次曲线上的四点共圆问题的完整结论

用非圆二次曲线上四点共圆定理解题随着现代数学教育不断发展，许多理论中的定理和理论也不断出现，而“用非圆二次曲线上四点共圆定理”就是其中一个相当重要的内容。

这个定理的定义是：在某一个二次曲线上，若能将这条曲线上任意四点连成一个圆，则这条曲线必定是一条非圆二次曲线。

下面就来探讨下这个定理的证明。

假设二次曲线上四点能够形成一个圆，其中心为$O(x_o,y_o)$，半径为$R$，四点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，$D(x_4,y_4)$。

那么可以得到：$${left| overrightarrow {OA} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OB} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OC} right|} ^2 = {R^2} , {left| overrightarrow {OD} right|} ^2 = {R^2}$$因此，我们可以得到：$$begin{array}{l}(x_1-x_o)^2 + (y_1-y_o)^2 = R^2(x_2-x_o)^2 + (y_2-y_o)^2 = R^2(x_3-x_o)^2 + (y_3-y_o)^2 = R^2(x_4-x_o)^2 + (y_4-y_o)^2 = R^2end{array}$$同时，我们知道，任意一条二次曲线都可以用一般形式表达，即：$$ ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$$由此，我们可以用4个方程和4个未知数$x_o, y_o, a, b, c, d, e, f$来求解这条曲线，其中，$x_o,y_o$分别为曲线上四点的共圆中心，而$a,b,c,d,e,f$是曲线的参数，我们可以通过求解它们的值来确定曲线的位置和形状。

因此，若两条曲线的参数相同，那么它们就是一条曲线；若不同，则不是一条曲线。

四点共圆引言在几何学中，四点共圆是一个经典的概念，它指的是四个不在一条直线上的点可以构成同一个圆。

本文将介绍四点共圆的基本概念、性质以及证明方法。

基本概念四点共圆是指当给定四个不在一条直线上的点时，存在一个圆可以通过这四个点。

为了方便讨论，我们将这四个点依次标记为A、B、C和D，并假设它们不共线。

这样，我们可以通过构造圆来证明是否四点共圆。

性质根据四点共圆的定义，我们可以得出以下性质：•任意三个点确定一个圆，即如果取三个点A、B和C，那么存在一个圆可以通过这三个点。

•如果四个点A、B、C和D共圆，那么它们的任意三个点仍然共圆，即如果A、B、C和D共圆，那么A、B和C共圆，A、B和D共圆，以及B、C和D共圆等。

证明方法下面我们将介绍两种常见的证明方法，即推论法和向量法。

推论法推论法是一种常见的证明四点共圆的方法，它基于欧氏几何的公理和定理。

以下是一个简单的推论法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。

为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。

首先，选择其中三个点A、B和C。

根据性质1，存在一个圆可以通过这三个点，假设这个圆为O1。

接下来，我们选择点D。

我们希望证明点D也在圆O1上。

为此，我们需要证明点D和圆O1的半径相等。

利用欧氏几何中的定理，我们可以证明从圆心到半径上任意一点的距离相等。

因此，我们只需要证明点D到圆心O1的距离与其他三个点到圆心O1的距离相等。

通过推理，我们可以得出结论：点D也在圆O1上。

因此，四个点A、B、C和D共圆。

向量法向量法是另一种常见的证明四点共圆的方法。

它基于向量的运算和性质。

以下是一个简单的向量法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。

为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。

假设圆的圆心为O，我们需要证明向量OA、OB、OC和OD共面。

根据向量运算的性质，我们可以使用向量混合积来判断向量是否共面。

根据向量混合积的定义，我们有以下公式：(OA × OB) · (OC × OD) = (OA · OC) × (OB · OD) - (OA · OD) × (OB · OC)其中，× 表示向量的叉乘，·表示向量的点乘。

四点共圆的性质
四点共圆是一个几何性质，指的是一个平面上任意取四个点，如果这四个点共面且在同一个圆上，那么这四个点就满足四点共圆的性质。

四点共圆的性质是几何学中常见的定理之一，具有重要的理论意义和实际应用价值。

四点共圆的充要条件
要证明四个点共圆，通常需要证明它们在同一个圆周上。

四点共圆的充要条件可以表述为：四个点共圆的充分必要条件是存在一个圆使得这四个点都在这个圆周上。

举例说明
举一个例子来说明四点共圆的性质。

假设有四个点A、B、C、D，它们共面且在同一个圆周上。

我们可以通过连结这四个点，构成四条弦，然后验证这四条弦是否有一个公共圆。

如果这四条弦有一个公共圆，那么就证明了这四个点共圆。

四点共圆的应用
四点共圆的性质在几何学中有广泛的应用。

在解决圆周问题和几何证明中，常常需要利用四点共圆的性质来简化问题或者证明。

另外，在工程和建筑等领域，四点共圆的性质也有重要的应用，例如在设计曲线和轨道时的定位和调整。

总结
四点共圆的性质是几何学中重要的定理，它描述了四个点在同一个圆周上的几何关系。

通过充分必要条件的分析和具体例子的讲解，我们可以更好地理解四点共圆的性质以及其在实际应用中的价值。

在学习几何学和解决实际问题时，我们可以灵活运用四点共圆的性质，提高问题的解决效率和准确性。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a ab b b aλ-=-.此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程； (2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2214x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y .可得222212121,144x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4x x x x y y y y +-=-+- 0121212120124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-0012CDy k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.。

老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下篇）老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。

本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。

四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。

以下从三个角度来梳理研究思路。

第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。

纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。

（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。

在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。

首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。

在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。

2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。

”进行证明。

找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。

3，公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。

4，外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。

其原理和对角互补法相似，不过多阐述。

5，圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。

它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。

6，证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。

四点共圆问题
熊斌
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2006(000)005
【总页数】5页(P2-5,48)
【作者】熊斌
【作者单位】华东师范大学数学系 200062
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论 [J], 甘志国
2.简解二次曲线上的四点共圆问题 [J], 甘志国
3.发掘教材习题价值,渗透数学探究方法——以一道“四点共圆”问题的教学为例[J], 崔竞
4.一道四点共圆问题的多解及其命题背景探究 [J], 郝结红;魏国兵
5.例谈高考中的“四点共圆”问题 [J], 杨虎
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

用二次曲线系求解四点共圆问题
高玉良
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2015(000)001
【摘要】解析几何是用代数的观点来研究几何问题，体现了用代数方法解决几何问题的优越性，它的条件多，知识点多，由于求解思路清晰，这类题往往“入手容易”，但计算量大，消耗时间长，易出现“答对困难”的情况，所以在解题中，尽量减少计算量，是迅速、准确解题的关键．笔者在最近的教学过程中，发现下面一类四点共圆问题可以用二次曲线系快速获解。

【总页数】3页(P14-16)
【作者】高玉良
【作者单位】浙江省平湖中学（当湖街道东湖大道831号）,314200
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.构建曲线系方程简解四点共圆问题
2.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
3.构建曲线系方程简解四点共圆问题
4.曲线系方程统一证明四点共圆问题
5.二次曲线上四点共圆的充要条件
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

四点共圆的充要条件
申建春
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】定理1 设有二次曲线
f_i:A_ix²+B_ixy+C<s ub>i</sub>y²+D_ix+E_iy+F<sub >i</sub>=0（i=1,2）。

如果f₁与f₂有四个交点,则这四点共圆的充要条件是:
【总页数】1页(P23-23)
【作者】申建春
【作者单位】湖南邵东杨塘中学 422827
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.“圆锥曲线上四点共圆充要条件”的统一证明及简单拓展 [J], 徐有祥;
2.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究 [J], 张乃贵
3.圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明 [J], 吴佐慧;刘合国
4.圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件 [J], 阮士杏;邹生书
5.圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的证明及应用 [J], 张志华; 武晓
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

四点共圆常用公式一、四点共圆的概念四点共圆是指平面上的四个点在同一圆上的几何关系。

如果四个点A、B、C和D共圆，即存在一个圆，使得这四个点都在圆上，那么我们称这四个点共圆。

二、四点共圆的性质1. 任意两条相交的弦所对的弧等于它们所夹的角这个性质可以用公式表示为：∠ACB = 1/2(α + β)，其中α和β为相交弦AB和CD所对的弧的度数。

2. 相交弦的交点到圆心的距离乘积相等如果弦AB和CD相交于点E，且E到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OE×OE'，其中OE'为E关于圆心O的对称点。

3. 弦上两点到圆心的距离乘积相等如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OA×OB。

4. 弦上两点到圆心距离的平方差等于弦长的平方如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，弦AB的长度为l，则有r1^2 - r2^2 = l^2。

三、常用公式1. 弦长公式已知弦所对的弧的度数为α，圆的半径为r，则弦的长度可以用公式表示为l = 2r×sin(α/2)。

2. 弦的中点与圆心的距离已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中点与圆心的距离可以用公式表示为d = sqrt((2r)^2 - l^2)。

3. 弦的中垂线长度已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中垂线的长度可以用公式表示为h = r - sqrt(r^2 - (l/2)^2)。

四、应用示例假设有一个圆心为O，半径为r的圆，其中AB和CD为两条相交的弦，交点为E。

已知弦AB的长度为l1，求弦CD的长度l2。

根据弦长公式，可得l1 = 2r×sin(α/2)，l2 = 2r×sin(β/2)。

其中α和β为弦AB和CD所对的弧的度数。

根据相交弦的交点到圆心的距离乘积相等的性质，可得r1×r2 = OE×OE'。

四点共圆问题的解题策略
沈雪明
【期刊名称】《数理天地:高中版》
【年(卷),期】2022()3
【摘要】1证明四点共圆例1已知直线l:y=x+m交抛物线C:y^(2)=4x于A,B两点,若点M,N在抛物线C上,且关于直线l对称,求证:A,B,M,N四点共圆.分析由于线段MN关于直线l对称,易知要使A,B,M,N四点共圆,AB必定是直径,所以有以下思路:(1)证明MA⊥MB或NA⊥NB;(2)确定圆心,证明共圆;(3)相交弦定理等.
【总页数】3页(P16-18)
【作者】沈雪明
【作者单位】江苏省木渎高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.应用“四点共圆”解题举例
2.初中数学解题课教学策略课例分析——以“勾股
定理中的翻折问题”解题教学为例3.初中数学解题课教学策略课例分析——以"勾股定理中的翻折问题"解题教学为例4.用非圆二次曲线上四点共圆定理
解题5.重本质形成解题思路探结构确定解题策略——以解析几何中“两根不对称”问题的求解为例
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立.推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0212y p k y y y AB -=-=+；.)图1高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-63 3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：结论1 抛物线22y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b aλ''-=-,此时曲线①即220x y c x d y e '''++++= ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.证明 由21,l l 组成的曲线即111222()()0a x b y c a x b y c ++++=所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b aλ-=-. 此时曲线③即220x y c x d y e '''++++= ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个交点共圆的充要条件即12120a a b b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.由此可得欲证成立. 高考题1 (2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点12P ⎫⎪⎭在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅.解 (1)(过程略)椭圆E 的方程是2214x y +=. (2)设1,1()A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,)M x y . 可得222212121,144x x y y +=+=，把它们相减后分解因式(即点差法)，再得 12121212()()()()4x x x x y y y y +-=-+- 0121212120124()4AB x y y x x k x x y y y -+====--+-0012CD y k x ==- 所以0AB CD k k +=，由推论1得,,,A B C D 四点共圆. 再由相交弦定理，立得=MA MB MC MD ⋅⋅.竞赛题1 (2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A 、B 为双曲线λ=-222y x 上的两点，点N (1,2)为线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点.(1)确定λ的取值范围；(2)试判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？并说明理由.简解 (1)用点差法可求得直线AB 的方程是1+=x y ，由直线AB 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得1->λ且0≠λ.得直线CD 的方程是3+-=x y ，由直线CD 与双曲线λ=-222y x 交于不同的两点，可得9->λ且0≠λ.所以λ的取值范围是),0()0,1(+∞⋃-.(2)在(1)的解答中已0AB CD k k +=，所以由推论1立得,,,A B C D 四点共圆.笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题，所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：高考题2 (2014年高考全国大纲卷理科第21题(即文科第22题))已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且PQ QF 45=. (1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于B A ,两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于N M ,两点，且N B M A ,,,四点在同一圆上，求l 的方程.(答案：(1)x y 42=；(2)01=--y x 或01=-+y x .)高考题3 (2011年高考全国大纲卷理科第21题(即文科的22题))如图1所示，已知O为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于B A ,两点，点P 满足=++OP OB OA 0.图1(1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：Q B P A ,,,四点在同一圆上.高考题4 (2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设B A ,是椭圆λ=+223y x 上的两点，点)3,1(N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与该椭圆交于D C ,两点.(1)确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；(2)试判断是否存在这样的λ，使得D C B A ,,,四点在同一圆上？并说明理由.(答案：(1)λ的取值范围是),12(+∞，直线AB 的方程是04=-+y x ；(2)当12>λ时时，均有D C B A ,,,四点在同一圆上.)高考题5 (2002年高考江苏卷第20题)设B A ,是双曲线1222=-y x 上的两点，点N )2,1(N 是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于D C ,两点，那么D C B A ,,,四点是否共圆？为什么？(答案：(1)1+=x y ；(2)是.)竞赛题2 (2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线22y x =及点(1,1)P ，过点P 的不重合的直线12l l 、与此抛物线分别交于点,,,A B C D .证明：,,,A B C D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补.图2推论 2 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：高考题6 (2009年高考辽宁卷理科第20(2)题)已知⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：21.) 高考题7 (2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：00212y p k y y y AB -=-=+；.)图3高考题8 (2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)推论 4 设二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.(本文中的所有结论及部分题目在文献[6]中均有论述.)参考文献1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：332 甘志国著.初等数学研究(II)下[M ] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.62-633 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):214 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-385 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-106 甘志国.二次曲线上的四点共圆问题的完整结论[J].数学通讯，2013(7下):40-41。

四点共圆的性质、判定及应用（一）柳州市龙城中学 谭兵一、四点共圆的概念：二、四点共圆的性质： （1（2）圆内接四边形的对角互补； （3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

三、四点共圆的判定方法：判定方法1：四点到某一定点的距离都相等 四点共圆．判定方法2：从被证的四点中先选出三点作一圆，若另一点也在这个圆上 四点共圆． 判定方法3：若凸四边形的对角互补 四个顶点共圆判定方法4：若凸四边形的一个外角等于其邻补角的内对角 判定方法5：共斜边的两个直角三角形 四个顶点共圆，且斜边为直径判定方法6：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧 四个顶点共圆． 判定方法7：（相交弦定理的逆定理）凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于P ，若PD⋅BP =PC ⋅AP 四个顶点共圆．判定方法8：（割线定理的逆定理）若凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于PD ⋅PC =PB ⋅PA 四个顶点共圆若四边形ABCD 内接于圆 BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB ．此四边形必内接于圆。

若BD ⋅AC = BC ⋅AD + CD ⋅AB 四边形ABCD 内接于圆．―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3．已知：如图所示，四边形ABCD 内接于圆，CE ∥BD 交AB 的延长线于E ．求证：AD · BE ＝BC · DC ．D ED C A D CA6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠B，△ABD的外接圆和BC交于E．求证：AD＝EC．性质1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．判定*5．正方形ABCD的中心为O，面积为1989 cm2．P为正方形内一点，且∠OPB＝45°，PA∶PB＝5∶14．求PB判定．A B7．已知：梯形ABCD中，AD＝BC，AB∥CD．求证：BD2＝BC2＋AB ·CD．托勒密定理DC9．在△ABC 中，∠A 的内角平分线AD 交外接圆于D ．连结BD,CD ．求证：)． 托勒密*8．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝4，AO ＝26，求AC 的长.**10．如图，AD 、BC 为过圆的直径AB 两端点的弦，且BD 与AC 相交于E 。

四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》(Loney著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是2 2这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆笃£ 1(a 0,b 0)上任一点A的坐标可a2 b2以表示为(acos , bsin )( R)，角就叫做点A的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理•这一条件是否充分，一直是悬案•在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决•到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献［3,4］).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：若两条直线h : y y0 k, (x x0)(i 1,2) 与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1 k20.文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍” •文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8):结论1抛物线y2 2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补结论2圆锥曲线mx2 ny21(mn 0,m n)的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献［5］中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确•但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论 4.定理 1 若两条二次曲线ax2 by2 cx dy e 0(a b)，a x2 b y2 cx d y e 0 有四个交点，则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2 2 2(ax by cx dy e) (ax b y cx d y e) 0 ①式①左边的展开式中不含xy的项，选1时，再令式①左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得也一？，此时曲线①即2 2xycxdyeO ②的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆•这就证得了四个交点共圆•定理2若两条直线l i : a x b i y c i 0(i 1,2)与二次曲线2 2:ax by cx dy e 0(a b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是aQ? a2d 0.证明由组成的曲线即(a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0所以经过它与的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(，不同时为0):2 2(ax by cx dy e) (a i x biy C i)(a2X b2y C2) 0 ③必要性•若四个交点共圆，则存在，使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy0 (否则③表示曲线，不表示圆)，所以a i b? a?b i 0.项的系数(a1b2 a2d) 0.而充分性•当a i b2 azb 0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选I时，再令式③左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即 a a i a2 b db2，得—•b a此时曲线③即x2 y2 cx dy e 0 ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹•而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆•这就证得了四个交点共圆•推论i若两条直线与二次曲线:ax2 by2 cx dy e 0(a b)有四个交点，贝U这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数•证明设两条直线为|j：ax b i y c i 0(i i,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是a id a?b i 0 •(i)当l i //I2即a i b2 a2t i时，得四个交点共圆的充要条件即a i b2 a2t i 0也即a i a20 或b b20 •⑵当l i与l2不平行即a i b2 a2“时，由a4 a20 0得a4 0, a2 0 0，所以四个交点共圆的充要条件即 ai a20也即直线l 1,l 2的斜率均存在且均不为0且互为b i b 2相反数•由此可得欲证成立.个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P .3,- 在椭圆E 上.2(1) 求椭圆E 的方程；1(2) 设不过原点O 且斜率为一的直线I 与椭圆E 交于不同的两点 A , B ，线段AB 的中2点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C , D ，证明：MA MB MC MD .2解(1)(过程略)椭圆E 的方程是 —y 2 1.4⑵设A(X 1,yJ , Bgy)，线段AB 的中点为M(x °,y 。

四点共圆判定定理
四点共圆判定定理（Chebyshev点圆定理）是一个数学定理，它指出如果有四个点被
视为圆的圆心，那么它们就在同一个圆上。

它也可以用来判定是否四个点确实位于同一个
圆上。

定理的定义是：若4点 A，B，C，D 如果满足以下关系式，则这四点位于同一个圆上：（B-A）·（D-C）+(C-A)·(D-B)==0
本定理被普遍用于几何学建模及其他计算机图形应用。

例如，它可用于判断一个多边
形是否为凸多边形。

这是因为凸性可以通过验证每个三角形是否位于同一个圆上，并使用
四点共圆判定定理来完成该任务来确定的。

本定理归功于俄国数学家彻卜列夫，在十九世纪五十年代初期提出了这一发现，它被
称为彻卜列夫点圆定理。

他是一位拥有多种层面外露成就的科学家，他在微积分，抽象代数，数论，几何和数理统计方面都有有影响。

这个定理往往在处理图形问题的一般的应用中被使用，它是许多图形处理算法的一部分，例如多边形的凸包，三角剖分和路径规划等。

根据四点共圆判定定理的结果，可以很
容易地验证四点是否位于同一个圆上，而无需确定其他细节。

此外，它还可以用来确定圆心，半径和各个点之间的直线距离。

显然，如果你想要在
同一个圆中绘制多个图形，那么这个定理就会显得尤为有用了。