AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2． 证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形． 证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M的单位向量． 解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ． 方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=． 平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量． 解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ． 在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ， 因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=； 解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=； 解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？ 解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程． 解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程． 解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ， 即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦． 解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程． 解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ， 故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章 多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41． 设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二） 证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos i t i t θ⋅===⋅ .∴切线与x轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为 ：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e =222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章 重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行 于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章 曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y xLxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q Py y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y xLDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰ 故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则 L BD DCCA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得 220.L DC xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则， 22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋ 而， cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从 于是， 2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到 对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则 由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.L l x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面 解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得 ：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性． 解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性． 解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性． 解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散． 所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ； 解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑． 解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域． 解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ． 对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛； 对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数． 解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ． 设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=． 则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数． 解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数． 解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和． 解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数． 解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ． 由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ． 即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211， 得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222， 将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12， 两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=， 于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112， 分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(， 两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-． 这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =． 用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=， 代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22． 再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+， 即 22422121x xe xy dxdy-=+， 令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+． 这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=． 以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ． 解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解． 解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得 右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切． 解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=． 此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解． 解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-， 比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ． 故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量, a b的模分别是2a =,2b =, 则()22 a b a b ⨯+⋅= .2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3} s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 .3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的 条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,, a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0 a ≠时, 必有 b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( )(A) 最大 (B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,, a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0 a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅= ；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅= ；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅= ， 即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。
