1＝⑦1－2sin2α.T2α：tan 2α＝⑧2tanα1−tan2α（α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z）.（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.3.辅助角公式a sin α＋b cos α＝√a 2＋b 2sin （α＋φ）（其中a ≠0，sin φ＝√a 2＋b 2，cos φ＝√a 2＋b 2，tan φ＝⑨b a）.规律总结1.两角和与差的正切公式的变形tan α±tan β＝tan （α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－tanα＋tanβtan （α＋β）＝tanα－tanβtan （α－β）－1.2.降幂公式：sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1+cos2α2；sin αcos α＝12sin 2α.3.升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1；cos 2α＝1－2sin 2α.4.其他常用变式sin 2α＝2tanα1+tan 2α；cos 2α＝1－tan 2α1+tan 2α；tan α2＝sinα1+cosα＝1－cosαsinα；1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2；1－sin 2α＝（sin α－cos α）2.规律总结 1.积化和差cos α·cos β＝12[cos （α＋β）＋cos （α－β）]；sin α·sin β＝－12[cos （α＋β）－cos （α－β）]； sin α·cos β＝12[sin （α＋β）＋sin （α－β）]；cos α·sin β＝12[sin （α＋β）－sin （α－β）].2.和差化积 sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2；sin α－sin β＝2cosα＋β2sinα－β2；cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2；cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.注意 和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.1.[2023北京海淀区月考]若tan （α－5π12）＝12，则tan （α－π6）的值为（ A ） A.3B.13C.－3D.－13解析 因为tan （α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan （α－π6）－11+tan （α－π6）＝12，所以tan （α－π6）＝3.2.已知sin α＝1517，α∈（π2，π），则cos （π4－α）的值为7√234.解析 ∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cos α＝－√1－sin 2α＝－√1－（1517）2＝－817， ∴cos （π4－α）＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝√22×（－817）＋√22×1517＝7√234. 3.[全国卷Ⅱ]若sin x ＝－23，则cos 2x ＝ 19.解析 cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×（－23）2＝19. 4.[易错题]1+tan15°1－tan15°＝ √3 .解析1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan （45°＋15°）＝tan 60°＝√3 .5.若sin x －√3cos x ＝2sin （x －φ），φ＞0，则φ的最小值为 π3 .解析 因为sin x －√3cos x ＝2（12sin x －√32cos x ）＝2（sin x cos φ－cos x sin φ），所以cos φ＝12，sin φ＝√32.因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.6.[积化和差]函数f （x ）＝sin （x ＋π3）cos x 的最小值为 －12＋√34.解析 因为f （x ）＝12[sin （x ＋π3＋x ）＋sin （x ＋π3－x ）]＝12sin （2x ＋π3）＋√34，所以函数f （x ）的最小值为－12＋√34.7.[和差化积]在△ABC 中， sin A ＝cos B ＋cos C ，则△ABC 的形状是 直角三角形 . 解析 cos B ＋cos C ＝2cosB ＋C 2·cosB －C 2＝2sin A 2·cosB －C 2.因为sin A ＝cos B ＋cos C ，所以2sin A 2cos A 2＝2sin A 2·cos B －C 2，因为sin A2≠0，所以cos A2＝cos B －C 2，易得A 2与｜B －C ｜2均小于π2，所以A2＝｜B －C ｜2，即A ＝｜B －C ｜，所以A ＋C ＝B 或A ＋B ＝C ，即π－B ＝B 或π－C ＝C ，即B ＝π2或C ＝π2，所以△ABC 是直角三角形.研透高考 明确方向命题点1 和、差、倍角公式的直接应用例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin （α－β）＝13，cos αsin β＝16，则cos （2α＋2β）＝（ B ）A.79B.19C.－19D.－79解析 依题意，得{sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinβ＝16，所以sin αcos β＝12，所以sin （α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β＝12＋16＝23，所以cos （2α＋2β）＝1－2sin 2（α＋β）＝1－2×（23）2＝19，故选B.（2）[全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan （θ＋π4）＝7，则tan θ＝（ D ） A.－2B.－1C.1D.2解析 由已知得2tan θ－tanθ+11－tanθ＝7，得tan θ＝2.方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用； （3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1 （1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（ A ） A.√53B.23C.13D.√59解析 ∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3（2cos 2α－1）－8cos α＝5，∴6cos 2α－8cos α－8＝0，∴3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－23.∵α∈（0，π），∴sin α＝√1－cos 2α＝√53.故选A.（2）[2024广西玉林市联考]已知cos （α＋β）＝13，cos αcos β＝12，则cos （2α－2β）＝（ B ） A.－79B.－19C.19D.79解析 由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β，即13＝12－sin αsin β，可得sin α·sin β＝16，则cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝12＋16＝23，所以cos （2α－2β）＝2cos 2（α－β）－1＝2×（23）2－1＝－19.故选B.命题点2 和、差、倍角公式的逆用与变形用 例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cos α＝1+√54，则sin α2＝（ D ）A.3－√58B.－1+√58C.3－√54D.－1+√54解析 cos α＝1+√54＝1－2sin 2α2，得sin 2α2＝3－√58＝6－2√516＝（√5－14）2，又α为锐角，所以sin α2＞0，所以sin α2＝－1+√54，故选D.（2）[2021全国卷乙]cos 2π12－cos 25π12＝（ D ）A.12B.√33C.√22D.√32解析 解法一 原式＝1+cosπ62－1+cos5π62＝√32－（－√32）2＝√32.解法二 因为cos 5π12＝sin （π2－5π12）＝sin π12，所以cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝ cos （2×π12）＝cos π6＝√32.故选D. （3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin （α＋β）＋cos （α＋β）＝2√2cos （α＋π4）sin β，则（ C ） A.tan （α－β）＝1 B.tan （α＋β）＝1 C.tan （α－β）＝－1D.tan （α＋β）＝－1解析 sin （α＋β）＋cos （α＋β）＝√2sin （α＋β＋π4）＝2√2sin βcos （α＋π4），所以 sin （α＋π4）cos β＋sin βcos （α＋π4）＝2sin βcos （α＋π4），整理得sin （α＋π4）cos β－sin βcos （α＋π4）＝0，即sin （α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝k π，k ∈Z ，所以tan （α－β）＝tan （k π－π4）＝－1.方法技巧1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan α＋ tan β＝tan （α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚. 训练2 （1）在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝2√33，则tan A tan B 的值为（ B ）A.14B.13C.12D.53解析 解法一 由题意得tan （A ＋B ）＝－tan C ＝－tan 120°＝√3，所以tan （A ＋B ）＝tanA ＋tanB1－tanAtanB ＝√3，即2√331－tanAtanB ＝√3，解得tan A tan B ＝13，故选B.解法二 由已知，可取A ＝B ＝30°，则tan A tan B ＝√33×√33＝13，故选B.（2）[2022北京高考]若函数f （x ）＝A sin x －√3cos x 的一个零点为π3，则A ＝ 1 ； f （π12）＝ －√2 .解析 依题意得f （π3）＝A ×√32－√3×12＝0，解得A ＝1，所以f （x ）＝sin x －√3cos x ＝2sin （x －π3），所以f （π12）＝2sin （π12－π3）＝－√2.命题点3 角的变换问题例3 （1）[2024山东省部分学校联考]已知sin （x ＋π12）＝－14，则cos （5π6－2x ）＝（ C ） A.78B.18C.－78D.－18解析 因为sin （x ＋π12）＝－14，所以cos （5π6－2x ）＝cos （π－π6－2x ）＝－cos （π6＋2x ）＝－[1－2sin 2（x ＋π12）]＝－[1－2×（－14）2]＝－78.故选C.（2）若tan （α＋2β）＝2，tan β＝－3，则tan （α＋β）＝ －1 ，tan α＝ 12 . 解析 因为tan （α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan （α＋β）＝tan （α＋2β－β）＝tan （α+2β）－tanβ1+tan （α+2β）tanβ＝2－（－3）1+2×（－3）＝－1，tan α＝tan （α＋β－β）＝－1－（－3）1+(－1）×（－3）＝12.方法技巧角的变换问题的解题思路1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－α）等.训练3 （1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin （α＋π6）＝√63，则sin （π6－2α）＝（ C ） A.－2√23B.2√23C.－13D.13解析 设α＋π6＝t ，则α＝t －π6，sin t ＝√63，∴sin （π6－2α）＝sin[π6－2（t －π6）]＝sin （π2－2t ）＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝1－2×（√63）2＝－13，故选C.（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos （π4－α）＝35，sin （3π4＋β）＝513，则sin （α＋β）的值为5665.解析 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sin （π4－α）＝ －√1－cos 2（π4－α）＝－45，cos （3π4＋β）＝－√1－sin 2（3π4＋β）＝－1213，∴sin （α＋β）＝－cos[π2＋（α＋β）]＝－cos[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cos （3π4＋β）cos （π4－α）－sin （3π4＋β）sin （π4－α）＝1213×35－513×（－45）＝5665.。
