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2018高中数学人教A版必修四第三章 3第1课时二倍角公式及其应用 训练案知能提升 练习题含答案

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, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知cos α＝13，则cos(π－2α)的值等于( )A ．－79 B.79C.23 D ．－23解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos 2α＋1＝－2×⎝⎛⎭⎫132＋1＝79，故选B.2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由sin B sin C ＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )⇒2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ⇒cos B cos C ＋sin B sin C ＝1⇒cos(B －C )＝1，又－180°<B －C <180°，所以B －C ＝0°⇒B ＝C ⇒△ABC 是等腰三角形．3．若tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值是( )A.76 B ．32 C.16 D ．－16解析：选A.原式＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋2222＋2＝76.4．tan 67°30′－1tan 67°30′的值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．4解析：选C.tan 67°30′－1tan 67°30′＝tan 267°30′－1tan 67°30′＝－22tan 67°30′1－tan 267°30′＝－2tan 135°＝2.5．已知0<α<β<π4，sin α＋cos α＝m ，sin β＋cos β＝n ，则( )A ．m <nB ．m >nC ．mn <1D ．mn >1解析：选A.m 2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，n 2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β，因为0<α<β<π4，所以0<2α<2β<π2，因为y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，所以sin 2α<sin 2β，即m 2<n 2，又m >0，n >0，所以m <n ，故选A.6．化简：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝________．解析：sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin α2cos 2α－1＝sin α（2cos 2α－1）2cos 2α－1＝sin α.答案：sin α7．已知tan x ＝2，则tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝________．解析：因为tan x ＝2，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. tan 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝34.答案：348．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．解析：y ＝12sin 2x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12， 所以函数的值域为⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12.答案：⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋129．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝14sin 2x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －32×1＋cos 2x 2＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，12，所以f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，14， 函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.10．如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？解：连接OB ，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈(0，π2)．因为A ，D 关于点O 对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A 、D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2.[B.能力提升]1．已知不等式32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62－m ≤0对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥ 3B ．m ≤ 3C ．m ≤－ 3D ．－3≤m ≤ 3解析：选A.32sin x 4cos x 4＋6cos 2x 4－62＝322sin x 2＋62cos x 2＝6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π6，所以x 2＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，所以6sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6∈[－3，3]，由题意可知m ≥ 3.2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )A.43B ．34C ．－34D ．－43解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，即3cos 2α＋4sin αcos α＝32，所以3cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝32，所以3＋4tan α1＋tan 2α＝32，即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 3．已知方程x 2－⎝⎛⎭⎫tan α＋1tan αx ＋1＝0的一个根是2＋3，则sin 2α＝________.解析：由题意可知(2＋3)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α＋cos αsin α(2＋3)＋1＝0，即8＋43－sin 2α＋cos 2αsin αcos α(2＋3)＝0，所以(2＋3)112sin 2α＝4(2＋3)，所以sin 2α＝12.答案：124．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为__________．解析：由sin α＝12＋cos α得sin α－cos α＝12，所以()sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝14，所以2sin αcos α＝34.所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22()sin α－cos α＝－2()sin α＋cos α，而()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝74，又因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝72，所以原式＝－142.答案：－1425．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．解：(1)f (x )＝a ·b ＋λ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，且直线x ＝π是f (x )的图像的一条对称轴，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又因为ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以ω＝56， 所以f (x )的最小正周期为6π5.(2)y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2×56×π4－π6＝－2sin π4＝－2，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，3π5，则53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2]．6．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－3 cos 2α)＝4.。

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人教A版高中数学必修四 3-1-3 二倍角的正弦、余弦和正

人教A版高中数学必修四 3-1-3 二倍角的正弦、余弦和正

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标：知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.情感、态度与价值观通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.二．重点难点重点：二倍角公式推导及其应用.难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.三、教材与学情分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.（二）新知探究、提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.（S 2α）;cos(α+β)=cosαcosβ-2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z).若cos2α=2cosα,则2cos 2α-2cosα-1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若tan2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z). 解答：①—⑧（略）（三）应用示例例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π.又∵sin2α=135,∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--. 于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120-; cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin 22α=1-2×(135)2=129119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sin1解:原式=2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2. 若22)4sin(2cos -=-πa a,则cosα+sinα的值为 A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+=θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++)cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右. 所以,原式成立.方法二:左=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++=tanθ=右. 方法三:左=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+∙++--∙++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++=θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin ∙+∙+=tanθ=右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.例3 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA=A A cos sin =53×45=43,tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A又tanB=2,所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A+2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA==A A cos sin 53×45=43.又tanB=2,所以tan(A+B)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.六、课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.七、课后作业1.课时练与测2.课本习题3.1 A 组15、16、17.八、教学反思。

2016高中数学人教A版必修四第三章3第1课时二倍角公式及其应用训练案知能提升练习题含答案

2016高中数学人教A版必修四第三章3第1课时二倍角公式及其应用训练案知能提升练习题含答案

［A\基础达标］1、已知cos &=错误！，则cos (兀一2a)的值等于( )A 、-错误！ B.错误！C 、错误！D 、一错误！解析:选 B 、cos(n —2<x)=—cos 2 a = —2cos 2 a +1= -2X 错误!错误！+ 1=错误！，故选&2、在/XABC 中，若 sin Bsin C=cos 2错误!，则 AABC 就是( )A 、等边三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、等腰直角三角形 解析:选B 、由sin Bsin C=错误! =>2sin Bsin C= 1 — cos(B+C)=>2sin Bsin C=l —cos Bcos C+sinBsin C=>cos Bcos C+sin fisin C= 1=>cos (B-C) =1,又一 180° <B-C <180° ,所以 B-C=0°就是等 腰三角形、3、若面】。

=2,则错误!的值就是( )A 、错误！ B.错误！C 、错误！D 、■错误!解析:选A 、原式=错误！=错误!=错误!=错误X4. tan 67° 30’ 一错误!的值为()A 、 1B 、返C 、 2D 、 4解析:选C> tan 67° 30z 一错误！=错误1=错误！=错误！=2、5、已知 0 {a<^<错误！,sin "+cos a =加,sin 0+cos 0=m 贝ij()Ax Bx m) nCx mn {1 mn>\解析:选 A> m 2=(sin a +cos a) 2= 1+sin 2 a ,n 2=(sin 3 + cos Z?)2=l + sin 2 ”，因为 Ova 于， 所以0v2av20〈错误!，因为y=sinx 在错误！上为增函数，所以sin 2 a <sin 2 /3,即nr<ir. 又加〉0, zi>0,所以m<n 9故选A 、6、 化简：错误!= _________ 、解析:错误!=错误！=错误! =sin —答案:sin o7、 已知 lan x=2t 则 tan 2错误！ = ___________ 、解析:因为tan X =29所以tan 2x=错谋！= 一错谋！、tan 2错误！ = tan 错误！=错误！=错误！=-错误!=错误!、3答案：t8、 函数y=错误!sin 2v4-sin 2x^GR 的值域就是 ___________ 、活学巧练跟踪验证［学生用书单独成册］)解析：y=^sin 2v+sin2x=错误!sin 2x+ 错误！=错误!sin2‘一错误!cos"+错误！=错误!sin错误！ +错误!，所以函数的值域为错误！、答案：错误！9、已知函数f(x)=cosx• sin错误！一错误!cos2x+错误！，xWR、(1)求几r)的最小正周期；(2)求•心)在闭区间错误!上的最大值与最小值、解:(iy (x) =cos 误！一错误!cos2x+错误！=错误!sin "—错误!cos2x+错误！=错误!sin “一错误！X错误! +错误！=错误! sin 2、•一错谋! cos 2丫=错谋! sin错误!,故/(X)的最小正周期为TT*(2)因为xw错误!，所以2x—错误！G错误!，所以sin错误比错误！.所以/ (x)e错误!，函数f (x)在闭区间错误!上的最大值为错误!，最小值为一错误！、10、如图，有一块以点0为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上,另两点5C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m如何选择关于点0对称的点儿D的位置，可以使矩形ABCD的而积最大?解:连接0B,设ZAOB = e,则AB = OBsin 6 = 20sin 6,0A = OBcos 6 = 20cos 09且ng(0, y)>因为A, D关于点0对称，所以AD=2OA=40cos 0、设矩形ABCD的面积为S,则S=A£MB=40cos 6• 20sin 6=400sin2 8、因为&G错误!，所以当sin 2^=1,即0=错误!时,SmaK=400 (m2)>此时AO=DO= 1()错误！(m)、故当A、D距离國心0为1()错误！m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积就是400[B、能力提升]1、已知不等式3错误!sin错误!cos错误!+错误!cos】错误!-错误！一川W0对于任意的错误!恒成立，则实数加的取值范用就是()Ax加豪错误！B、错误！C、加Wi错误!D、一错误!错误!解析：选A、3错误!sin错误!cos错误! +错误!cos】错误! 一错误！=错误! sin错误! +错误! cos错误!=错误! sin错误!、因为用错误!，所以错误!+错误！丘错误!，所以错误!sin错误！W [一错误!，错误!],由题意可知加豪错误！、2、已知aGRsin “+2cos 么=错误!，则tan 2 =( )A、错误！ B.错误！C、一错误！D、一错误！解析:选C、把条件中的式子两边平方，得sin2a +4sin a cos a 4-4cos2a =错课！，即3cos2a 4-4sin a cos 0=错误！，所以错误！=错误！，所以错误！=错误！，即3tan2a — &an a—3=0,解得(an a =3 或tan a =—错误!，所以tan 2 Q=错误！= 一错误！、3、已知方程工一错误山+1= 0的一个根就是2+错误！，则sin 2 </ = ___________ 、解析：由题意可知(2+错误!)2-错误!(2+错误!)+1=0,即8+4错误!一错误!(2+错误!)=0,所以(2+错误!)错误！=4(2+错误!),所以sin 2 a =错误！、答案：错课！4、已知sin "=错误!+cos a ,且aG错误!，则错误!的值为 _____________________ 、解析:由sin £?=错误！+cos a 得sin a—cos <?=错误!，所以错误!错误! = 1 —2sin a cos a =错误!，所以2sin a cos a=错误八所以错误！=错误！=一错误!错误!，而(sin a+cos a)错误! = l+2sin a cos 0=错误！，又因为0〈a〈错误!，所以sin a+cos 。

高中数学第三章3.1两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式检测新人教A版必修4

高中数学第三章3.1两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式检测新人教A版必修4

第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级 基础巩固一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B ．2.12－sin 215°的值是( D ) A ．64 B ．6－24 C ．32D ．34[解析] 原式＝12－1－cos 2×15° 2＝cos30°2＝34．3.2－2cos8＋21－sin8的化简结果是( A ) A ．2cos4－4sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4[解析] 原式＝2 1－cos8 ＋21－2sin4cos4 ＝2·1－ 1－2sin 24 ＋2 sin4－cos4 2＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4． 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( A ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35[解析] sin 4α－cos 4α＝－(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35．5．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( D )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，∴原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2．6．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．23[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．由倍角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋cos 2α＋π2 2＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝13，则cos2θ＝ 45 ．[解析] cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45． 8.3tanπ81－tan2π8＝ 32 ．[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32． 三、解答题9．求值：sin50°(1＋3tan10°)． [解析] 原式＝sin50°(1＋3sin10°cos10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2 12cos10°＋32sin10°cos10°＝sin50°·2 sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝sin50°·2sin 40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1．10．(2018·江苏卷，16)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解析] (1)解：因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β ＝255，因此tan(α＋β)＝－2． 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan α＋β 1＋tan 2αtan α＋β ＝－211．B 级 素养提升一、选择题 1．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( C ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72 [解析]cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin α cos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．2．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( B ) A ．1318 B ．1118 C ．79D ．－1[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52．将左边分子分母同除以cos 2α得， 3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝61－9＝－34． 4．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( B )A ．－13B ．－79C ．79D ．13[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝29－1＝－79．二、填空题5．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3．6．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝ －17 ．[解析] 由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43．∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17．三、解答题7．已知向量m ＝(cos α－23，－1)，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π2，0]．(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．[解析] (1)∵m 与n 为共线向量， ∴(cos α－23)×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23． (2)由(1)得1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79．∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(sin α－cos α)2＝2－(23)2＝169． 又∵α∈[－π2，0]，∴sin α－cos<0，sin α－cos α＝－43．因此，sin2αsin α－cos α＝712．8．(广东高考)已知tan α＝2． (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．[解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3．(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－ 2cos 2α－1 －1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1．C 级 能力拔高已知sin(π4－x )＝513，x ∈(0，π4)，求cos2xcos π4＋x的值．[解析] ∵x ∈(0，π4)，∴π4－x ∈(0，π4)， 又∵sin(π4－x )＝513.∴cos(π4－x )＝1213，又cos2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169．cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413．。

人教版数学高一-人教A版必修4练习 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

人教版数学高一-人教A版必修4练习 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α．思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？ 解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tanα≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos α21－cos α＝2sinα21±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos 2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425. 又由cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得 2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250.8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153. ∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cosα的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。