1
经济数学基础综合练习及参考答案
第一部分 微分学
一、单项选择题 1．函数()
1lg +=
x x
y 的定义域是（1->x 且0
≠x
）． ．
2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(x
f 的定
义域是(
]0,(-∞ )．
3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1
)(=x g ）中的两个函数相等．
4．设
11
)(+=
x
x f ，则))((x f f =（11++x
x
）．
5．下列函数中为奇函数的是（ 1
1
ln
+-=x x y
）．
6．下列函数中，（
)1ln(-=x y ）不是基本初等函
数．
7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）
是正确的． 8. 当
x →0时，下列变量中（
x
x 21+ ）是无穷
大量． 9. 已知
1tan )(-=
x
x
x f ，当（ x →0 ）时，
)(x f 为无穷小量.
10．函数
sin ,0(),0
x
x f x x
k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1
)．
11. 函数
⎩⎨
⎧<-≥=0
,10,1)(x x x f 在x = 0处（
右连续 ）．
12．曲线
1
1
+=
x y 在点（0, 1）处的切线斜率为
（ 2
1- ）．
13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（
y =
x ）．
14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-2
1
x ）．
15．若x
x x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．
16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x
）．
17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0
)存在，
则必有
f '(x 0
) = 0 ）．
18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则
需求弹性为E p =（
--p
p
32 ）．
二、填空题
1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2
x x x x x f 的定义域是[-5，2]
2．函数
x
x x f --
+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )
3．若函数
52)1(2-+=+x x x f ，则=
)(x f 62-x ．
4．设函数1)(2-=u u f ，
x
x u 1)(=，则
=))2((u f 4
3
-．
5．设
2
1010)(x x x f -+=
，则函数的图形关于 y 轴对称．
6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．
7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =
+∞
→x
x x x sin lim
1 .
9．已知x x x f sin 1)(-
=，当0→x 时，)(x f 为无穷
小量．
10. 已知
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=1
11
1)(2x a x x x x f ，若f x ()
在
),(∞+-∞内连续，则=a 2 .
11. 函数
1
()1e x
f x =
-的间断点是0x =.
12．函数
)
2)(1(1
)(-+=
x x x f 的连续区间是)1,(--∞
),2(∞+．
)
1处的切线斜率是
(1)0.5y '=
14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)
15．已知x x f 2ln )(=，则[f =
0 ．
16．函数
y x =-312()的驻点是x =1.
17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p
p q -⨯=，则需
求弹性为E p =2
p
-．
18．已知需求函数为
p
q 3
2320-=，其中p 为价格，则需求弹
性E p =
10
-p p
.
三、计算题（答案在后面）
1．4
23lim
22
2-+-→x x x x 2
．
231lim
21+--→x x x x 3．x → 4．
2343lim
sin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 6
25--++-∞→x x x x x x 7．已知y x
x
x cos 2-
=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已
知
x y cos 25=，求)2
π(y '；
10．已知y =3
2ln x ，求y d ． 11．设x y x
5sin cos e +=，求y d ．
12．设x
x y -+=2tan 3，求y d ．
13．已知2
sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．
14．已知x
x y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．
16．由方程0e sin =+y
x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.
17．设函数
)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0
d d =x x
y
．
18．由方程x y x y =++e )cos(确定y
是
x 的隐函
数，求
y d ．
四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品
x
个单位时的成本函数为：
x x x C 625.0100)(2
++=（万元）,
求：（1）当
10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；
（2）当产量x
为多少时，平均成本最小？
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为
q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利
润最大？
3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中
p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试
求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？
5．某厂每天生产某种产品
q
件的成本函数为
9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，
每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产
q
件产品的成本为
C q q q ()=++
2502010
2（万元）．问：要使平均成本最少，
应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解
4
23lim
222
-+-→x x x x =
)
2)(2()1)(2(lim
2+---→x x x x x =
)2(1lim
2+-→x x x = 41
2．解：
231lim
2
1
+--→x x x x =)
1)(2)(1(1
lim 1+---→x x x x x
=
2
1
)
1)(
2(1lim
1
-
=+-→x x x
3．解
l i
x →0x → =x
x x x x 2sin lim
)11(
lim 00
→→++=2
⨯2 = 4
4．解 2343
lim sin(3)
x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---
=
33
3
lim
lim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 2
5．解
)
1)(2()1tan(lim
2)1tan(lim
121
-+-=-+-→→x x x x x x x x
1
)1tan(lim
21lim
11
--⋅+=→→x x x x x 31131
=⨯= 6．解
))32)(1()23()21(lim 6
25
--++-∞→x x x x x x =
))3
2)(11()2
13()21(lim 6
25x
x x x x
x --++-∞→
=2
32
3
)
2(6
5-
=⨯-
7．解：
