《电磁场与电磁波》期终考试试卷一答案.
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《电磁场与电磁波》期终考试试卷一参考答案
一．（12分）空气中半径为a ,介电常数为ε =2ε0 的介质球充满体电荷密度为20r ρρ=的电荷，式中ρ0为常数，r 为任意点到球心的距离。
试求（1）各部分空间电场强度的分布；（2）束缚电荷 (极化电荷) 分布。
解：
2
05
020
2200
20
3
010
2
2
00
15 ,d 41
d ,10 ,d 421
d ,r a E r r r a r r E r r r a r r a S
r r
S ερπρεερπρε=
=
⋅≥=
=
⋅≤⎰
⎰
⎰⎰S E S E
10
,2
)(30pS 2
0p 1
010a r a
r r
ρρρρεεε=
⋅=-
=⋅-∇==-==a P P E E P
二．（10分）内外半径分别为a 和b 的两个同心导体球壳之间填充均匀导电媒质，电导率为σ，求内外导体间的电阻。
解：（1）设内导体带电为Q ，则内外导体之间的电场强度为2
4 r Q
E r πε=
内外导体间电压为1
1(4d b
a Q r E U
b a r -==⎰
πε
电容为 a
b ab
U Q C -==πε4
由静电比拟可得 a b ab G -=πσ4 ab
a
b R πσ4 -=
（2）设内导体流向外导体的电流为I ，则内外导体之间的电流
密度为2
4 r
I
J r π= 电场强度为2
4 r I
J E r r πσσ==
内外导体间电压为)1
1(4d b
a I r E U
b a r -==⎰
πσ
a b ab U I G -==πσ4 ab
a
b R πσ4 -=
三．（10分）边长为a 的小正方形线圈中心位于半径为b 的圆线圈轴线上，且正方形与圆环平行，间距d >> a ，如图所示。
求两线圈间的互感。
解（1）设圆环轴线为z 轴，通以电流I ，则它在z=d 处的磁感应强度2
3)
(22
2
2
0d b Ib B z +=
μ
因d >> a ，正方形内的磁场可用轴线上的磁场近似
表示，两线圈之间的互感近似为
2
3)
(2/222
202
d b b a I a B I
M z +=
≈=
μψ
（2）设正方形线圈通电流I ，则它在远场点（d >> a ）
圆环上产生的矢量磁位为
2
1)
()(4222222
0d b b
d b Ia A +⋅
+≈
πμϕ
它穿过圆线圈的磁通为b A πψϕ2d c =⋅=⎰
l A
同样得到2
3)
(22
2
2
20d b b a I
M +≈
=
μψ
四．（10分）沿z 方向无限长的矩形横截面场域，如图所示。
域内无空间
电荷分布。
已知边界条件如下：
① 在x = 0处，电位Φ = 0； ② 在x = a 处，电位Φ = 0；
③ 在y = b 处，电位Φ = U 0 Φ
④ 在y = 0处，
0=∂∂y Φ O 0=∂y
a x 试求场域内电位分布。
（最终级数表达式中的傅立叶系数可以不计算（限一
个））
解：设)()(),(y Y x X y x =Φ
x a m A x X y Y a X y a m π
Φsin ~)(0)(0,0
→=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
因此 y a
m ch C y a m sh B y Y m m π
π+~)(
000
=→=∂∂=m y B y
Φ
()⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=
∴∑
∞
=y a m x a m D y x m m ππΦch sin ,1
五．（10分）半径为a 的接地导体球外距球心2a 处有一点电荷q ，求该点电荷所受到的静电力。
解：
q ΄，位于h ΄
利用Φ（-a ）=Φ（a ）=0求得 - q ΄=-q /2, h ΄=a /2
2
02
2018)2(4a q h a q q x
x πεπεa a F -='-'= 六．（12分）已知空气中电场V/m )106cos()10sin(1.09z t x y βππ-⨯=a E ，求磁场H 和相移常数β。
解：β的计算有两种方法：（
1）由电场表达式中可知k x =10π，k z = β，ω = 6π⨯109
利用2
2
0022z x k k k +==εμω可求出πβ310= rad/m
（2）利用波动方程02
2002
=∂∂-∇t E
E εμ求出πβ310= rad/m
因此波是非均匀平面波，H 的计算只能利用用无源区麦氏方程： t
∂∂-=⨯∇H
E 0
μ )310106sin()10cos(24001
)310106cos()10sin(24003
d 1
990
z t x z t x t z
x
ππππ
ππππ
μ-⨯--⨯-=⨯∇-
=⎰
a a E H
七．（14分）无耗媒质（εr =25，μr =1）中电场为
V/m )sin( 4)cos(3βy ωt y t z x ---=a a E βω
的均匀平面波以200Mrad/s 传播。
求（1）相移常数β，波长λ，本征阻抗η，相速v p ，波的极化状态；（2）磁场H 和平均能流密度矢量S 平均。
解：右旋椭圆极化波
Ω 24πε
μ
η==
rad/m 3/10==μεωβ m/s 1061/ m 6.0/27⨯====μεπβπλp v
E
a H ⨯=
y η
1
A/m )3
10102cos(81 )310102sin(6188y t y t z x
-⨯--⨯-=ππa a []
2* W/m 4825
21π
y a H E =⨯= 平均S
八．（12分）如图所示，均匀平面波由空气入射到理想导体表面（z =0），
已知入射波电场 V/m 5)
3(3z x j y e -∙
+=πa E ，求 ⑴入射波的相移常数和
波长；⑵反射波的电场和磁场。
解：πππ6133 )3(3=+=+-=k z x a a k m 3/1/2==k πλ
O z
3
21
23πθθ='=→+-==
z x k k a a k a 2
1
23z x k a a a --='
)3(3z x a a k --='π
垂直极化的理想导体全反射R =-1
V/m 5)
3(
3z x j y e +∙
--=πa E
-'-⨯=E a H k 0
1ηV/m )3(481)
3(3z x j z
x e ++-=ππa a
九．（10分）如图所示，长直矩形金属波导管中存在的TE 波各场量为
z jk x z y b n x a m A E -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=e
sin cos 1ππ, z
jk y z y b n x a m A E -⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=e
cos sin 2ππ
z jk x z y b n x a m A H -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=e cos sin 3ππ，z
jk y z y b n x a m A H -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=e
sin cos 4ππ z
jk z z y b n x a
m A H -⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=e
cos cos 5ππ
其中A 1、A 2、A 3、A 4、A 5是常数。
求TE 10模在波导管内壁上的电流分布。
解：TE 10模：m=1，n=0
z jk y z x a A E -⎪⎭⎫
⎝⎛=e sin 2π
z jk x z x a
A H -⎪⎭
⎫
⎝⎛=e sin 3π z jk z z x a A H -⎪⎭
⎫
⎝⎛=e cos 5π 其余场量为零
s S H n J ⨯= z jk y x x x S
z A -==-=⨯=e 50
a H
a J z jk y a
x x a
x S
z A -==-=⨯-=e 5a H
a J
z jk z x y y y S
z x a πA x a πA -==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=⨯=e )sin()cos(350
a a H
a J
z jk z x b
y y b
y S
z x a πA x a πA -==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=⨯-=e )sin()cos(35a a H
a J。
