上海市行知中学高三期中数学考试试卷(含答案)(2017.11)

闸北区2017学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1. 设幂函数()f x 的图像经过点()8,4，则函数()f x 的奇偶性为____________．2. 已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,12,1m y x x y y 如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于____________．3. 直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是____________．4. 已知定义域为R 的函数()y f x =的图像关于点()1,0-对称，()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=，则()()12g x g x +=____________．5. 设⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≤≤=-.N ,3,31,N ,21,21n n n n a n n n 数列{}n a 的前n项和为nS ，则=∞→n n S lim ___________．6. 设复数122,12z i z i =+=+，在复平面的对应的向量分别为,OA OB，则向量AB对应的复数所对应的点的坐标为____________．7.若二项式nx ⎛+ ⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________．8. 观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…………设第n 行的各数之和为n S ，则2lim_______________.nn S n→∞=9. 从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为原点，则MO MT -的值是____________． 10. 已知集合(){},,U x y x R y R =∈∈，(){},M x y x y a =+<，()(){},P x y y f x ==，现给出下列函数：①xy a =；②log ay x = ；③()sin y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U P C M P = ，则所有满足条件的函数()f x 的编号是____________． 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11.下列命题中，正确的个数是……………………………………………………………【】（1）直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；（2）a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；（3）直四棱柱是直平行六面体；（4）两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.A、0B、1C、2D、312.已知函数()2f p<，则必f>，()0=++，若()00f x x x c有…………………【】A、()10f p+> B、()10f p+<C、()10f p+的符号不能f p+= D、()1确定13.如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是…………………………………………………………【】A、（1）、（2）B、（1）、（3）C、（2）、（3）D、（1）、（4）（1）棱长为2的正方体（2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥（4）底面边长为2高为2的直平行六面体三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，AB是圆柱体OO的一条母线，已知BC过1底面圆的圆心O，D是圆O上不与点,B C重合的任意一点，5BC=，3CD=．AB=，5（1）求直线AC与直线BD所成角的大小；（2）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求ACD∆的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．15.（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分；第（3）、（4）小题各4分）请你指出函数()1xf x x=+()x R ∈的基本性质（不必证明），并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明．（1） 当x R ∈时，等式()()0f x f x +-=恒成立； （2） 若()()12f x f x ≠，则一定有12x x ≠；（3） 若0m >，方程()f x m =有两个不相等的实数解； （4） 函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点．16. （本题满分15分，第（1）小题6分，第（2）小题9分）如图所示，某市拟在长为8km 道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数()sin 0,0y A x A ωω=>>[]()0,4x ∈的图像，且图像的最高点为(3,S ，赛道的后一部分为折线段MNP ，且120MNP ∠=．（1）求M 、P 两点间的直线距离；（2）求折线段赛道MNP 长度的最大值．17. （本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）已知圆()221:18C x y ++=，点()21,0C ，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P ． （1）求动点P 的轨迹W 方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．18. （本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 我们把一系列向量()1,2,,i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a满足：()1,11=a ，()()11111,,2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+ ()2n ≥．（1）证明：数列{}n a是等比数列；（2）设n θ表示向量1n a - 与na 间的夹角，若21n n b n θ=-，n n b b b S +⋅⋅⋅++=32，求n S ；（3）设2log n n n c a a =⋅，问数列{}n c 中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．文科答案一． 填空题1、偶函数；2、53、51,4⎛⎫⎪⎝⎭4、2-5、55186、()1,1-7、478、4 9、b a -10、①②④ 二． 选择题11、B 12、A 13、A 、C 三．解答题 14、（1）arccos5 (5)分 （2）15π (7)分 15、由()110111,01x x f x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪--<⎪-⎩，参考图像：（1）对于任意的Rx ∈，()()1xf x f x x--==-+，故()()0f x f x -+=恒成立；（2）由于()y f x =为单调递增函数，故如果12x x =，则()()12f x f x =恒成立，因此()()12f x f x ≠，一定有12x x ≠；（3）由图像可知当1m ≥时，y m =与()y f x =无公共点，方程()f x m =无实数根，故结论（3）不正确；（4）()11x x xg x x x x-=-=++，若()0g x =，则只有0x =，故结论（4）不正确. 16、解法一：（1）依题意，有A =……………………………………………1分又34T =， 而2T πω=， 6πω∴= ……………………………1分6y x π∴=当4x =时，233y π==，()4,3M ∴，又()8,0P5MP ∴= ………………………………………3分（2）在MNP ∆中，120MNP ∠= ，5MP =. 设PMN θ∠=，则060θ<< . ……………………………………1分 由正弦定理得()sin120sin sin 60MP NP MNθθ==- ，NP θ∴=，()603MN θ=- ， ……………………………………………………3分 故()()6060NP MN θθθ+=+-=+ ……3分060θ<<，∴当30θ=时，折线段赛道MNP最长. ……………………2分 解法二 ：（1）同解法一. （2）在MNP ∆中，120MNP ∠= ， 5.MP =由余弦定理得2222MN NP MN NP COS MNP MP +-⋅⋅∠=，即2225MN NP MN NP ++⋅=； (3)分故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，从而()23254MN NP +≤…4分即3MN NP +≤，当且仅当MN NP=时等号成立. ………………2分亦即，设计为MN NP =时，折线段赛道MNP 最长. 注：本题第（2）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方法，还可设计为：①12926N ⎛+⎝⎭；②12926N ⎛- ⎝⎭；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等.17、（1）2QC 的垂直平分线交1QC 于点P，2PQ PC ∴=. ………………1分2111122PC PC PQ PC QC C C +=+===，所以动点P的轨迹W 是以点1C 、2C 为焦点的椭圆. …………………………2分设椭圆的标准方程为22221x y a b +=()0a b >>，则2a =，22c =，2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2212x y +=…………………………………………………………2分a) 直线l 的方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得221132y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩，即()2291212160k x kx +--=，易知点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交于两点.……………………………………1分 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()121222416,312912k x x x x k k +==-++，……………………2分假设在y 轴上存在定点()0,D m 满足题设，则()()1122,,,DA x y m DB x y m =-=-. 因为以AB 为直径的圆恒过点D ，则()()1122,,0DB x y DA m x y m ⋅=-⋅-=. (2)分即()()()12120*x x y m ym +--=，因为112211,33y kx y kx =-=-， 所以(*)变为()()()12122121212121221213111333x x y m y m x x y y m y y m kx m kx kx x x kx m ⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫=+--=+-++⋅---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()()()()()2121222222189121133186199521m k m k x x k x m m x m m k +⎛⎫=+--+-+++++=⎝⎭+⎪. ………3分由假设得对于任意的k ∈R ，DA DB ⋅=恒成立，即221818096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =. 因此，在y 轴上存在点D ，点D 的坐标为()0,1 (3)分18、（1）1n n a -=== ………4分 （2）11cos 2n n n n na a a a θ--⋅==⋅，4n πθ∴=……………………………………………2分12n n b π∴=- ………………………………………………2分21n n b n θ=-()2121112224n n S n n n ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …………2分或()124121231222+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n S n ππππ都算对(3) 12222n nn a --⎫==⎪⎪⎭，22222nn n c --∴=⋅ ……………………………………………………2分假设 {}n c 中的第 n 项最小，由 12c = ，20c =，210.c c ∴≤< 当3n ≥时，有n c <，又由1n n c c +≤可得()()212222122222n nn n -+--+-⋅≤⋅，即12221n n --≥-，22112n n -⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭.2670n n -+≥，3n ≥或3n ≤（舍），5n ∴≥. …………2分即有567c c c <<< ； 由1n n c c +≥，得35n ≤≤，又210c c ≤<，541c c c ∴<<< ； (2)分故数列{}n c 中存在最小项，最小项是325322c -=-⋅ (2)分。

上海行知职业高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 只用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有（）A．6个B．9个C．18个D．36个参考答案：C【考点】计数原理的应用．【分析】本题需要分步计数，由题意知1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．首先确定谁被使用2次，再把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，最后将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，相乘得结果．【解答】解：由题意知，本题需要分步计数1，2，3中必有某一个数字重复使用2次．第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2=18个不同的四位数．故选C【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列组合和计数原理中经常出现的问题，这种题目做起来限制条件比较多，需要注意做到不重不漏．2. 在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A． B． C．或 D．参考答案：D3. 设函数在R上可导，,则与大小是( )A. B. C. D.不确定参考答案：B略4. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．5海里B．10海里C．5海里D．5海里参考答案：D略5. 若函数f（x）=lnx与函数g（x）=x2+2x+a（x＜0）有公切线，则实数a的取值范围为（）A．（ln，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣ln2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到a的范围．【解答】解：f′（x）=，g′（x）=2x+2，设与g（x）=x2+2x+a相切的切点为（s，t）s＜0，与曲线f（x）=lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2s+2==，又t=s2+2s+a，n=lnm，即有a=s2﹣1+ln（2s+2），设f（s）=s2﹣1﹣ln（2s+2）（﹣1＜s＜0），所以f'（s）=＜0∴f（s）＞f（0）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∵s∈（﹣1，0），且趋近与1时，f（s）无限增大，∴a＞﹣ln2﹣1故选A．6. 设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B={x|x﹣1＞0}；则A∩B（）A．（1，2）B．[1，2] C．[1，2）D．（1，2]参考答案：B7. 已知集合，集合，则为A. B. C. D.参考答案：C略8. 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）（A）15 （B）20 （C）25 （D）30参考答案：B9. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A．10 B．8 C．6 D．4参考答案：B试题分析：由成等比数列，则,即，解得，代入.考点：1.等差数列；2.等比数列；10. 数列满足，则的值是A．-2 B． C．2D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ．如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为_________参考答案：12. 给定集合，映射满足以下条件：①当且时，；②任取，若有k组解，则称映射含k组幸运数。

上海市行知中学2019学年第一学期期中高三年级数学学科试卷一．填空题（本题满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1.已知集合{}|2A x x =≤，3|01x B x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭则A B ⋂= 【答案】[)2,1-【分析】先解不等式，再求交集2.函数arcsin(21)y x =-的定义域为 【答案】[]0,1【分析】求反正弦定义域3.已知3sin 4cos sin()(0)A A θθθϕ-=+>，则tan ϕ= 【答案】43-【分析】利用辅助角公式求解 4.若22log log 4x y +=，则11x y+的最小值 【答案】12【分析】利用基本不等式5.函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<图像的一个对称中心为(,0)6π，则ϕ=【答案】3π-【分析】图像平移 6.已知命题:13p x -<<，命题:314q m x m +<<+，若p 是q 的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是 【答案】21,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】小范围是大范围的充分非必要条件7.在中ABC ∆，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若满足4a =,4A π=的三角形有两个，则b的取值范围是【答案】(4, 【分析】正弦定理8.已知两定点(3,0)A -，B(1,0),如果动点P 满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图像的面积等于 【答案】12π【分析】建系求轨迹方程9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有lim()k n k n a S S →∞=-成立，则公比q = 【答案】12【分析】无穷等比数列求和与等比数列前n 项和公式的运用10.记椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，斜率为1的直线过椭圆的右焦点()22,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215PF F ∠=，则椭圆的长轴为【答案】2【分析】根据正弦定理解三角形即可求出12,PF PF ,相加即为答案 11.不等式()()21430x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系中作出1+1y x =和2243y x x =-+的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≥，都有()()2220ax x b ++≤，则a b +=【答案】3-【分析】考虑1+2y ax =和222y x b =+在0x ≥时的图像关系，要满足120y y ≤即让两个函数不在x 轴同侧出现图像。

上海市行知中学高三数学上学期期中试题沪教版高三年级 数学试卷一、 填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=________. 2．直线l 的方程为10223012xy =-，则l 的一个方向向量是____________.3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________. 4．ABC ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A B C ,若33,1,4ABC a c S ∆===，则cos B =_________.5．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则qip bia ++的值为____________. 6. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =_________.7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________.（结果用分数表示）8．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 ．9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中实数a 的取值范围是 _________ ．10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且()*1323,n n a S n N ++=∈记12S a a =+++k a<n a +，则S 的值是__________.11．设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP 的坐标为________． 13．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a ___ .14．已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是___________.二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．已知a R ∈，则“2a <”是“2||x x a -+>恒成立”的 （ ）. （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y )20(πϕ<<的图像如下图，则（ ）. （A ）6,21,21πϕω===k （B ）3,21,21πϕω===k（C ）6,2,21πϕω==-=k （D ）3,2,2πϕω==-=k17．函数1211111(),(),,(),,()()n n f x f x f x x x f x x f x +===++则函数2014()f x 是（ ）.（A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数 18．设Q 是有理数，集合{}|2,,,0X x x a b a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：2（1）{}2|x x X ∈（2）|2x x X ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭（3）1|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭（4）{}2|x x X ∈与X 相同的集合是（ ）.（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个三、解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）已知在正四棱锥P －ABCD 中（如图），高为1，其体积为4，求异面直线PA 与CD 所成角的大小. 20．（本题满分14分,第一小题6分，第二小题8分）已知函数2()[2sin()sin ]cos 3sin 3f x x x x x π=++-．（1）若函数)(x f y =的图像关于直线(0)x a a =>对称，求a 的最小值； （2）若函数()2y mf x =-在5[0,]12x π∈存在零点，求实数m 的取值范围.21．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）如图，相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船．在接到求救信息后，A 船能立即出发，B 船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A 船早于B 船到达的区域称为A 区，否则称为B 区．若在A 地北偏东45︒方向，距A 地1502海里处的M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移． ⑴求A 区与B 区边界线（即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹）方程；⑵问：①应派哪艘船前往救援？②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）22．（本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知函数()1log 1ax f x x -=+（其中0a >且1a ≠），()g x 是()2f x +的反函数. （1）已知关于x 的方程()()()log 17a mf x x x =+-在[]2,6x ∈上有实数解，求实数m 的取值范围；（2）当01a <<时，讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；（3）当01a <<，0x >时，关于x 的方程()()2230g x m g x m +++=有三个不同的实数解，求m 的取值范围. 23．（本题满分18分，第一小题4分，第二小题7分，第三小题7分） 对于数列{}n u ，若存在常数0M >对任意*n N ∈恒有：1121n n n n u u u u u u M +--+-++-≤, 则称{}n u 是B -数列.（1）首项为1，公比为12-的等比数列是否是B -数列？请说明理由. （2）若数列{}n a 是B -数列, ①证明：{}2n a 也是B -数列； ②令12nn a a a A n+++=，求证：数列{}n A 是B -数列.上海市行知中学2014—2015学年度第一学期期中考试（答案）一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．若3cos 5α=-，且3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=________43 2．直线l 的方程为10223012xy =-，则l 的一个方向向量是____()2,1-（不唯一）___3．等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +=⋅=, 则16a a ⋅=_______________14 4．ABC ∆的三边,,a b c 所对角分别是,,A B C ,若33,1,4ABC a c S ∆===，则cos B =____32±_____ 5．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则qi p bi a ++的值为____________41314i- 6. 已知定义在R 上的函数()f x ，满足()115f =，且对任意的x 都有()()13f x f x +=-，则()2014f =____-5_____7．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是____115_____（结果用分数表示）8．设a 为函数2arcsin 2π-+=x x y 的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x 项的系数是 -192 ．9．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中实数a 的取值范围是____(]10,11 ．k a<10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,a =且()*1323,n n a S n N ++=∈记12S a a =+++n a +，则S 的值是_____32_____ 11．设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________[2,)+∞12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP 的坐标为___()2sin 2,1cos2--_____． 【解析】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的弧长为2. ∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π. ∴DP ＝AP·sin 22π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2， DA ＝APcos 22π⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin 2. ∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)． 13．设实数d c b a ,,,满足：1001≤≤≤≤≤d c b a ,则dcb a +取得最小值时，=+++dc b a 121【解析】当a 最小d 最大，即100,1==d a 时dcb a +相对较小， 此时b c b c c b 5110021001=≥+，当且仅当1001c b =时取“=” 又c b ≤，所以b c 1≥，当c b =时bc最小为1，所以10==c b 从而121,100,10,1=+++∴====d c b a d c b a14．已知函数()()y f x x R =∈，对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称，若()h x 是()24g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 。

2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜116．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是2．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．【解答】解：∵数据8，9，x，11，12的平均数是10，∴=10∴x=10，∴这组数据的方差是（4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数）化为普通方程可得x2=y（0≤y≤2），则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为（0，），∴曲线的准线方程，故答案为：．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，=×AB×h=××=．∴S△V AB故答案为：11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【分析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，列举出从集合A中选三个不同的数的情况即可解决问题．【解答】解：由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A={1，2，3，4，5}中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种，所以概率为．故答案为：．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．再由（a n﹣p）（a n﹣p）＜0+1恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，+1则a1＜p＜a2，即．故答案为：．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T）=T•f （x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据a2＞λ＞b2，将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0）∴该双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：B18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】正弦函数的图象．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD ﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可得到圆R的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即，①又R（x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限，解得，所以圆R的方程为：；（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（1）由，解得x=，把x与y互换，即可得出y=f﹣1（x）；（2）任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明；（3）设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，可得a=f（b），b=f （a），对a与b的大小关系分类讨论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．（2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3）证明：设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，∴a=f（b），b=f（a），当a=b，显然在y=x上；当a＞b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＞f（b），∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＜f（b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题设知=，a2====，由此能求出．（2）由a1=||a||=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n=0．【解答】解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，=其中n=1，2，3，…a1=，a n+1∴=，a2====，…a k=，则a k===，+1所以．…（2）∵a 1=||a ||=a ，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，==﹣1=a ，所以a 2+a ﹣1=0，解得a=，（a=∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a 2==，所以a 2+2a ﹣1=0，解得a==，（a=﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a 2+3a ﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．… 综上，{a=，a=，a=}．…（3）成立．…证明：由a 是有理数，可知对一切正整数n ，a n 为0或正有理数， 可设（p n 是非负整数，q n 是正整数，且既约）．…①由，得0≤p 1≤q ；…②若p n ≠0，设q n =ap n +β（0≤βP n ，α，β是非负整数）则=a +，而由，得=，==，故P n +1=β，q n +1=P n ，得0≤P n +1＜P n ．…若P n =0，则p n +1=0，…若a 1，a 2，a 3，…，a q 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有q ﹣1个，矛盾．…故a 1，a 2，a 3，…，a q 中至少有一个为0，即存在m （1≤m ≤q ），使得a m =0．从而数列{a m }中a m 以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n ，都有a n =0．… （其它解法可参考给分）2017年1月4日。

五校联考高三期中数学试卷（奉贤中学/复兴高中/金山中学/行知中学/松江二中）2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则______2.已知向量，，则在方向上的数量投影为______3.曲线在点处的切线方程为______4.某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为______5.二项式的展开式中，常数项为______6.关于x的方程的解集为______7.已知，，，则的最小值为______8.《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为______平方尺9.意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和______10.已知椭圆，点和分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则内切圆{}2650A x x x =-+<{}0,1,2B =A B = ()1,2a =-()3,2b = b a e xy =()0,163x ⎛- ⎝100910152024x x x +++-=0x >0y >4x y xy +=x y +e e sh 2x xx --=12()y f x ={}n a 2025n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭{}n a 2024S =22:143x y Γ+=1F 2F 12PF F △半径的最大值为______11.在中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，若，则______12.若关于x 的方程在上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是______二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.设，则是的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既不充分也不必要14.在中，，M 为中点，，则（ ）A. B. C.9D.1615.已知定义在R 上的函数，其导数为，记，且，，则下列说法中正确的个数为（ ）①；②的图象关于对称；③；④.A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ）A.当时，数列单调递减B.当时，数列单调递增C.当时，存在正整数，当时，D.当时，存在正整数，当时，三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图：ABC △2222024a b c +=()2tan tan tan tan tan A BC A B =+()2e ln 20x x a x x a -⋅-+-=(]0,1z ∈C 1z z+∈R 1z =ABC △10BC =BC 4AM =AB AC ⋅=9-16-()y f x =()f x '()()g x f x '=()()4f x f x x --=()()20g x g x +-=()01g =()f x y x =()0,2()()20f x f x +-=()21n k g k n n ==-∑{}n a 1112ln n n n a a a ++=-101a <<{}n a 11a >{}n a 101a <<0n 0n n ≥012n n a <11a >0n 0n n ≥02n n a <[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.18.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，.（1）求函数的表达式；（2）求关于x 的不等式的解集.19.如图，在三棱锥中，平面平面，，，E ，F 分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线l .（1）求证：直线平面；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在的同侧），且直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.已知点G 是圆T :上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长至Q ，使，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，求面积的最大值.21.已知函数的表达式为.（1）当时，求的单调增区间；（2）若当时，恒成立，求a 的取值范围；[]80,100()y f x =()1,1-0x >()cossin 223x x f x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭22x()y f x =()()21log 102f x f x f ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭P ABC -AC BC ⊥PAC ⊥ABC 2PA PC AC ===4BC =PC PB AEF ABC EF ⊥PAC AC PQ EF 4πPBQAEF ()22116x y ++=()1,0GH TG OM ON 1k 2k 1234k k =-MON △OP 3OQ OP =AQB △()y f x =()()()2ln f x x ax x a =-∈R 1a =()y f x =1x >()1f x >（3）证明：.5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯参考答案一.填空题1.3. 4.120 5. 6. 7.9 8. 9.404811.2023 12.二.选择题13.B 14.A 15.B 16.D三.解答题17.解：（1）成绩在区间的比例为：；成绩在区间的比例为：，因此65%分位数位于区间；因此入围分数为：，因此入围分数应设为75分；（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此，1，2，，则X 的概率分布为：；所以X 的数学期望为.18.解：（1）当时，时，；当时，，；因此；（2）当时，，因此有在上严格增；{}21y x =+18-{}041π311,e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦[]80,100()0.0100.005100.150.35+⨯=<[]70,1000.150.04100.550.35+⨯=>[)70,800.40.27010750.4-+⨯=0X =()2426205C P X C ===()1124268115C C P X C ⋅===()22261215C P X C ===01228151515⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭[]8121215153E X =⨯+⨯=01x <<()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =()0f x =10x -<<0x ->()()1sin 23f x f x x π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭()1sin 01230,01sin 1023x x f x x x x ππ⎧⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪+--<< ⎪⎪⎝⎭⎩()0,1x ∈13336x ππππ-<-<-<()y f x =()0,1而当时，因此有在上严格增；原不等式可化为：；而是定义在上的严格增函数，所以；因此不等式的解集为.19.解：（1）证明：，平面平面，平面平面平面；又E 、F 分别为、的中点，；平面；（2），以C 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，过C 垂直于平面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，而，不在平面上，平面，平面，，设Q 点坐标为，，，即，则Q 点坐标为；设平面的法向量，即，即，取，可得；设平面法向量为，则，取，可得；与平面20.解：（1），则，0x =1sin 023x π⎛⎫-+=> ⎪⎝⎭()y f x =()1,1-()21log 12f x f x ⎛⎫+<-⎪⎝⎭()y f x =()1,1-221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-<+<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪+<-⎪⎩11,42⎛⎫⎪⎝⎭BC AC ⊥ PAC ⊥ABC PAC ABC AC =BC ∴⊥PAC PB PC //BC EF ∴EF ∴⊥PAC BC AC ⊥ ∴CA CB ABC ()2,0,0A ()0,4,0B (P 12E ⎛⎝1,2F ⎛ ⎝//EF BC BC AEF EF ⊂AEF //BC ∴AEF //l BC ∴()()2,,00y y ≥(1,PQ y = ()0,2,0EF = cos ,PQ EF ∴==2y =()2,2,0PBQ ()000,,n x y z =00n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩01x =(n = AEF ()111,,m x y z = 0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11x =(m = cos ,m ∴ PBQ AEF RH RG =42RT RH RT RG GT TH +=+==>=则曲线C 是以和为焦点，4为长轴的椭圆；设椭圆方程为，则，，，曲线；（2）设，，则，即；为定值；（3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线；当直线l 的斜率不存在时：设，代入E 中有，则当直线l 斜率存在时：设，，，代入E 的方程：，则，；；而l与椭圆C 有公共点，代入得：，由有，记，则综上，面积的最大值为21.解：（1）时，，则令，则，则在上严格减，上严格增，则，即在上严格增，因此函数的增区间为；()1,0-()1,022221x y a b +=2a =1c =2223b a c =-=22:143x y C +=()2cos M ϕϕ()2cos N θθ1234k k ==-()cos 0θϕ-=()12cos 2cos sin 2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△(),Q x y ,33x y P ⎛⎫⎪⎝⎭22:13627x y E +=[]():2,2l x n n =∈-223274y n =-2AQB AOB S S ==≤△△:l y kx m =+()11,A x y ()22,B x y ()22243841080k x mkx m +++-=122843kmx x k -+=+2122410843m x x k -=+122AQB AOB S S m x x ==-==△△()2224384120k x kmx m +++-=0∆≥2243k m +≥2243m t k =+AQB S =≤△AQB △1a =()()22ln 2ln f x x x x x x x =-=-()()2ln 1f x x x '=--()ln 1g x x x =--()11g x x'=-()g x ()0,1()1,+∞()()10g x g ≥=()f x ()0,+∞()y f x =()0,+∞（2），记，则，若，则，即时，在上严格增，，满足要求；若，则，时，则在上严格减，故当时，，不满足要求；若，则，在上严格减，则，不满足要求；综上，a 的取值范围是.（3）由（2）可知时，则，取，则，即；，即.()()()221ln 2ln 1f x ax x ax x '=-+=--()ln 1h x ax x =--()1h x a x'=-1a ≥11a≤1x >()0h x >()f x ∴()1,+∞()() 11f x f a >=>()0,1a ∈11a >11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x <()f x 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()11f x f a <=<(],0a ∈-∞()0h x <()f x ()1,+∞()()11f x f a <=<[)1,+∞1a =()22ln 1f x x x x =->()12ln 1x x x x <->21n x n +=+()()221232ln11212n n n n n n n n n ++++<-=+++++()()2322ln 121n n n n n ++>+++20222022112323420242ln 2ln 2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++⎛⎫∴>=⨯⨯⨯= ⎪+++⎝⎭∑∑ 5740472ln1012233420232024+++>⨯⨯⨯。

上海市行知中学高三年级第一次月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（满分56分，每小题4分）1．若12200102x x -=-，则x =___________2．抛物线24y x =的焦点坐标是____________3．设集合{}221|cos sin ,,|,M y y x x x R N x x x R i i ⎧⎫==-∈=-<∈⎨⎬⎩⎭为虚数单位，则M N =____________4．已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===，若()//a c b - ，则k =_________5．已知()()()13521,2f n nn f n n a =++++-= ，则数列{}n a 的前10项和等于_____6．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为_______ 7．如图，已知边长为6的正方形ABCD 所在平面外的一点P ，PD ⊥平面ABCD ，8PD =，连接PA ，则PA 与平面PBD 所 成角的大小_____（用反三角函数表示）8．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n -=有公共的焦 点，那么双曲线的渐进线方程是________________9．已知函数()31log f x x =-，若a b ≠且()()f a f b =，则a b ⋅=_________ 10．（理）设l 为平面上过点()0,1的直线，l的斜率等可能地取-,0,2-2，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=__________（结果用最简分数表示）（文）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。

从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为_________（结果用最简分数表示） 11．若函数()()2lg 1f x x ax =--上是()1,+∞增函数，则a 的取值范围是_________ 12．将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S =梯形的面积梯形的周长,则S 的最大值是_______13．设O 为ABC ∆的三个内角平分线的交点，当6,5===BC AC AB 时，+=λ),(R ∈μλμ，则μλ+=__________ 14．将杨晖三角形中的每一个数rnC 都换成分数()11rn n C +，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形。

行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试.DOC行知中学2016学年第一学期高三年级期中考试一、填空题（每小题4分）1．已知集合，，则．2．函数的定义域是．3．若（是虚数单位），，且为纯虚数，则实数的值为．4．求函数的反函数．5．若，则的取值范围是．6．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高米．7．已知，，，若，则的值是．8．已知实数满足约束条件，则的最大值是．9．设奇函数满足，且，若，则的值为．10．等差数列中，，数列满足，则数列的通项公式为．11．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲丙相邻的概率是．12．已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是．13．已知函数，若对任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是．14．若数列满足，则称数列为“差递减”数列．若数列是“差递减”数列，且其通项与其前项和（）满足（），则实数的取值范围是．二、选择题（每小题5分）15．“”是“函数在上单调递增”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．设，则（）．A．共有项，当时，B．共有项，当时，C．共有项，当时，D．共有项，当时，17．如图所示的是函数和函数的部分图像，则函数的解析式是（）．A．B．C．D．18．已知函数是定义在上不恒为零的函数，且对于任意实数，满足考察下列结论①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列．其中正确的结论共有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分已知各项都为正数的无穷等比数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的各项和．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数的一系列对应值如下表（1）根据表格提供的数据求函数的解析式和对称中心；（2）若当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中，为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知函数，．（1）若有且仅有两个不同的解，求的值；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若时，求在上的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分给定一个数列，在这个数列里，任取项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个阶子数列．已知数列的通项公式为（为常数），等差数列是数列的一个3阶子数列．（1）求的值；（2）等差数列是的一个阶子数列，且（为常数，，求证；（3）等比数列是的一个阶子数列，求证．。

2014-2015学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）若=﹣，设=λ，则λ的值为．2．（4分）已知{a n}是等比数列，则方程组的解的个数是．3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），则行列式的值为．4．（4分）等边△ABC边长为1，则=．5．（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．7．（4分）如果=，那么a的取值范围是．8．（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+m）=2n•1•3•…•（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为．9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a3+a2012，且A，B，C 三点共线（该直线不过点O），则S2014=．10．（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：①（•）2=（）2•（）2；②||•=（）2；③若•=•，则；④（•）•=•（•），上述命题中，真命题的个数是．11．（4分）在等差数列{a n}中，a1=13，前n项和为S n，且S3=S11，则使得S n最大的正整数n为．12．（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是．13．（4分）记为数列{a n}的调和平均值，S n为自然数列{n}的前n项和，若H n为数列{S n}的调和平均值，则=．14．（4分）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34， (1074)顺序构成数列{b n}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，b s，b t成等差数列，试写出一组（s，t）的值．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1 B．0＜x＜1 C．0≤x≤1 D．0＜x≤116．（5分）已知、是夹角为60°的两个单位向量，则=2+和b=﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°17．（5分）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．118．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中n∈N*，（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项．20．（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21．（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC 的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．22．（16分）已知非零向量列{}满足：=（x1，y1），=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n+1+y n+1）（n≥2，n∈N*），（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，，…，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，，…，…，令=+++…+，O为坐标原点，求点B n的坐标．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．2014-2015学年上海市宝山区行知中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本题共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）若=﹣，设=λ，则λ的值为．【解答】解：∵=﹣，∴，化为，而=λ，∴．故答案为：．2．（4分）已知{a n}是等比数列，则方程组的解的个数是无数个．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴，∴直线a1x+a2y=a4与a5x+a6y=a8重合，∴方程组的解的个数是无数个．故答案为：无数个．3．（4分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），则行列式的值为．【解答】解：角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（﹣3，），∴OP==2．∴sinα=，cosα=，tanα=．=sinαcosα﹣tanα==．故答案为：．4．（4分）等边△ABC边长为1，则=．【解答】解：如图，=cos120°+cos120°+cos120°=﹣．故答案为：．5．（4分）向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y=1．【解答】解：∵向量经矩阵变换后得到矩阵，∴==，∴x=3，y=2，∴x﹣y=1．故答案为：1．6．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6的值．而S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6==最后输出的值为．故答案为：．7．（4分）如果=，那么a的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：=，可得=，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．8．（4分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+m）=2n•1•3•…•（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为2（2k+1）．【解答】解：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是=2（2k+1），故答案为2（2k+1）．9．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若=a3+a2012，且A，B，C 三点共线（该直线不过点O），则S2014=1007．【解答】解：∵A，B，C三点共线（该直线不过点O），=a 3+a2012，∴a3+a2012=1，∴S2014==1007．故答案为：1007．10．（4分）已知与均为非零向量，给出下列命题：①（•）2=（）2•（）2；②||•=（）2；③若•=•，则；④（•）•=•（•），上述命题中，真命题的个数是0个．【解答】解：①（•）2=（||•||cosθ）2=||2•||2•cos2θ=（）2•（）2•cos2θ，故①错误；②||•是一个向量，（）2是一个数量，故不可能相等，故②错误；③若•=•，则，在上的投影相同，但不一定有，故③错误；④（•）•表示一个与共线的向量，而•（•）表示一个与共线的向量，故④错误，故上述命题中，真命题的个数是0个，故答案为：0个11．（4分）在等差数列{a n}中，a1=13，前n项和为S n，且S3=S11，则使得S n最大的正整数n为7．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=13，且S3=S11，∴3×13+d=11×13+d，解得d=﹣2，∴a n=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，令15﹣2n≤0可解得n≥，∴等差数列{a n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，∴使得S n最大的正整数n为7，故答案为：712．（4分）已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则的最小值是．【解答】解：因为C（0，1），D（2，0），所以线段CD的方程为：x+2y﹣2=0，设点p（a，b），则b=1﹣a，并且a∈[0，2]，因为A（﹣1，0），B（1，0），所以=（a+1，b），=（a﹣1，b），所以=a2﹣1+b2==，a∈[0，2]所以由二次函数的性质可得：当a=时由最小值．故答案为：．13．（4分）记为数列{a n}的调和平均值，S n为自然数列{n}的前n项和，若H n为数列{S n}的调和平均值，则=．【解答】解：S n为自然数列{n}的前n项和，所以S n=，∵为数列{a n}的调和平均值，∴H n为数列{S n}的调和平均值，H n=====，∴==．故答案为：．14．（4分）给出30行30列的数表A：，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数1，10，21，34， (1074)顺序构成数列{b n}，存在正整数s、t（1＜s＜t）使b1，b s，b t成等差数列，试写出一组（s，t）的值（17，25）．【解答】解：由题意可得，b2﹣b1=9b3﹣b2=11…b n﹣b n﹣1=2n+5以上n﹣1个式子相加可得，b n﹣b1=9+11+…+2n+5=n2+6n﹣7∴b n=n2+6n﹣6∵b1，b s，b t成等差数列∴2b s=b1+b t∴2（s2+6s﹣6）=1+t2+6t﹣6整理可得，2（s+3）2=（t+3）2+16∵1＜s＜t≤30且s，t∈N*经检验当s=17，t=25时符合题意故答案为：（17，25）二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，满分20分）15．（5分）如果（1﹣2x）n存在，那么x的取值范围是（）A．0≤x＜1 B．0＜x＜1 C．0≤x≤1 D．0＜x≤1【解答】解：（1）若0＜1﹣2x＜1，即0＜x＜时，根据对数函数y=a x，在0＜a ＜1时，随着x的增大，函数图象无限接近0，所以对于（1﹣2x）n=0；（2）若1﹣2x=1，即x=0时，则（1﹣2x）n=1；（3）若1﹣2x=0，即x=时，则（1﹣2x）n=0；（4）若1﹣2x＞1，则根据对数函数y=a x，在a＞1时，随x的增大，函数图象向上无限延伸，函数值无限增大，所以，此时不存在极限；（5）若﹣1＜1﹣2x＜0，即＜x＜1时，若n无限增大趋向一个偶数，则（1﹣2x）n=0，n无限增大趋向一个奇数时，（1﹣2x）n=0；（6）若2x+1=﹣1，（2x+1）n是1和﹣1间隔出现的，所以不存在．（7）若2x+1＜﹣1，n趋于无穷大的偶数时，（2x+1）n趋于正无穷大，n趋于无穷大的奇数时，（2x+1）n趋于负无穷大，所以不存在极限．综上可得，x的取值范围是0≤x＜1．故选：A．16．（5分）已知、是夹角为60°的两个单位向量，则=2+和b=﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由题意可得||=||=1，=1×1×cos60°=．设=2+和b=﹣3+2的夹角为θ，0°≤θ≤180°，可得=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+=﹣．再由||===，||===，∴===﹣，∴θ=120°，故选：C．17．（5分）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，xy≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵G是△ABC的重心∴取过G平行BC的直线DE∵，，∴x=，y=则的值为==3故选：B．18．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长，每个面的面积为；第3层正方体的棱长为，每个面的面积为；┉，第n层正方体的棱长为，每个面的面积为；若该塔形为n层，则它的表面积为24+4[++┉+]=40因为该塔形的表面积超过39，所以该塔形中正方体的个数至少是6．故选：C．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，每题解题过程写在该题的答题框内，否则不计分．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，且三阶行列式+2n，其中n∈N*，（1）求证：数列{}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项．﹣（n+1）a n=2n（n+1），【解答】解：（1）由行列式的定义可知na n+1则=2，即{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）得=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴20．（14分）在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%；设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少；（2）该人分别在A或B公司连续工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【解答】解：（1）设该人在A或B公司连续工作n年，第n年的月收入分别为a n，b n，∵A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，∴a n=230n+1270，b n=2000×1.05n﹣1．（2）设该人在A或B公司连续工作10年，工资总收入S，T，则S=（1500×10+）×12=304200，T=≈301869．∵S＞T，∴选择A公司．21．（14分）已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC 的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围．【解答】解：（1）设．由，得x+y=﹣1①又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．…（5分）（2）结合（1）由向量与共线知；由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）∴，∴==．…（10分）∵，∴，∴，∴，∴．…（12分）22．（16分）已知非零向量列{}满足：=（x1，y1），=（x n，y n）=（x n﹣1﹣y n﹣1，x n+1+y n+1）（n≥2，n∈N*），（1）证明：数列{||}是等比数列；（2）向量与的夹角；（3）设=（1，2），将，，…，…中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记作，，…，…，令=+++…+，O为坐标原点，求点B n的坐标．【解答】（1）证明：∵，∴||=，∵||=====||，∴=，∴{||}是以||为首项，为公比的等比数列．（2）解：设与的夹角为θ，∴=x n x n﹣1+y n y n﹣1=+==，∴cosθ==，∴θ=，即向量与的夹角为．（3）解：由（2）知相邻两向量夹角为，∴每相隔3个向量的两向量必共线并方向相反，即，设，由（1）知=﹣（）4=﹣．∴=（﹣）n﹣1=（﹣）n﹣1（1，2），∴=+++…+=．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（2）若a n+1（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）a n=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，+1当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，≥a n，∵a n+1∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．。

上海市行知中学20XX —201X 学年第一学期期中考试高三年级数学试卷命题教师：胡国金一、 填空题(本题满分56分,每题4分) 1、t =2log 3，则=3log 4_____2、)2,0(,53cos παα∈=，则=2tan α______3、{}032,021<+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+=p x x B x x xA ，若B B A =⋃，则p 的取值范围为_____ 4、在ABC ∆中，12,5,8===∆S CA CB ，则=c 2cos __________5、)5(log 233+-=x y x的定义域为__________6、数列{}n a 为等差数列，0,166473=+-=a a a a ，则{}n a 的通项公式为_______7、已知)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，)1()(3x x x f +=，则)(x f 的解析式为________8、)0(2312≥+-=x x x y 的值域为_______9、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π23,0内方程0)cos cos(=x π的所有解的和为_______________10、社函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=，且)12(-=x f y 的图像过点)1,21(，则)(1x f y -=的图像过点__________11、关于x 的方程()011222=+---k x x 有5个不同的实根，则实数=k _____12、已知函数)62cos()(,2sin )(π+==x x g x x f ，直线)(R t t x ∈=与函数)(),(x g x f 的图像分别交于N M ,两点，则MN 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πt 时的最大值为_________13、若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为_________14、)(x f y =在R 上有定义，对于给定的正数k ，定义⎩⎨⎧>≤=k x f kkx f x f x f k )()()()(取xx f -=2)(，当21=k 时，)(x f k 的单调递增区间为________二、 选择题(本题满分16分,每题4分)15、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-==10,12,11,31x x y y B x x y y A ，则=⋂B A ( )A.(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1 16.复数),()22(arccos 是虚数单位i R x i x Z x ∈-+-=π，在复平面上的对应点只可能位于( )A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 17.已知图一中的图像对应的函数为)(x f y =，则图二中的图像对应的函数在下列给出的四式中，只可能是( )A. )(x f y =B. )(x f y =C. )(x f y -=D. )(x f y --=图一 图二 18、给出下列六个命题：(1)若)1()1(x f x f -=-，则函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称。

2016学年第二学期高三数学教学质量检测2017.4一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}|0A x x =>，集合{}|1B x x =<，则A B =I .2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = .3.函数()sin 2cos 2cos sin xx f x x x =的最小正周期为 .4.已知双曲线()2221081x y a a -=>的一条渐近线方程为3y x =，则a = . 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 .6.已知,x y 满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .7.直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 .8.已知函数()22,0log ,01x x f x x x ⎧≤=⎨<≤⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 9.设多项式()()()()2311110,nx x x x x n N *++++++++≠∈L 的展开式中x 项的系数为n T ，则2lim n n T n →∞= . 10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率为0.9603，则p = .11.已知向量()(),,,m x y n x y ==-u r r ，P 为曲线()10m n x ⋅=>u r r 上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 . 12.设1210,,x x x K 为1,2,,10L 的一个排列，则满足对于任意正整数,m n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同的排列的个数为 .二、选择题：13.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件14．如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④ 15．如图，在同一平面内，点P 位于两平行线12,l l 同侧，且P 到12,l l 的距离分别为1，3，点M,N 分别在12,l l 上，8PM PN +=u u u u r u u u r 则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为A. 15B. 12C. 10D. 916．若存在t R ∈与正数，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设()()20x f x x x λ+=>，若对于任意2,6t ∈总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是A. (]0,2B. (]1,2C. []1,2D.[]1,4三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,BC CD 线段的中点.（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11ABB A 所成角的大小.18.（本题满分14分）已知抛物线()220y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(),0T t 0t >且与抛物线交于两点,A B ，O 为坐标原点.（1）求抛物线的方程，并证明：OA OB ⋅u u u r u u u r 为值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.19.（本题满分14分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足:①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()()2112,0f x a R a a a x =+-∈≠是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本题满分16分）已知数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意n N *∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这类,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若11,2a k ==-，求n S ； （3）是否存在实数k ，使得数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分16分）设T R ⊂，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合.同时称M 为集合T 的上界.（1）设12211|,,|sin 212x x A y y x R A x x ⎧⎫-⎧⎫==∈=>⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭，试判断12,A A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知()2f x x u =+，记()()()()()()11,2,3,n n f x f x f x f f x n -===L ，若1,,4m R u ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，且(){}|n B f x n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围； （3）设,,a b c 均为正数，将()()()222,,a b b c c d ---中的最小数记为d ，是否存在正数()0,1λ∈，使得λ为有界集合222|d C y y a b c ⎧⎫==⎨⎬++⎩⎭，,,a b c 均为正数的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由.。

2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S 1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=917．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=（﹣∞，2）．【解答】解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x2﹣1=2，其中x≥0，解得x=；所以f﹣1（2）=．故答案为：．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是[3，+∞）．【解答】解：∵x＞1，则，x﹣1＞0，；那么：函数y=x+=x﹣1++1≥=3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y的值域是[3，+∞）．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B={0，1，2}．．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8．【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是21．=x r【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r+1故展开式中x2的系数是=21故答案为：21．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2=×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2.5，所以标准差为s==．故答案为：．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【解答】解：f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选：C．15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n==120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m==24，∴同一科目的书都相邻的概率为p===．故选：A．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S 1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=9=4πR12，所以=2，【解答】解：因为S同理：=2，=2，由R+2R2=3R3，得+2=3．故选：C．17．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选：A．18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于：①y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于③y=log2（x﹣1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于④y==（1﹣），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C．三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB是等边三角形，∴AD=AB•sin60°=10×=5．∴它的最高点到桌面的距离为5cm．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．【解答】解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．（2分）由，得B=（﹣2，3]．（4分）由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．（6分）所以A∪B=（﹣2，3]，（8分）C U A∩C=（﹣2，0]∪[3，6）．（12分）21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．【解答】解：（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t （5x+1﹣）元，t≥0，1≤x≤10．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x ≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，10]．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点．（3）∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2017年上海市宝山区行知中学高三第一学期期中数学试卷一、填空题1. 不等式102xx -≥-的解集是 【答案】[1,2) 【考点】分式不等式 【难度】基础 【分析】略2. 若0ln 1a b π⎛⎫ ⎪⎝⎭是单位矩阵，则a b -=【答案】-1【考点】单位矩阵 【难度】基础【分析】主对角线为1，其余为03. 若12z a i =+，234z i =-，且12zz 为纯虚数，则实数a =【答案】83【考点】复数概念与运算 【难度】基础【分析】纯虚数的实部为0，虚部不为04. 已知数列{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28sin()a a +=【答案】2【考点】等差数列基本性质 【难度】基础【分析】19285223a a a a a π+=+==5. 若||||1a b ==，且||3||a b a b +=-，则a 与b 的夹角为【答案】3π 【考点】向量的夹角 【难度】基础【分析】两边平方6. 已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，联结CD ，则BDC ∆的面积是【考点】解三角形 【难度】基础【分析】过点A 做415sin sin 15,1,=∠=∠∴==∴⊥ABC DBC AE BE BC AE ,然后用三角形面积公式即可。

7.已知一个无穷等比数列{}n a 的每一项都等于它以后各项和的k 倍，则实数k 的取值范围是 【答案】(,2)(0,)-∞-+∞【考点】无穷等比数列的各项和 【难度】基础【分析】)1,0()0,1(,111 -∈-=⇒-•=+q q qk q a k a n n8.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是【答案】[1,3]【考点】函数的基本性质 【难度】中等【分析】(1)(2)(1)121f f x f x ≤-≤-⇒-≤-≤9.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -，若函数()sin()cos()f x x x αα=+++（x R ∈）的图像关于直线0x x =对称，则0tan x =【答案】2-【考点】三角函数的性质 【难度】中等【分析】0513132,()),2612122k f x x x k πππαπππ=+∴=+∴+=+ ππk x 21270+-=∴10.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 【答案】3【考点】平面向量的分解定理 【难度】中等【分析】建立平面直角坐标系11. 已知()f x ，对任意[1,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立，且当[1,2)x ∈时，()2f x x =-，则方程1()3f x x =在区间[1,100]上所有根的和为【答案】3812【考点】函数综合【难度】中等【分析】 数形结合12. 我们把一系列向量i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）按次序排成一列，称之为向量列，记作{}n a ，已知向量列{}n a 满足：1(1,1)a =，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+（2n ≥），设n θ表示向量1n a -与n a 间的夹角，若2n n n b θπ=，对于任意正整数n，不等式1log (12)2a a ⋅⋅⋅+>-恒成立，则实数a 的取值范围是【答案】1)a ∈- 【考点】向量与数列综合 【难度】困难【分析】{}11n n a na →--===∴是等比数列；in b i n n n +=∴=∴==+21422cos πθθ∴22221...1log (12)122a n a n n n n n n ⋅⋅⋅=+++≥•=>-++++ 分类讨论解对数不等式即可。

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2B ．1169C ．16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；三、解答题17．已知:31x m a <-或x m >-，:2x b <或4x ³．(1)若a 是b 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若a 是b 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式223ax bx c £++£．分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=->时，有()()113x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=Î，3327A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +¹-时，则1x y xy +=-或(),2x y xy m m +=->，（因为若m 为负整数，则()()110x y m --->，即此时1x y xy m +¹-+），若11x y xy +=->，有()()112x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=Î，2324A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=->，有()()111x y m --=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m --=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+Î，但是122xy a b a b <-=+-<+，所以2xy A -Ï,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.（3）假设存在A 是“减1集”，{}1A ¹.假设1A Î，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A Î，则11A +Î，但111A ´-Ï，因此2A Ï，假设3A Î，则12A +Î，且121A ´-Î，因此3A Î，因此可以有{}1,3A =,假设4A Î，则13A +Î，但131A ´-Ï，因此4A Ï，假设5A Î，则23A +Î，且321A ´-Î，因此5A Î，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7A Î时，34A +Î，但3412´=，所以A 中元素应该小于7，因此减1集可以有{}{}131,3,5,,.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=->和2x y xy +¹-证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页。