图像法完美解决“分段函数”零点问题

图像法完美解决“分段函数”零点问题-中学数学论文

图像法完美解决“分段函数”零点问题

南昌大学附属中学(330047)温伟明

函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是一类特殊函数。它不仅体现了一般函数所具备的性质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个可供探索、益于创新的思维空间。正是基于这一点，它在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点。

分析近几年的高考试题，分段函数不再拘于只对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形式考查学生的综合能力。而零点问题在2015年的高考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运用。

例1（2015年北京卷）设函数f(x)=2x－a,x1,

4(x－a)(x－2a),x≥1。

①若a=1，则f(x)的最小值为；

②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是。

分析：①若a=1，则分段函数各段范围和解析式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其最小值；②若f(x)恰有2个零点，则函数与x轴有两个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进行分析，由于a不确定，所以需要对a 进行分类讨论。

解析：①当a=1时，函数f(x)=2x－1,x1,

4(x－1)(x－2),x≥1。

当x1时，－12x－11；当x≥1时，4(x－1)(x－2)≥－1,

所以f(x)最小值为－1。

②（1）当a=0时，f(x)=2x,x1,

4x2,x≥1。由图像易知函数与x轴没有交点，故舍去；

（2）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴0h(x)2－a，令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，顶点坐标(32a,－a2)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，可以画出其大致图像，如图1，发现函数与x轴也无交点，故舍去；

图1

（3）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴－ah(x)2－a，当2－a0时，h(x)与x轴有1个交点，当2－a≤0时，h(x)与x轴无交点；

令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，当2a1时，g(x)与x轴无交点，当a1≤2a时，g(x)与x轴有1个交点，当a≥1时，g(x)与x轴有2个交点。所以，要使函数f(x)与x轴有2交点，如图所示两种情况：

图2图3

ⅰ)h(x)与x轴有1交点时，0a2；当g(x)与x轴有1交点时，12≤a1;

ⅱ)当a≥2，h(x)与x轴无交点；g(x)与x轴有2交点。

综上所述，12≤a1或a≥2。

赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论与x轴的交点，而利用图像法能够很清晰直观的将各种情形展示出来。

例2（2015年天津卷）已知函数f(x)=

2－|x|,x≤2,

(x－2)2,x2,函数g(x)=b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y=f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是（）。

（A）74,+∞（B）－∞,74

（C）0,74（D）74,2

分析：由于f(x)中带有|x|，所以可将其分成三段，求y=f(x)－g(x)的零点，如果直接分析它与x轴的交点会比较麻烦，所以我们可以换一个思路，去分析函数f(x)与函数g(x)的交点，通过函数图像找到f(x)与g(x)恰有4个交点时，求出满足的条件b，或是先得到函数y=f(x)－g(x)的函数表达式，再通过其图像，求出满足的条件b。

解法一：由题意易得，函数f(x)=

2+x,x≤0,

2－x,0x≤2,

(x－2)2,x2,令函数h(x)=－f(2－x),

f(x)关于y轴对称f(-x)向右平移2个单位f(2-x)关于x轴对称h(x)=-f(2-x)。如图4，f(x)与h(x)的函数图像，

g(x)可以看成h(x)向上平移b个单位，当b=2时，中间段函数图像重合，有无数个公共点，不合题意;又当b2图4时，图像不可能有4个交点，所以0b2。当h(x)向上平移至第一段图像与f(x)相切时，由对称性易知，第三段相应图像也相切，此时f(x)与h(x)有两个交点（均为切点），如图5。

设此时g(x)=h(x)+b0，右边（第三段）图像y=(x－2)2与y=x－4+b0的切点为(x0,图5y0)，

由直线与曲线相切，得

y′=2(x0－2)=1,

y0=(x0－2)2=x0－4+b，解得x0=52,

b0=74。

所以，当f(x)与g(x)恰有4个交点时，74b02，故选D。

解法二：

函数f(x)=2+x,x≤0,

2－x,0x≤2,

(x－2)2,x2,令函数f(2－x)=x2,x≤0,

x,0x≤2,

4－x,x2,

f(x)与f(2－x)各段区间都相同，所以f(x)+f(2－x)=x2+x+2,x≤0,

2,0x≤2,

x2－5x+8,x2,

令y=f(x)－g(x)=f(x)+f(2－x)－b=0，即f(x)+f(2－x)=b有四个根。

如图6得到y1=f(x)+f(2－x),y2=b的函数图像。

由图可知A(－12,74),B(52,74)，当y1=

图6f(x)+f(2－x)与y2=b有4个交点时，74b2。

赏析：本题考查分段函数的零点问题比较综合，要求比较高。零点问题可以转化为两函数的交点，需要对分段函数的解析式及图像变化比较熟悉，在此基础上，再利用数形结合，求出满足的条件b。

在解决分段函数的零点问题时，由于分段函数本身蕴含了分类讨论，若在其解析式或是区间上又带有参数，很容易让人搞混淆，不知如何下手，而如果能用“图

像法”，将其中各种情况清晰呈现，定能“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。

复合函数零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点

函数的图像与零点试题

高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答：

专题复习之--函数零点问题

专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.

（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且

函数图像与零点

3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：

则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2

复合函数的零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 2012.12.31 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t = 有一个零点 B .若)(,4 1 2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2 ()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2 >+=a a x x f x 的零点个数不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6

函数零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2

解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+．

专题分段函数与函数零点答案

11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)

利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6

利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 基础梳理 1．确定函数的图像 ①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点； ②．特征线：渐近线，对称轴． 2．函数的零点 ⑵．求函数的零点的知识提示： ①．判别式； ②．介值定理； ③．单调性． 两个注意 ⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域． ⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点． 三个防范 ⑴．． ⑵．． ⑶． 常见函数的图像

⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像． ⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像． ⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像． ⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像． 双基自测 ⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像． ⑶．画函数x e y x =的图像． ⑷．画函数ln x y x = 的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1 初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像．

函数与函数的零点知识点总结

函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域

复合函数图像研究及零点个数问题

复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断 正确的是（ ） A. 当 时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点 例3、已知函数f (x )＝????? |ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(0,3] C ．[0,3] D ．(0,3) 例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关 于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。

及时训练 1、已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、??? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 )(x f y =)(x g y =]2,2[ -0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g

函数的零点问题

函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有

复合函数的零点个数问题

复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且

专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)

专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进

而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-

分段函数零点问题研究

分段函数零点问题研究

分段函数作业 1. 已知函数f(x)＝???（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________． 2. 已知函数f(x)＝???（3a －1）x ＋4a ，x<1，log a x ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 3. 已知函数f(x)＝???x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 4. 已知函数f(x)＝? ??x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝? ????－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 已知函数f(x)＝?????（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为_____． 7. 已知函数f(x)＝???|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ， 其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]， 且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 9. 已知函数f(x)＝???（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ， 无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________． 10. 设函数f(x)＝???log 2??? ?－x 2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1， 若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．

复合函数零点(题)

复合函数零点 类型一：直接作图 1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是 2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22 f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2 1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为 类型二：与二次函数结合 1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________. 2、已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______. 3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++?=?--+≤??，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A. 1 (0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4 5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2 x x x f x x ?≤≤??=??>??，若关 于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取

函数与函数地零点知识点的总结

函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数 x ，在 集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x) ， x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数(一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 tan y x 中()2 x k k Z . (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义 . (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)] 的定义域，是指满足 () a g x b 的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)] 的定义域是[a,b], 求f[h(x)] 的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值 域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法3).值域 : 先考虑其定义域3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法；3.2分段函数的值域是各段的并集3.3复合函数的值域

复合函数零点问题

复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()2 2,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224 f ==()()2412 g f g ∴==????3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于 g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层 是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 例1：关于x 的方程()2 22 13120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8

零点与分段函数综合应用完整版

零点与分段函数综合应用 1、零点：()()=0()f x f x f x x ??有零点有解图像与轴有交点。 2、求零点的主要方法：???? ?????? ?? 解方程图像法 重点零点存在性定理二分法 3、分段函数：???求值图像与零点的综合应用类型一：零点 1、求函数2()=-2f x x x 的零点个数？ 2、求函数(1)ln(1) ()= 3 x x f x x ---的零点个数？ ★3、（2012年高考（湖北文））函数 ()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点 个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4、函数1 2 1 ()()2x f x x =-的零点个数为 5、已知()sin f x x π=，1 ()4 g x x =，求 ()()f x g x =的零点个数。 6、求函数()cos f x x x =-的零点个数 ★ 7、（12湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是 ()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<; 当(0,)x π∈且2 x π ≠ 时 ,()()02 x f x π '->,则 函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．8 8、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区 间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 9、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 ★10、函数32 ()ln 2x f x x =-的零点所在一个区间是 Ａ．()1,2 Ｂ．()2,3Ｃ．()3,4 Ｄ．()4,5 类型二：分段函数 1 、 设 1, ()0, 1, f x ???=??-??0(0)(0) x x x >=<, 1, ()0, g x ??=? ??

函数的零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念

对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点.

专题3---分段函数与函数零点答案

11. 已知函数f(x)＝? ????x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x ≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2 ＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝? ????－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝?????－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝?????－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为?????－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或? ????x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4.