初等数学116 极坐标与参数方程84页PPT

极坐标与参数方程一、极坐标知识点1.极坐标系的概念（1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可•但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系•（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为•有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）.一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数•特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示•如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示；同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的•2.极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方4 4 4 4 4 4 4 4程、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化例题1、在极坐标中，求两点 P(2,Q ), Q(2,-)之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 程。

考点二 参数方程与普通方程的互化
例 2 (1)(2013·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数
方
程
为
x＝t＋1， y＝2t
(t
为参数)，曲线
C 的参数方程为
本 讲 栏
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
目 开
并求出它们的公共点的坐标．
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
热点分类突破
专题七 第3讲
M 的轨迹的参数方程为
本
x＝cos α＋cos 2α， y＝sin α＋sin 2α
(α 为参数，0<α<2π)．
讲
栏 目
②M 点到坐标原点的距离
开
关 d＝ x2＋y2＝ 2＋2cos α(0<α<2π)．
当 α＝π，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
∴e＝
ac22＝
3b32－b2 b2＝
23＝
6 3.
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专题七 第3讲
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴为极轴
本 讲
建立极坐标系，曲线
C1
的参数方程为x＝tan1 φ， y＝tan12φ
(φ 为参
栏
目 数)，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线 C1
P、Q
都在曲线
C：xy＝＝22scions
t， t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0<α<2π)，M 为
本 PQ 的中点．
讲 栏
①求 M 的轨迹的参数方程；

答案

3π 2， 4
探究提高
解决这类问题一般有两种思路．一是将极
坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标， 再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立， 根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条 件及隐含条件．
变式训练 2
在极坐标系中，已知直线 l 的极坐标方
.
热点分类突破
题型一 极坐标与直角坐标(方程)的互化 例 1 (1)若点 P 的直角坐标为(1， － 3)， 则点 P 的极 坐标为________(0≤θ<2π)； 1 (2)将曲线的极坐标方程 sin θ＝ 化为直角坐标方程 3 为________________． 思维启迪 用极坐标与直角坐标的互化公式求解．
考题分析
本小题考查了极坐标的概念，曲线的极坐
标方程以及利用曲线的极坐标方程求曲线的交点问 题．考查了极坐标的基础知识以及运用极坐标解决问 题的能力．
易错提醒
(1)易忽略 ρ≠0 的条件和 0≤θ<2π.
(2)忽视极坐标与直角坐标的互化．
主干知识梳理
1．直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 正半轴作为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．设 M 是平面内的任 意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x，y)和(ρ，θ)，则
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y x＝ρcos θ ， . y y ＝ ρ sin θ tan θ＝ (x≠0) x
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为 α， 则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； π (3)直线过 M(b， )且平行于极轴：ρsin θ＝b. 2

(2)对于方程,可以看出,当取任何值时,的取值都
2
是 ,因此方程的图像是通过极点O,且垂直于极轴的直线BA
2
图10-9.
B 2

2
x
O
A
图 109例 6题 (2) 图 形
2
在 极 坐 标 系 中 ,有 时 方 程 的 形 式 简 单 ,但 所 表 示 的 曲 线 却 比 较 复 杂 . 如 果 只 用 描 点 法 , 则 需 要 求 出 曲 线 上 相 当 多 的 点 , 才 能 画 出 整 个 曲 线 . 为 了 作 图 的 方 便 , 我 们 先 来 了 解 曲 线 对 称 性 .
这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式： 4 ，2 k π +
π 4

题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )

2
图10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 ,可 得 到 曲 线 f的 对 称 关 系 见
表 1 0 - 1 .
表 1 0 - 1 曲 线 = f 的 对 称 关 系
以 代 替 , 方 程 不 变曲线关于极点对称 以 代 替 , 方 程 不 变曲线关于极轴对称
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4， 请说出点M的极坐标的其