广东省阳东广雅中学高考数学总复习 第十二章 不等式练习

第十二章 不等式选讲考点集训(七十五) 第75讲 含绝对值不等式1．已知函数f (x )＝|2x －1|＋2，g (x )＝－|x ＋2|＋3.(1)解不等式：g (x )≥－2；(2)当x ∈R 时，f (x )－g (x )≥m ＋2恒成立，某某数m 的取值X 围．2．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )＋x 2－1>0；(2)设g (x )＝－|x ＋3|＋m ，f (x )<g (x )的解集非空，某某数m 的取值X 围．3．设不等式－2<||x －1－||x ＋2<0的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14； (2)比较||1－4ab 与2||a －b 的大小，并说明理由．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥1，1x ，0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(1)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，某某数b 的取值X 围；(2)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．5．已知函数f ()x ＝||x －a .(1)若f ()x ≤m 的解集为[]－1，5，某某数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t <2时，解关于x 的不等式f ()x ＋t ≥f ()x ＋2.6．已知关于x 的不等式||2x －1－||x －1≤log 2a .(1)当a ＝8时，求不等式解集；(2)若不等式有解，求a 的取值X 围．7．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值X 围．8．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值X围．考点集训(七十六) 第76讲不等式证明的基本方法1．已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M、N的大小关系为__________．2．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．3．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．4．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b|.5．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.6．用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n >n ＋22(n ∈N *，n ≥2)．7．已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 恒成立，试某某数m 的取值X 围或值．第十二章 不等式选讲第75讲 含绝对值不等式【夯实基础】基础检测1．B 2.[0，4]3.A 4.D 5.(－∞，8]【知识要点】3．－a ＜x ＜ax ＜－a 或x ＞a(1)－c ≤ax ＋b ≤cax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c【走进高考】【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f(x)＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|23＜x ＜2. (2)由题设可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值X 围为(2，＋∞)．【考点集训】1．【解析】(1)由g ()x ≥－2得||x ＋2≤5，解得－7≤x ≤3，所以不等式的解集是{}x |－7≤x ≤3.(2)设h ()x ＝f ()x －g ()x ＝||2x －1＋||x ＋2－1，则h ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ≤－2，－x ＋2，－2<x<12，3x ，x ≥12.所以h ()x ≥32， 所以对应任意x ∈R ，不等式f ()x －g ()x ≥m ＋2恒成立，得m ＋2≤32，得m ≤－12.所以m 的取值X 围是m ≤－12. 2．【解析】(1)由题意原不等式可化为：|x －1|>1－x 2，即：x －1>1－x 2或x －1<x 2－1，由x －1>1－x 2得x >1或x <－2，由x －1<x 2－1得x >1或x <0，综上原不等式的解集为{x |x >1或x <0}．(2)原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|<m 的解集非空，令h (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，即h (x )＝(|x －1|＋|x ＋3|)min <m ，由|x －1|＋|x ＋3|≥|x －1－x －3|＝4，所以h (x )min ＝4，所以m >4.3．【解析】(1)记f (x )＝||x －1－||x ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1. ∴由－2<－2x －1<0解得－12<x <12， 即集合M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 12. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13||a ＋16||b <13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14， ∵||1－4ab 2－(2||a －b )2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴||1－4ab 2>(2||a －b )2，即||1－4ab >2||a －b .4．【解析】(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)，g (x )≤ |x －1|＋b ⇔－b ≤|x －1|＋|x －2|，|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立． 实数b 的取值X 围是[－1，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x －2，0<x <1，2x －2，1≤x ≤2，2，x >2.当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2>2x ·1x－2＝0； 当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1等号成立；故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0.5．【解析】(1)因为||x －a ≤m ，所以a －m ≤x ≤a ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)a ＝2时等价于||x －2＋t ≥||x ，当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t <2，所以舍去；当0≤x <2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立； 当x <0，2－x ＋t ≥－x 成立．所以，原不等式解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.6．【解析】(1)由题意可得：||2x －1－||x －1≤3，当x ≤12时，－2x ＋1＋x －1≤3，x ≥－3，即－3≤x ≤12； 当12<x <1时，2x －1＋x －1≤3，即x ≤53； 当x ≥1时，2x －1－x ＋1≤3，即x ≤3，∴该不等式解集为{} |x －3≤x ≤3.(2)令f (x )＝||2x －1－||x －1，有题意可知：log 2a ≥f (x )min ，又∵f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤12，3x －2，12<x <1，x ，x ≥1.∴f (x )min ＝－12，即a ≥2－12，a ≥22. 7．【解析】(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 8．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3. 当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值X 围为[－3，0]．第76讲 不等式证明的基本方法【考点集训】1．M ≥N2.M>N3．【解析】(1)由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.4．【解析】|f(a)－f(b)|＝|1＋a 2－1＋b 2| ＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b||a ＋b|1＋a 2＋1＋b2 ≤|a －b|（|a|＋|b|）1＋a 2＋1＋b 2<|a －b|（|a|＋|b|）a 2＋b2＝|a －b|. 5．【解析】 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝（b ＋c ）（a ＋c ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8. (2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，2(a ＋b ＋c)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c)≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c)2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c)2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.6．【解析】(1)当n ＝2时，1＋12＋13＋14>1＋12＋14＋14＝2＋22，不等式成立． (2)假设当n ＝k 时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋22， 则n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 >k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1,\s\do4(2k 个)) ＝k ＋22＋12＝（k ＋1）＋22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)可知，对任何n ∈N ，n ≥2不等式成立．7．【解析】(1)∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0.∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x . (2)(ⅰ)若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于m 2≥x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－3xy xy <－3xy xy＝－3， 即x 3＋y 3xy （x ＋y ）<－3，∴m >－6； (ⅱ)若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y 等价于 m 2≤x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）≥1，∴m ≤2. 综上所述，实数m 的取值X 围是(－6，2]．。

高中数学高考总复习：不等式巩固练习题（含答案解析）【巩固练习】1.（2016 黄浦区一模）已知x ∈R ，下列不等式中正确的是（ ） A ．＞B ．＞C ．＞D ．＞2．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃-，21)0,31(C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21313．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <4．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y =D ．1y x =- 5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．5 6．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,37. （2016 杭州模拟）已知变量x ，y 满足，则的取值范围是 ．8．若{}|3,,A x x a b ab a b R+==+=-∈，全集I R =，则IC A =___________。

9．若121log a x a -≤≤的解集是11[,]42,则a 的值为___________。

10．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值是________。

11．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________. 12．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 12-3不等式选讲课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 [答案] D[解析] 由条件知－1、2都是方程|ax ＋2|＝6的根，代入解得a ＝－4.2．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定[答案] B[解析] ∵0<a <1b ，∴ab <1，a >0，b >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b＝(1－a )(1＋b )＋(1＋a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0，∴M >N .3．已知命题p ：∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m ，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由绝对值不等式的几何性质可知，∀x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝(－2m )2－4(m 2＋m －3)＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．4．若a ，b ∈R 且a ≠b ，则在①a 2＋ab >2b 2；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)；④b a ＋ab>2.这四个式子中一定成立的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 [答案] D[解析] ①中a 2＋ab －2b 2＝(a ＋b 2)2－94b 2>0不一定成立，②中a 5＋b 5－a 3b 2－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． 当a ＋b <0时，不等式不成立，③中a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0 故③成立，④中ab <0时不成立，故只有③正确．5．(文)不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[－2,5] D ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)[答案] A[解析] 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(理)若不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 2－a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1， x ≥4，9， －5<x <4，－2x －1， x ≤－5，∴|x －4|＋|x ＋5|≥9，∴log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2， 由题设条件知a 2－a <2，∴－1<a <2. 二、填空题6．(2013·石家庄模拟)若不等式|3x －b |<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．[答案] (5,7)[解析] ∵|3x －b |<4，∴b －43<x <b ＋43.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －43<1，3<b ＋43≤4，解得5<b <7，∴b 的取值范围是(5,7)．7．(文)(2013·山东师大附中三模)不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________． [答案] (－23，0)[解析] 当x ≤－12时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－23，此时－23<x ≤－12.当－12<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，此时－12<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <23，此时不等式无解．综上，不等式的解集为－23<x <0.(理)(2013·陕西)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |>2的解集是________．[答案] (－∞，＋∞)[解析] ∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |>2， ∴|x －a |＋|x －b |>2恒成立，则解集为R . 8．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________． [答案] 34[解析] 因为12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |·|a |b ＝a 4|a |＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号，故12|a |＋|a |b 的最小值是34. 9．不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为________． [答案] (－∞，－3)[解析] 解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，∴－3≤P (A )－P (B )≤3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－12x －1，－1<x <2，3，x ≥2要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．三、解答题10．(文)(2013·云南玉溪一中月考)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－m . (1)当m ＝5时，求f (x )>0的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥2的解集是R ，求m 的取值范围． [解析] (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|>5，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋1＋x －2>5，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ＋1－x ＋2>5， 或⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2>5.解得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． (2)不等式f (x )≥2即|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2，∵x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ， ∴m ＋2≤3，m 的取值范围是(－∞，1]．(理)(2013·贵州六校联盟模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围． [解析] (1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1，其图象如下．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3，(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)， 于是|1－2m |≤7，∴－3≤m ≤4. 即实数m 的取值范围是[－3,4].能力拓展提升一、解答题11．(文)(2013·河南师大附中期末)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围． [解析] (1)a ＝－5时，|x ＋1|＋|x －2|－5≥0， ∴x ≥3或x ≤－2，∴f (x )的定义域为[3，＋∞)∪(－∞，－2]． (2)|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0恒成立，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a 恒成立， 令g (x )＝|x ＋1|＋|x －2|， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x >2)，3(－1≤x ≤2)，1－2x (x <－1).由g (x )的图象知g (x )min ＝3， ∴－a ≤3，∴a ≥－3.[解法探究] (2)问中，由绝对值不等式的性质g (x )≥|x ＋1－(x －2)|＝3，∴－a ≤3，∴a ≥－3.(理)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m . (1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围． [解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0 即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞) (2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， 即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5， 即m 的取值范围是(－∞，5)．12．(文)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.[证明] 证法一：∵a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋1ab ＝2＋b a ＋a b ＋1ab≥2＋2b a ·ab＋1(a ＋b 2)2＝8，等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝ab ，a ＝b ，a ＋b ＝1，∴a ＝b ＝12.综上1a ＋1b ＋1ab≥8.证法二：∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b ＋1ab ＝2ab≥8. (理)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .[证明] 因为x ，y ，z 都为正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z .同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2得， x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 13．(文)(2013·福建理，21)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[解析] (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3. (理)(2013·辽宁理，24)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． [解析] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则 h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a .2a ，x ≥a .∵a >1，∴x ≤0时，h (x )＝－2a <－2，x ≥a 时，h (x )＝2a >2， 而已知不等式|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，∴不等式|h (x )|≤2化为⎩⎪⎨⎪⎧－2≤4x －2a ≤2，0<x <a ，即⎩⎨⎧a －12≤x ≤a ＋12，0<x <a ，∵a >1，∴a －12>0，a ＋12<a ，∴由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又∵|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[点评] 第(2)问是求解的难点，可借助图象帮助理解．作出h (x )的图象如图．∵a >1，|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， ∴|h (x )|≤2，即|4x －2a |≤2. 此不等式的解集为{x |1≤x ≤2}．14．(2013·新课标Ⅱ理，24)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. [解析] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得， a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： (1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )． (2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．4．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法． 补充材料1．证明不等式常用的方法(1)比较法：依据a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0来证明不等式的方法称作比较法． 其基本步骤：作差→配方或因式分解→判断符号→得出结论．(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出命题成立的方法．它是由因导果法．(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法．分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径．常常是分析找思路，综合写过程．(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法．(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明目的，这种方法称为放缩法．2．柯西不等式 (1)一般形式：设a 1、a 2、…、a n 、b 1、b 2、…、b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |.其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n )．(2)二维形式的柯西不等式：①定理1(代数形式) 设a 1、a 2、b 1、b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2.上式等号成立⇔a 1b 2＝a 2b 1.②定理2(向量形式) 设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.当α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔向量α和β共线⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.当α或β为零向量时，上面结果仍成立．③定理3 设a 1、a 2、b 1、b 2为实数，则a 21＋a 22＋b 21＋b 22≥(a 1＋b 1)2＋(a 2＋b 2)2，等号成立⇔存在非负实数λ及μ，使μa 1＝λb 1，μa 2＝λb 2.④定理4(平面三角不等式)设a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2∈R ，则(a 1－b 1)2＋(a 2－b 2)2＋(b 1－c 1)2＋(b 2－c 2)2≥(a 1－c 1)2＋(a 2－c 2)2，等号成立⇔存在非负实数λ和μ，使μ(a 1－b 1)＝λ(b 1－c 1)，μ(a 2－b 2)＝λ(b 2－c 2)成立，其几何意义是三角形两边之和大于第三边．⑤定理5(三角不等式的向量形式)设α、β、γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，当α－β、β－γ为非零向量时，上式中等号成立⇔存在正常数λ，使α－β＝λ(β－γ)⇔向量α－β与β－γ同向．3．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式) 设a 1、a 2、a 3、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n 等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．推论1：设a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，且a 1a 2…a n ＝1，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n ＝1.推论2：设C 为常数，且a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则当a 1＋a 2＋…＋a n ＝nC 时，a 1a 2…a n ≤C n 且等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .(2)定理2(调和平均数不等式)设a 1、a 2、…、a n 为正数，则n a 1a 2…a n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，等号成立⇔a 1＝a 2＝…＝a n .推论：设a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2.(3)加权平均不等式设a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，p 1、p 2、…、p n 都是正有理数，并且p 1＋p 2＋…＋p n ＝1，那么p 1a 1＋p 2a 2＋…＋p n a n ≥ap 11ap 22…ap nn .4．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1、c 2、…、c n 为b 1、b 2、…、b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .即反序和≤乱序和≤顺序和．5．贝努利不等式设x >－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n >1＋nx .备选习题1．f (x )＝2x ＋31－x 的最大值为( )A ．5 B.121313 C.13 D.522[答案] C [解析] (2x ＋31－x )2≤(22＋32)[(x )2＋(1－x )2]＝13，∴2x ＋31－x ≤13，等号在x 2＝1－x3，即x ＝413时成立．2．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N[答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)]＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1，故选C.3．已知函数f (x )＝|x －a |＋a ，若不等式f (x )≤4的解集为{x |2≤x ≤4}．(1)求a 的值；(2)若不等式f (x )≤mx 的解集非空，求m 的取值范围．[解析] (1)由|x －a |＋a ≤4得：|x －a |≤4－a ，∴a －4≤x －a ≤4－a ，即∴2a －4≤x ≤4，又不等式f (x )≤4的解集为{x |2≤x ≤4}，∴2a －4＝2，∴a ＝3.(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝mx 的图象可知，当且仅当m ≥1或m <－1时，函数y ＝f (x )与函数y ＝mx 的图象有交点．故不等式f (x )≤mx 的解集非空时，m 的取值范围为：(－∞，－1)∪[1，＋∞)．4．若|a |<1，|b |<1，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1. [分析] 本题的条件与结论之间联系不明显，一时无从着手证明，故考虑使用反证法．[证明] 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1，则|a ＋b |≥|1＋ab |， ∴a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2.∴a 2＋b 2－a 2b 2－1≥0.∴a 2－1－b 2(a 2－1)≥0.∴(a 2－1)(1－b 2)≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥01－b 2≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≤01－b 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥1b 2≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤1b 2≥1，与已知矛盾，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1. 5．设f (x )＝ln(|x －1|＋m |x －2|－3)(m ∈R )．(1)当m ＝0时，求函数f (x )的定义域；(2)当0≤x ≤1时，是否存在m 使得f (x )≤0恒成立，若存在求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)当m ＝0时，|x －1|－3>0，∴x >4或x <－2，∴函数f (x )的定义域为 {x |x >4或x <－2}．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝ln[2m －(m ＋1)x －2]，f (x )≤0恒成立等价于0<2m －(m ＋1)x －2≤1恒成立，∴m >2＋x 2－x 且m ≤x ＋32－x. ①∵0≤x ≤1，∴2＋x 2－x ＝－1＋42－x∈[1,3]， ∴m >(2＋x 2－x)max ＝3， ②∵0≤x ≤1，∴x ＋32－x ＝－1＋52－x ∈[32，4]， ∴m ≤(x ＋32－x)min ＝32， ∴不存在m 使得f (x )≤0恒成立．6．(2013·山西大学附中期中)设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)若不等式f (x )≤a 的解集为(－∞，12]，求a 的值； (2)若∃x ∈R ，f (x )＋4m <m 2，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.其图象如下：当x ＝12时，f (x )＝0，当x <12时，f (x )<0；当x >12时，f (x )>0，所以a ＝0.(2)不等式f (x )＋4m <m 2，即f (x )<m 2－4m ，因为f (x )的最小值为－3，所以问题等价于－3<m 2－4m ， 解得m <1或m >3.故m 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．。

广东省阳东广雅中学2014届高考数学总复习练习：第十章 解析几何一、 考试内容（一）直线和圆的方程直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。

两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。

用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。

圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。

(二)圆锥曲线方程椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

二、双基透视 (一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--； 4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）； 重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. 设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b ≠2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1. (三)圆的有关问题1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+.2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=. 当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.3.圆的参数方程圆的普通方程与参数方程之间有如下关系： 222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）2013高考真题（直线与圆的方程）1.(安徽） 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为（ ） （A ）-1 (B) 1 (C) 3 (D) -3[2.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B I 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.（广东文科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B I 的元素个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．（四川文科3）圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是（ ） （A ）)3,2( （B ）)3,2(- （C ）)3,2(-- （D ）)3,2(- 5.（浙江文科12）若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直， 则实数m =___________6.（全国大纲文11）设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1）， 则两圆心的距离12C C =( )(A)4 (B)42 (C)8 (D)827.（重庆理8）在圆06222=--+y x y x 内，过点)1,0(E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．25B ．210C ．152D ．2208.（重庆文13）过原点的直线与圆222440x y x y +--+=相交所得弦的长为2， 则该直线的方程为 _________9.（上海文5）若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为 ． (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆对称中心叫做椭圆中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. (六)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1.2. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x aby ±=或表示为02222=-b y a x .(九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。