2020高考数学一轮复习第八章立体几何初步课时训练

【课时训练】第40节 空间向量及其运算一、选择题1．(2018泸州模拟)在空间直角坐标系中，点P (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为30，则m 的值为( )A ．－9或1B ．9或－1C ．5或－5D ．2或3【答案】B【解析】由题意知|PP 1|＝30，即(m －4)2＋(－1)2＋(－2)2＝30，∴(m －4)2＝25，解得m ＝9或m ＝－1.故选B.2．(2018滨州模拟)已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－143 C ．145 D ．2【答案】D【解析】由题意知a·(a －λb )＝0，即a 2－λa·b ＝0，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.3．(2018东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B ．66 C ．－66 D ．±6【答案】C【解析】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.4．(2018贵州遵义模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6，2μ－1,2λ)．若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12 C ．－3,2 D ．2,2【答案】A【解析】∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.5．(2018济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】因为OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1，所以P ，A ，B ，C 四点共面．6．(2018山东聊城一模)已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1，0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．－1B ．43C ．53D ．75 【答案】D【解析】由题意知k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －2×2＝5k －7＝0，解得k ＝75.7．(2018哈尔滨九中月考)若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( )A ．c ∥dB ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能 【答案】B【解析】由题意得c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面，∴c ⊥d.8．(2018杭州模拟)在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】如图，令AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.二、填空题9．(2018西安联考)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ>0，则λ＝________.【答案】3【解析】因为λa ＋b ＝(4，－λ＋1，λ)， 所以|λa ＋b |＝16＋(－λ＋1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋17＝29，化简整理，得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，又λ>0，所以λ＝3.10．(2018浙江金华模拟)已知向量a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)．若a ∥b ，则a 与b 的夹角为________．【答案】π【解析】∵a ∥b ，∴x －2＝4y ＝1－1，∴x ＝2，y ＝－4.∴a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，∴a ＝－b ，∴〈a ，b 〉＝π.11．(2018北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为 1.若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．【答案】[0,1]【解析】由题意可设BP →＝λB D 1→，其中λ∈[0,1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λB D 1→)＝AB →2＋λAB →·B D 1→＝AB →2＋λAB →·(A D 1→－AB →)＝(1－λ)AB →2＝1－λ∈[0,1]，因此DC →·AP →的取值范围是[0,1]．12．(2018江西南昌模拟)在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.【答案】AG →【解析】由题意知AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12×2BG →＝AB →＋BG →＝AG →.三、解答题13．(2018山东滨州行知中学期末)已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，M 是PD 的中点，F 是PC 上的点．(1)求证：平面AEF ⊥平面P AD ；(2)当F 是PC 的中点，且AB ＝AP 时，求二面角F －AE －M 的余弦值．(1)【证明】连接AC .∵底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是正三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC . 又∵AD ∥BC ，∴AE ⊥AD .∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥AE .又∵P A ∩AD ＝A ，∴AE ⊥平面P AD . 又AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面P AD .(2)【解】由(1)得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB ＝AP ＝2，则AE ＝3，则A (0,0,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0，0,2)，E (3，0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，M (0,1,1)，∴AE →＝(3，0,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1，AM →＝(0,1,1)．设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的一个法向量，则⎩⎨⎧m ·AE →＝3x ＝0，m ·AF →＝32x ＋12y ＋z ＝0，取z ＝1，得m ＝(0，－2,1)．同理，平面AME 的一个法向量n ＝(0，－1,1)． 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝3 1010.由图可知，二面角F －AE －M 的平面角为锐角， ∴二面角F －AE －M 的平面角的余弦值为3 1010.。

高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量8.2球的切、接问题题型一特殊几何体的切、接问题例1(1)已知正方体的棱长为a，则它的外接球半径为________，与它各棱都相切的球的半径为________．答案32a22a解析∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，为3a，∴它的外接球的半径为32a，∵球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，而正方体的面对角线长为2a，∴与它各棱都相切的球的半径为2 2a.(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案2 3π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面P AB，如图所示，则△P AB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB中，P A＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝2 2，故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫223＝23π.思维升华 (1)正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球的半径R ＝64a ，内切球的半径r ＝612a ，其半径R ∶r ＝3∶1(a 为该正四面体的棱长)．跟踪训练1 (1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为( ) A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π 答案 B解析 如图所示，设球O 的半径为R ，由球的体积公式得43πR 3＝32π3，解得R ＝2. 设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r ＝2cos α， 圆柱的高为4sin α，∴圆柱的侧面积为4πcos α×4sin α＝8πsin 2α， 当且仅当α＝π4，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________． 答案9π2解析 易知AC ＝10.设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ， 所以r ＝2. 因为2r ＝4>3，所以最大球的直径2R ＝3，即R ＝32，此时球的体积V ＝43πR 3＝9π2.题型二 补形法例2 (1)在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 答案 C解析 由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2＋y 2＝3，x 2＋z 2＝5，y 2＋z 2＝4，则有(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6(R 为外接球的半径)，得2R 2＝3，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝6π.(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD 为矩形，CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．答案 136π解析 如图添加的三棱锥为直三棱锥E －ADF ，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF －BCE ， 因为CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1， 所以S △CBE ＝12CE ×BC ＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF －BCE 的体积为 V ＝S △EBC ·DC ＝12×2＝1，添加的三棱锥的体积为13V ＝13；如图，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连接MN ，与AE 交于点O ，因为四边形AFEB 为矩形，所以O 为AE ，MN 的中点，在直三棱柱ADF －BCE 中，CE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，即∠ECB ＝∠FDA ＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O ，连接DO ，DO 即为球的半径， 连接DM ，因为DM ＝12AF ＝22，MO ＝1，所以DO 2＝DM 2＋MO 2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4π·DO 2＝6π. 思维升华 补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解．跟踪训练2 已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( ) A.7143π B ．14π C ．56π D.14π答案 B解析 以线段P A ，PB ，PC 为相邻三条棱的长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′被平面ABC 所截的三棱锥P －ABC 符合要求，如图，长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′与三棱锥P －ABC 有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP ′，设外接球的半径为R ， 则(2R )2＝PP ′2＝P A 2＋PB 2＋PC 2 ＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S ＝4πR 2＝π·(2R )2＝14π. 题型三 定义法例3 (1)已知∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，若P A ＝AB ＝BC ＝1，则四面体P ABC 的外接球(顶点都在球面上)的体积为( ) A ．π B.3π C ．2π D.3π2答案 D解析 如图，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，由题意得P A ⊥BC ，又因为AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB ， 所以BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，OB ＝12PC ，同理OA ＝12PC ，所以OA ＝OB ＝OC ＝12PC ，因此P ，A ，B ，C 四点在以O 为球心的球面上， 在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝3， 球O 的半径R ＝12PC ＝32，所以球的体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝3π2.延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体P －ABC 的内切球的半径为________． 答案2－12解析 设四面体P －ABC 的内切球半径为r . 由本例(1)知，S△P AC＝12P A·AC＝12×1×2＝22，S△P AB＝12P A·AB＝12×1×1＝12，S△ABC＝12AB·BC＝12×1×1＝12，S△PBC＝12PB·BC＝12×2×1＝22，V P－ABC＝13×12AB·BC·P A＝13×12×1×1×1＝16，V P－ABC＝13(S△P AC＋S△P AB＋S△ABC＋S△PBC)·r＝13⎝⎛⎭⎫22＋12＋12＋22·r＝16，∴r＝2－1 2.(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－P AD的外接球的表面积为() A．12π B．34πC．68π D．126π答案 C解析如图，由题意可知，MP⊥P A，MP⊥PD.且P A∩PD＝P，P A⊂平面P AD，PD⊂平面P AD，所以MP⊥平面P AD.设△ADP的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得ADsin ∠APD ＝2r ，即4sin 150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －P AD 的外接球的半径为R ， 则(2R )2＝PM 2＋(2r )2，即(2R )2＝4＋64＝68，所以4R 2＝68， 所以外接球的表面积为4πR 2＝68π.思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 跟踪训练3 (1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________．答案4π3解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＝3，98＝6×34x 2h ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，h ＝ 3. ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝12，球心到底面的距离d ＝32.∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π3.(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，其中AD ＝1，AB ＝2，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为( ) A.16π3 B.76π3 C.64π3 D.19π3 答案 A解析 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ＝PD ，取AD 的中点E ，则PE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥AB ，由AD ⊥AB ，AD ∩PE ＝E ，AD ，PE ⊂平面P AD ，可知AB ⊥平面P AD ， 由△P AD 为等边三角形，E 为AD 的中点知，PE 的三等分点F (距离E 较近的三等分点)是三角形的中心，过F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心O 作平面ABCD 的垂线，两垂线交于点I ，则I 即外接球的球心． OI ＝EF ＝13PE ＝13×32＝36，AO ＝12AC ＝52，设外接球半径为R ， 则R 2＝AI 2＝AO 2＋OI 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫362＝43， 所以四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为S ＝4πR 2＝4π×43＝16π3.课时精练1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为( ) A. 3 B ．3 3 C ．3 D.13答案 C解析 设正方体的外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R ＝3，所以R ＝32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r ＝1，即r ＝12，所以R r ＝3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4πR 24πr 2＝R 2r2＝3.2．(2022·开封模拟)已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( ) A ．36π B ．48π C ．36 D ．24 2答案 A解析 设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，得2πr ＝23π3×26，解得r ＝2 2.作出圆锥的轴截面如图所示．设圆锥的高为h ， 则h ＝262－222＝4.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ，则有R ＝h －R 2＋r 2，即R ＝4－R2＋222，解得R ＝3，所以该圆锥的外接球的体积为 4πR 33＝4π×333＝36π. 3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 答案 A解析 如图所示，在正四棱锥P －ABCD 中，O 1为底面对角线的交点，O 为外接球的球心．V P －ABCD ＝13×S 正方形ABCD ×3＝6，所以S 正方形ABCD ＝6，即AB ＝ 6. 因为O 1C ＝126＋6＝ 3.设正四棱锥外接球的半径为R ， 则OC ＝R ，OO 1＝3－R ，所以(3－R )2＋(3)2＝R 2，解得R ＝2. 所以外接球的表面积为4π×22＝16π.4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为( ) A.68π B.64π C.38π D.34π 答案 A解析 如图将棱长为1的正四面体B 1－ACD 1放入正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，且正方体的棱长为1×cos 45°＝22， 所以正方体的体对角线 AC 1＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝62， 所以正方体外接球的直径2R ＝AC 1＝62， 所以正方体外接球的体积为 43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫643＝68π， 因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为68π. 5．(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A ．3π B ．4π C ．9π D ．12π 答案 B解析 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3∶1， 即AD ＝3BD ，设球的半径为R ，则4πR 33＝32π3，可得R ＝2，所以AB ＝AD ＋BD ＝4BD ＝4， 所以BD ＝1，AD ＝3，因为CD ⊥AB ，AB 为球的直径， 所以△ACD ∽△CBD ，所以AD CD ＝CDBD ，所以CD ＝AD ·BD ＝3，因此，这两个圆锥的体积之和为 13π×CD 2·(AD ＋BD )＝13π×3×4＝4π. 6．(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9 cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：6≈2.45，π≈3.14)( )A ．20 cm 3B ．22 cm 3C ．26 cm 3D ．30 cm 3答案 C解析 如图，正四面体ABCD ，其内切球O 与底面ABC 切于O 1，设正四面体棱长为a ，内切球半径为r ，连接BO 1并延长交AC 于F ，易知O 1为△ABC 的中心，点F 为边AC 的中点．易得BF ＝32a ， 则S △ABC ＝34a 2，BO 1＝23BF ＝33a ， ∴DO 1＝BD 2－BO 21＝63a ， ∴V D －ABC ＝13·S △ABC ·DO 1＝212a 3，∵V D －ABC ＝V O －ABC ＋V O －BCD ＋V O －ABD ＋V O －ACD ＝4V O －ABC ＝4×13×34a 2·r ＝33a 2r ，∴33a 2r ＝212a 3⇒r ＝612a ， ∴球O 的体积V ＝43π·⎝⎛⎭⎫612a 3＝43π·⎝⎛⎭⎫612×93＝2768π≈278×2.45×3.14≈26(cm 3)． 7．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝6，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝23，点D 为AB 的中点，过点D 作球的截面，则截面的面积不可以是( ) A.π2 B ．π C ．9π D ．13π答案 A解析 三棱锥P －ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球， ∴2R ＝62＋22＋232＝213，∴R ＝13，取BC 的中点O 1，∴O 1为△ABC 的外接圆圆心，∴OO 1⊥平面ABC ，如图． 当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ＝OO 21＋O 1D 2＝32＋32＝23，此时截面圆的半径为r ＝R 2－OD 2＝1， ∴截面面积为πr 2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR 2＝13π， 故截面面积的取值范围是[π，13π]．8．(2021·全国甲卷)已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O －ABC 的体积为( ) A.212 B.312 C.24 D.34答案 A解析 如图所示，因为AC ⊥BC ，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥平面ABC ， OO 1＝1－⎝⎛⎭⎫AB 22＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22， 所以三棱锥O －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212.9．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA ＝1，SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径是________． 答案 32解析 如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R ，则(2R )2＝12＋22＋22＝9， ∴4R 2＝9，R ＝32.即这个外接球的半径是32.10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________． 答案2－1解析 如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE .因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心． 因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝ 2. 所以S 三棱锥表＝3×12×23×2＋3 3＝36＋3 3. 因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝ 3.设球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由13S 三棱锥表·r ＝3， 得r ＝3336＋33＝2－1.11．等腰三角形ABC 的腰AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将它沿高AD 翻折，使二面角B －AD －C 成60°，此时四面体ABCD 外接球的体积为________． 答案2873π 解析 由题意，设△BCD 所在的小圆为O 1，半径为r ，又因为二面角B －AD －C 为60°，即∠BDC ＝60°，所以△BCD 为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，2r ＝3sin 60°＝23，即DE ＝23，设外接球的半径为R ，且AD ＝4，在Rt △ADE 中，(2R )2＝AD 2＋DE 2⇒4R 2＝42＋(23)2＝28， 所以R ＝7， 所以外接球的体积为 V ＝43πR 3＝43π×(7)3＝2873π.12．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为________．答案32π3解析 设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23， ∠BAC ＝2π3，∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2，即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3，∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，即直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球半径R ＝2， ∴V 球＝43π×23＝32π3.。

第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系一、填空题1. 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是____________．(用符号表示)答案：AB⊂α解析：由公理1可知AB⊂α.2. 已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．答案：P∈l解析：因为α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，所以P∈l.3. 设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a∥b，b⊥c，则a⊥c.上述命题中正确的是________．(填序号)答案：①④解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故③错误；根据异面直线所成角的定义知④正确．4. 若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是________．(填序号)① l与l1，l2都不相交；② l与l1，l2都相交；③ l至多与l1，l2中的一条相交；④ l 至少与l1，l2中的一条相交．答案：④解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2是异面直线相矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．故④正确．5. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有__________条．答案：4解析：∵ EF是△OB1C1的中位线，∴ EF∥B1C1.∵ B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴与EF平行的棱共有4条．6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的有________对．答案：3解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．7. 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论中错误的是________．(填序号)① A，M，C1三点共线；② M，O，A1，A四点共面；③ A，O，C，M四点共面；④ B，B1，O，M四点共面．答案：①④解析：作出图形，可知②③正确．8. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．答案：60°解析：如图，取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，设AB＝1，则AA1＝2，AB1＝3，B1E＝32，故∠AB1E＝60°.9. 如图，点G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN 是异面直线的图形有________．(填序号)答案：②④解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．10. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M, N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断正确的是________．(填序号)① MN与CC1垂直；② MN与AC垂直；③ MN与BD平行；④ MN与A1B1平行．答案：①②③解析：连结B1C，B1D1，则MN是△B1CD1的中位线，∴ MN∥B1D1.∵ CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴ MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD，故①②③正确．∵ A1B1与B1D1相交，∴ MN与A1B1不平行，因此④错误．二、解答题11. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.(1) 求证：D，B，E，F四点共面；(2) 作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．(1) 证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D，B，F，E四点共面(设为α)．(2) 解：由于AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，所以有α∩β＝PQ.因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．12. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别为A1A ，C1C的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．证明：如图，取B1B的中点G，连结GC1，EG，∵ GB∥C1F，且GB＝C1F，∴四边形C1FBG是平行四边形，∴ FB∥C1G，且FB＝C1G.∵ D1C1∥EG，且D1C1＝EG，∴ 四边形D 1C 1GE 为平行四边形， ∴ GC 1∥D 1E ，且GC 1＝D 1E ， ∴ FB ∥D 1E ，且FB ＝D 1E ， ∴ 四边形EBFD 1为平行四边形． ∵ FB ＝FD 1，∴ 四边形EBFD 1是菱形．13. 已知空间四面体ABCD ，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC.求证：(1) E ，F ，G ，H 四点共面； (2) 三条直线FH ，EG ，AC 共点．证明：(1) 如图，连结EF ，GH. ∵ 点E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴ EF ∥BD.∵ CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴ GH ∥BD ，∴ EF ∥GH ， ∴ E ，F ，G ，H 四点共面．(2) 易知FH 与直线AC 不平行，但共面， ∴ 设FH∩AC＝M ，∴ M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC. ∵ 平面EFHG∩平面ABC ＝EG ，∴ M ∈EG ，∴ 直线FH ，EG ，AC 共点．第2课时 直线与平面的位置关系(1) 一、 填空题1. 直线a ，b 为异面直线，关于过直线a 且与直线b 平行的平面的情况，下列说法正确的是________．(填序号)① 有且只有一个；② 有无数多个；③ 至多一个；④ 不存在．答案：①解析：在直线a 上任选一点A ，过点A 作b′∥b，则b′是唯一的，又a∩b′＝A ，所以a 与b′确定一平面并且只有一个平面，故①正确．2. 对于不同直线m ，n 和不同平面α，β，给出下列命题： ①⎭⎪⎬⎪⎫n∥αm ⊂α⇒m ∥n ；②⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m∥β⇒n ∥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂β⇒m ，n 不共面；④⎭⎪⎬⎪⎫n∥βm∥α⇒m ∥n. 其中假命题的个数是__________． 答案：4解析：①中m 与n 可能平行，也可能异面；②中可能n ⊂β；③中可能m∥n 或m 与n 相交；④中不知道α与β的位置，无法判断m 与n 的位置关系．故四个命题都不正确．3. 若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是________．(填序号)① α内的所有直线都与直线l 异面；② α内不存在与l 平行的直线；③ α内的直线与l 都相交；④ 直线l 与平面α有公共点．答案：④解析：直线l 与平面α不平行，则直线l 与平面α有如下关系：l ⊂α或l∩α＝A ，故①②③均不正确，④正确．4. 下列命题正确的是________．(填序号)① 若a ，b 是两条直线，且a∥b，那么a 平行于经过b 的任何平面； ② 若直线a 和平面α满足a∥α，那么a 与α内的任何直线平行； ③ 若直线a ，b 和平面α满足a∥α，b ∥α，那么a ∥b ； ④ 若直线a ，b 和平面α满足a∥b，a ∥α，b ⊄α，则b∥α. 答案：④解析：根据线面平行的判定与性质定理知，④正确．5. 已知三条直线a ，b ，c 和平面β，则下列推论正确的是________．(填序号) ① 若a∥b，b ⊂β，则a∥β； ② 若a∥β，b ∥β，则a∥b；③ 若a ⊂β，b ∥β，a ，b 共面，则a∥b； ④ 若a⊥c，b ⊥c ，则a∥b. 答案：③解析：对于①，可能有a ⊂β，故①错；对于②，a 与b 可能平行、相交或异面，故②错；对于④，a 与b 可能平行、相交或异面，故④错；根据线面平行的性质定理知，③正确．6. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度为________．答案： 2解析：因为EF∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以 EF∥AC.又点E 是AD 的中点，所以点F 是DC 的中点．所以EF ＝12AC ＝ 2.7. 过三棱柱ABCA 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案：6解析： 四条棱AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点中任意两点连线均与平面ABB 1A 1平行，所以共有6条直线符合题意．8. 如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是________．(填序号)答案：②③④解析：因为点M ，N ，Q 分别为对应棱的中点，所以在①中AB 与平面MNQ 相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB 与平面MNQ 平行．9. 如图，正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G ，H 分别是棱C 1C ，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，点N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则点M 只需满足条件________________时，就有MN∥平面B 1BDD 1.(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部的可能情况)答案：点M 与点H 重合(或点M 在线段FH 上) 解析：当点M 在线段FH 上时，MN ∥平面B 1BDD 1.二、 解答题10. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点．求证：EF∥平面PAB.证明：因为点E ，F 分别是棱PC 和PD 的中点， 所以EF∥CD.又在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，所以EF∥AB， 又AB ⊂平面PAB ，EF ⊄平面PAB ，所以EF∥平面PAB.11. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．求证：BF∥平面A 1EC.证明：如图，连结AC 1交A 1C 于点O ，连结OE ，OF.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.因为点F 为AC 的中点，所以OF∥CC 1且OF ＝12CC 1.因为点E 为BB 1的中点，所以BE∥CC 1且BE ＝12CC 1.所以BE∥OF 且BE ＝OF ， 所以四边形BEOF 是平行四边形， 所以BF∥OE.又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF∥平面A 1EC.12. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G.求证：四边形EFHG 是平行四边形．证明：∵ AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴ EG∥AB.同理FH∥AB，∴ EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH.∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴ GH∥EF.∴四边形EFHG是平行四边形．13. 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．求证：(1) AD1∥平面BDC1；(2) BD∥平面AB1D1.证明：(1) 因为点D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1∥DA，C1D1＝DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1∥C1D.又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.(2) 如图，连结D1D，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D.又D1，D分别为A1C1与AC的中点，所以BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1.又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.第3课时直线与平面的位置关系(2)一、填空题1. 设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．答案：充分不必要解析：l⊥α⇒l⊥m，l⊥n.反之，因为 m，n不一定相交，故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α.2. 下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．(填序号)① l与平面α内的两条直线垂直；② l与平面α内的无数条直线垂直；③ l与平面α内的某一条直线垂直；④ l与平面α内的任意一条直线垂直．答案：④解析：由线面垂直的定义及判定定理可知④正确．3. 下列说法正确的是________．(填序号)①若平面外一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线；③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面．答案：②解析：当这两点在平面两侧时，直线与平面相交，①错误；②正确；③中垂直于这条直线的另一条直线可能平行于这个平面或相交但不垂直于这个平面，③错误．4. 已知平面α，β和直线m，给出条件：① m∥α；② m⊥α；③ m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填序号)答案：②④解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.5. 已知m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊥α，则m∥n；③若m∥α，n⊥α，则m⊥n；④ 若m⊥α，m ⊥n ，则n∥α. 其中真命题是____________．(填序号) 答案：②③6. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，点D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E.要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F ＝________．答案：12解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF. 由已知，得A 1B 1＝ 2.设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h.又2×2＝h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝66. 由面积相等，得66×x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22x ，解得x ＝12.即线段B 1F 的长为12.7. 如图，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案：4解析：⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，∴ 直角三角形有△PAB，△PAC ，△ABC ，△PBC.8. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1C 1与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案：12解析：如图，在平面ADD 1A 1中作A 1E ⊥AD 1于点E ，连结C 1E ，因为正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面ADD 1A 1，所以A 1E ⊥AB.因为AD 1 ∩AB ＝A ，AD 1，AB ⊂平面ABC 1D 1，则A 1E ⊥平面ABC 1D 1，所以∠A 1C 1E 就是A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角，在Rt △AA 1D 1中，AA 1＝A 1D 1，A 1E ⊥AD 1，所以点E 为AD 1的中点，且A 1E ＝12AD 1＝12A 1C 1，所以sin ∠A 1C 1E ＝A 1E A 1C 1＝12.9. 设α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同的直线．从“① m⊥n；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(填序号)答案：①③④⇒②或②③④⇒①解析：因为当n⊥β，m ⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m ，n 所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②正确；同理②③④⇒①也正确．10. 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF.答案：a 或2a解析：由题意可得B 1D ⊥平面A 1ACC 1，∴ CF ⊥B 1D ，∴ 为了使CF⊥平面B 1DF ，只要使CF⊥DF(或CF⊥B 1F)．设AF ＝x ，则CD 2＝DF 2＋FC 2，∴ x 2－3ax ＋2a 2＝0，∴ x ＝a 或x ＝2a.二、 解答题11. 如图，在四棱锥PABCD 中， 底面ABCD 为菱形，且PA⊥底面ABCD ，PA ＝AC ，点E 是PA 的中点，点F 是PC 的中点，求证：(1) PC∥平面BDE ； (2) AF⊥平面BDE.证明：(1) 连结OE ，因为点O 为菱形ABCD 对角线的交点，所以点O 为AC 的中点． 因为点E 为PA 的中点，所以OE∥PC.因为OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2) 因为PA＝AC，△PAC是等腰三角形，又点F是PC的中点，所以AF⊥PC.又OE∥PC，所以AF⊥OE.因为PA⊥底面ABCD，BD ⊂平面ABCD，所以PA ⊥BD.因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC⊥BD.又PA∩AC＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC，所以AF⊥BD .又OE∩BD＝O，OE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，所以AF⊥平面BDE.12. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D.(1) 求证：AD⊥平面BCC1B1；(2) 如果点E是B1C1的中点，求证：A1E∥平面ADC1.证明：(1) 因为ABCA1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥C1D，CC1，C1D⊂平面BCC1B1，CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BCC1B1.(2) 因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，点E是B1C1的中点，所以A1E⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1E⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1E.又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1，B1C1∩CC1＝C1，所以A1E⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1E∥AD.又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1， 所以A 1E ∥平面ADC 1.13. 在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点．若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1.求证：AP⊥平面A 1CD.证明：∵ CA＝CB ，D 是AB 的中点，∴ CD ⊥AB.∵ 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面ABC⊥侧面A A 1B 1B ，交线为AB ，又CD ⊂平面ABC ，∴ CD ⊥平面AA 1B 1B.∵ AP ⊂平面A 1B 1BA ，∴ CD ⊥AP. ∵ BB 1＝2BA ，BB 1＝AA 1 ，BP ＝14BB 1，∴ BP BA ＝24＝AD AA 1， ∴ Rt △ABP ∽Rt △A 1AD ，∴ ∠AA 1D ＝∠BAP， ∴ ∠AA 1D ＋∠A 1AP ＝∠BAP＋∠A 1AP ＝90°， ∴ AP ⊥A 1D.∵ CD ∩A 1D ＝D ，CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴ AP ⊥平面A 1CD.第4课时 平面与平面的位置关系一、 填空题1. 设α，β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若m∥n，n ⊂α，则m∥α；② 若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③ 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n；④ 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n⊥β. 其中正确的命题是____________．(填序号) 答案：④解析：①中没有强调m 在平面α外；②中没有强调m ，n 相交；③中m 与n 有可能异面；④正确．2. 已知正方体ABCD A1B1C1D1，下列结论中正确的是________．(填序号)① AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③ AD1∥DC1；④ AD1∥平面BDC1.答案：①②④解析：由四边形ABC1D1是平行四边形可知AD1∥BC1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD1与DC1是异面直线，故③错误．3. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法中正确的序号是________．①若m∥α，α∩β＝n，则m∥n；②若m⊥α，n⊥m，则n∥α；③若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β.答案：③解析：对于①，如图，m∥α，α∩β＝n，此时m，n异面，故①错误；对于②，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；对于③，若n⊥β，α⊥β，则n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴ m⊥n，故③正确；对于④，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m也可能与β相交、平行或在β内，故④错误．4. 已知α和β是两个不重合的平面．在下列条件中，可判定α∥β的是________．(填序号)①α内有无数条直线平行于β；②α内不共线的三点到β的距离相等；③ l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥β；④ l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.答案：④解析：由面面平行的判定定理可以推出．5. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是________．(填序号)①若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β.答案：②解析：②选项，由条件n⊥β，m∥n推出m⊥β，又m∥α，易知α⊥β.6. 设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出四个论断：① α∩β＝b；② a⊂β；③ a∥b；④ a∥α.以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的命题：__．答案：①②③⇒④或①②④⇒③解析：若α∩β＝b，a⊂β，a∥b，则a∥α，即①②③⇒④；若α∩β＝b，a⊂β，a∥α，则a∥b，即①②④⇒③.7. α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的序号是________．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.答案：①④解析：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，又由n⊥β得m⊥β，故④正确．8. 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．答案：5解析：由PA⊥平面ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.又AD⊥PA，且AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴DA⊥平面PAB，∴平面DPA⊥平面PAB.又BC∥ AD，∴BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB，同理DC⊥平面PDA，∴平面PDC⊥平面PDA.9. 已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；② α⊥β⇒l∥m；③ m∥α⇒l⊥β；④ l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________．(填序号)答案：①④解析：①是面面平行的性质的应用，正确；②α⊥β，l⊥α，l，m可平行，可相交，可异面，命题错误；③m∥α，l⊥α⇒ l⊥m⇒ l与β可平行，l可在β内，l可与β相交，命题错误；④l⊥β，l⊥α⇒β∥α⇒m∥α，命题正确．10. 在棱长均相等的正四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：① PC∥平面OMN；② 平面OMN⊥平面PAB；③ OM⊥PA；④ 平面PCD∥平面OMN.其中正确结论的序号是________．答案：①③④解析：如图所示，其中E，F分别为AD，BC的中点，连结OE，OF，G为OE的中点，连结EM，MG，AC，BD，平面OMN即平面MNOE.因为M为PA的中点，O为AC的中点，所以PC∥OM，所以PC∥平面OMN，同理PD∥平面OMN，所以平面PCD∥平面OMN，故①④正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以PA2＋PC2＝AB2＋BC2＝AC2，所以PC⊥PA.又PC∥OM，所以OM⊥PA，故③正确．因为OM＝12PC＝12PD＝ME，所以MG⊥OE.又MN∥OE，所以GM⊥MN.假设平面OMN⊥平面PAB，则GM⊥平面PAB，则MG⊥PA，设四棱锥的棱长为4，则MA＝2，AG＝5，MG＝3，三边长度不满足勾股定理，所以MG不垂直PA，与假设矛盾，故②不正确．二、解答题11. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．求证：(1) B1C1∥平面A1DE；(2) 平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明：(1) 因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC.又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC.又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.12. 如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1) EF∥平面ABC；(2) AD⊥AC.证明：(1) 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.13. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC＝BC，∠ACD＝90°.(1) 求证：AB⊥平面EDC；(2) 若P为FG上任一点，求证：EP∥平面BCD.证明：(1) 因为平面ABC⊥平面ACD ，∠ACD ＝90°，即CD⊥AC， 平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，CD ⊂平面ACD ， 所以CD⊥平面ABC. 又AB ⊂平面ABC ， 所以CD⊥AB.因为AC ＝BC ，E 为AB 的中点， 所以CE⊥AB.又CE∩CD＝C ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ， 所以AB⊥平面EDC.(2) 连结EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF∥BD.又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ， 所以EF∥平面BCD.同理可证EG∥平面BCD ，且EF∩EG＝E ，EF ⊄平面BCD ，EG ⊄平面BCD ， 所以平面EFG∥平面BCD. 又P 为FG 上任一点， 所以EP ⊂平面EFG ，所以EP∥平面BCD.第5课时 空间几何体的表面积和体积一、 填空题1. 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为________．答案：22π3解析：设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，因为3π＝13πl 2，所以l ＝3，由2πr ＝120°×π×l 180°，得r ＝1，所以圆锥的高是22，所以圆锥的体积是13×π×12×22＝22π3.2. 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.答案：32解析：三棱锥D 1A 1BD 的体积等于三棱锥BA 1D 1D 的体积，因为三棱锥BA 1D 1D 的高等于AB ，△A 1D 1D 的面积为矩形AA 1D 1D 的面积的12，所以三棱锥BA 1D 1D 的体积是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积的16，所以三棱锥D 1A 1BD 的体积为16×32×1＝32.3. 若正四棱锥的底面边长为2 cm ，侧面积为8 cm ，则它的体积为________cm 3. 答案：433解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c ＝8，12ch ′＝8，所以斜高h ′＝2，所以正四棱锥的高h ＝3，所以正四棱锥的体积为13×22×3＝433.4. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为________． 答案：43解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.5. 设M ，N 分别为三棱锥P ABC 的棱AB ，PC 的中点，三棱锥P ABC 的体积记为V 1，三棱锥P AMN 的体积记为V 2，则V 2V 1＝________．答案：14解析：设△AMN 的面积为S ，点P 到平面AMN 的距离为h ，则V 2＝13Sh ，而V 1＝2×13×2S×h ，则V 2V 1＝14.6. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥PABA 1的体积为________．答案：934解析：三棱锥的底S △ABA 1＝12×3×3＝92，点P 到底面ABA 1的距离为△ABC 的高：h ＝323，故三棱锥的体积V ＝13Sh ＝934.7. 已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．答案：112解析：三棱锥B 1ADE 的体积＝三棱锥DB 1AE 的体积＝13×1×12×1×12＝112.8. 若一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．答案：2解析：底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积为8，则该正方体的棱长为2. 9. 已知正四棱锥OABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．答案：24π解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.10. 将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥OEFG 体积的最大值是________．答案：4解析：因为将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥OEFG 的高为圆柱的高，即高为AB ，所以当三棱锥OEFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且点G 在EF 的垂直平分线上时，(S △EFG )max ＝12×4×2＝4，所以三棱锥OEFG 体积的最大值V max ＝13×(S △EFG )max ×AB ＝13×4×3＝4.二、 解答题11. 如图，在三棱锥DABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝a ，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且AF ＝3FC.(1) 求三棱锥DABC 的体积；(2) 若M 为DB 中点，N 在棱AC 上，且CN ＝38CA ，求证：MN∥平面DEF.(1) 解：因为△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，所以S △BCD ＝34a 2. 因为AB⊥平面BCD ，所以V DABC ＝V A BCD ＝13×S △BCD ×AB ＝13×34a 2×a ＝312a 3.(2) 证明：连结CM ，设CM∩DE＝O ，连结OF. 则O 为△BCD 的重心，CO ＝23CM.因为CN ＝38CA ，AF ＝3FC ，所以CF ＝23CN ，所以MN∥OF.因为OF ⊂平面DEF ，MN ⊄平面DEF ，所以MN∥平面DEF.12. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，点D 为线段AC 的中点，点E 为线段PC 上一点．(1) 求证：PA ⊥BD ；(2) 求证：平面BDE⊥平面PAC ；(3) 当PA∥平面BDE 时，求三棱锥EBCD 的体积．(1) 证明：因为PA⊥AB，PA ⊥BC ，所以PA⊥平面ABC.因为BD ⊂平面ABC ，所以PA⊥BD.(2) 证明：因为AB ＝BC ，点D 为AC 的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知，PA ⊥BD ，PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BD⊥平面PAC.又BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE⊥平面PAC.(3) 解：因为PA∥平面BDE ，平面PAC∩平面BDE ＝DE ， 所以PA∥DE.因为点D 为AC 的中点，所以DE ＝12PA ＝1，BD ＝DC ＝ 2.由(1)知，PA ⊥平面ABC ，所以DE⊥平面ABC ， 所以三棱锥E BCD 的体积V ＝16BD ·DC ·DE ＝13.13. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，BD ∩AC ＝O ，现将其沿菱形对角线BD 折起得到四面体EBCD ，使EC ＝ 2.(1) 求证：EO⊥CD.(2) 求点O 到平面EDC 的距离．(1) 证明：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD. ∵ BD ∩AC ＝O ，∴ EO ⊥BD.∵ 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∴ AD ＝CD ＝BC ＝2，AO ＝OC ＝1. ∵ EC ＝2，CO ＝EO ＝1， ∴ EO 2＋OC 2＝EC 2， ∴ EO ⊥OC.又BD∩OC＝O ， ∴ EO ⊥平面BCD ，∴ EO ⊥CD.(2) 解：设点O 到平面ECD 的距离为h ，由(1)知EO⊥平面OCD. V 三棱锥OCDE ＝V 三棱锥EOCD ，即13S △OCD ·EO ＝13S △ECD ·h.在Rt △OCD 中，OC ＝1，OD ＝3，∠DOC ＝90°，∴ S △OCD ＝12·OC ·OD ＝32.在△CDE 中，ED ＝DC ＝2，EC ＝2，∴ S △CDE ＝12×2×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝72，∴ h ＝S △OCD ·EO S △ECD ＝217，即点O 到平面EDC 的距离为217.第6课时 空间向量在立体几何中的应用 一、 填空题1. 已知空间四边形OABC ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →＝________．答案：12(b ＋c －a )解析：MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )．2. 若直线l⊥α，且l 的方向向量为(m ，2，4)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，则m为________．答案：1解析：∵ (m，2，4)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12λ，2＝λ，4＝2λ，∴ m ＝1. 3. 若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________．答案：－2或255解析：由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝6－λ3λ2＋5＝89，解得λ＝－2或255.4. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点．若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)，则给出下列结论：① AP⊥AB；② AP⊥AD；③ AP →是平面ABCD 的一个法向量；④ AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)答案：①②③解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP⊥AB；AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP⊥AD.又AB∩AD＝A ，∴ AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．由于BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)，∴ 2－1≠32≠4－1，∴ AP →与BD →不平行． 5. 已知正四棱柱ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．答案：23解析：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0.令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →|n||DC →||＝23.6. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则对角线AC 1的长度等于________．答案：85解析：AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°＝50＋20＋15＝85，即 |AC 1→|＝85.7. 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1­ ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点，则异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为________．答案：31010解析：以A 为坐标原点，以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系A­xyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A 1(0，0，4) ，C 1(0，2，4)，所以A 1B →＝(2，0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.8. 已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，且点Q 在直线OP 上运动．当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 解析：∵ 点Q 在直线OP 上，∴ 设点Q(λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23.当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，此时OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.9. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．答案：23解析：如图，以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D(0，1，0)， 所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12.设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.二、 解答题10. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝12，求AP 与AQ 所成角的余弦值；(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．解：以A 点为坐标原点，{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.(1) 因为AP →＝(1，2，2)，AQ →＝(2，0，1)，所以cos 〈AP →，AQ →〉＝AP →·AQ →|AP →||AQ →|＝1×2＋2×0＋2×19×5＝4515.所以AP 与AQ 所成角的余弦值为4515.(2) 由题意可知，AA 1→＝(0，0，2)，AQ →＝(2，0，2λ)． 设平面APQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AQ →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2z ＝0，2x ＋2λz ＝0.令z ＝－2，则x ＝2λ，y ＝2－λ. 所以n ＝(2λ，2－λ，－2)．因为直线AA 1与平面APQ 所成角为45°， 所以|cos 〈n ，AA 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AA →1|n ||AA →1|＝42（2λ）2＋（2－λ）2＋（－2）2＝22， 化简得5λ2－4λ＝0.又λ≠0，所以λ＝45.11. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA 1DA 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE⊥AD，交BC 于点E. 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD.如图，以A 点为原点，{AE →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，所以A(0，0，0)，B(3，－1，0)，D(0，2，0)，E(3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)．(1) A 1B →＝(3，－1，－3)，AC 1→＝(3，1，3)，则cos 〈A 1B →，AC 1→〉＝A 1B →·AC 1→|A 1B →||AC 1→|＝3×3＋（－1）×1－3×3（3）2＋（－1）2＋（－3）2×（3）2＋12＋（3）2＝－17， 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2) 平面A 1DA 的一个法向量为AE →＝(3，0，0)． 设m ＝(x ，y ，z)为平面BA 1D 的法向量，又A 1B →＝(3，－1，－3)，BD →＝(－3，3，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B →＝0，m ·BD →＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，所以cos 〈AE →，m 〉＝AE →·m |AE →||m |＝3×3－0×3＋0×23×32＋（3）2＋22＝34. 设二面角BA 1DA 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 所以二面角BA 1DA 的正弦值为74. 12. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠CBA＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．以A 点为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1) 求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值．(2) 若M 为EF 上一点，N 为DG 上一点，是否存在MN ，使得MN⊥平面PBC ？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1) 由题意得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)． ∵ 点E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点，∴ E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12， ∴ EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，12，DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，12.设EF 与DG 所成角为θ，则cos θ＝||EF →·DG →|EF →||DG →|＝26633. ∴ EF 与DG 所成角的余弦值为26633.(2) 存在．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)． ∵ BC →＝(0，1，0)，PB →＝(1，0，－1)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝y ＝0，n ·PB →＝x －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，0，1)． M 为EF 上一点，N 为DG 上一点， 若存在MN ，使得MN⊥平面PBC ，则MN →∥n .设M(x 1，y 1，z 1)，N(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＝z 2－z 1，y 2－y 1＝0①，∵ 点M ，N 分别是线段EF 与DG 上的点， ∴ EM →＝λEF →，DN →＝tDG →.∵ EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1，y 1－12，z 1，DN →＝(x 2，y 2－2，z 2)，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝－λ，y 1－12＝12λ，z 1＝12λ，且⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12t ，y 2－2＝－32t ，z 2＝12t②，把②代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧－32t －12λ＋32＝0，12t ＋λ－1＝12t －12λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝79，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56，13，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫718，56，718.13. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，点M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE ； (2) 求二面角CEM N 的正弦值；(3) 已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．(1) 证明：如图，以A 点为坐标原点，分别以AB →，AC →，AP →方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z)为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN∥平面BDE.(2) 解：由题可知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1，2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2－z 2＝0，x 2＋2y 2－z 2＝0. 取y 2＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．因此cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－42121，所以sin 〈n 1，n 2〉＝10521，所以二面角CEMN 的正弦值为10521.(3) 解：依题意，设AH ＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，NH →＝(－1，－2，h)，BE →＝(－2，2，2)． 由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE→|NH →||BE →|| ＝|2h －2|h 2＋5×23＝721， 整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12，所以线段AH 的长为85或12.。

第八章立体几何第37讲空间几何体的表面积和体积A应知应会一、选择题1. 已知A，B为球面上的两点，O为球心，且|AB|＝3，∠AOB＝120°，则球的体积为()A. 9π2B. 43πC. 36πD. 323π2. (2018·潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()(第2题)A. 3πB. 4πC. 2π＋4D. 3π＋43. 若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 323πC. 8πD. 4π4. (2018·郑州一调)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 323B.163C.83D.43(第4题)(第5题)5. (2018·厦门调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A . 73 B . 172 C . 13 D . 17＋3102二、 解答题6. 已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若|AB|＝3，|AC|＝4，AB ⊥AC ，|AA 1|＝12，求球O 的表面积．7. 已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，求四棱锥C 1 B 1EDF 的体积．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．2. 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________ cm .3. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥OABD 的体积为V 1，四棱锥OADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．(第3题)4. (2018·武汉调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．(第4题)二、 解答题5. 如图，在直棱柱ABC A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，|AA′|＝4，M 为AA′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N.(1) 求该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 求PC 与NC 的长；(3) 求三棱锥CMNP 的体积．(第5题)6. (2018·济宁期末)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.(1) 求证：平面AEC⊥平面BED；(2) 若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(第6题)7. (2018·襄樊模拟)如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，|AB|＝2，|EB|＝ 3.(1) 求证：DE⊥平面ACD；(2) 设AC＝x，V(x)表示三棱锥B ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．(第7题)第38讲 空间点、线、面之间的位置关系A 应知应会一、 选择题1. 若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题中正确的是( )A . l 与l 1，l 2都不相交B . l 与l 1，l 2都相交C . l 至多与l 1，l 2中的一条相交D . l 至少与l 1，l 2中的一条相交2. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A . 只有1个B . 恰有3个C . 恰有4个D . 有无穷多个 3. 如图是某正方体的侧面展开图，l 1，l 2是两条侧面对角线，则在正方体中，l 1与l 2( )(第3题)A . 互相平行B . 异面且互相垂直C . 异面且夹角为π3D . 相交且夹角为π34. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )A . 3B . 4C . 5D . 65. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角为( )(第5题)A . 45°B . 60°C . 90°D . 120 二、 解答题6. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 和平面ABCD 的交线．(第6题)7. 如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD，BE 12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1) 求证：四边形BCHG是平行四边形；(2) 求证：C，D，F，E四点共面．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 已知直线AB，AD⊂α，直线CB，CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝M，则点M与BD的关系是________．2. 在下列命题中，不是公理的是________．(填序号)①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④平行于同一个平面的两个平面相互平行．3. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：(第3题)①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的是________．(填序号)4. 如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．(第4题)二、解答题5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱CC1，BB1及DD1的中点．求证：∠BGC＝∠FD1E.(第5题6. 在空间四边形ABCD中，|AB|＝|CD|且AB与CD所成的角为30°，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．7. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD 交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．(1) 求证：C1，O，M三点共线；(2) 求证：E，C，D1，F四点共面；(3) 求证：CE，D1F，DA三线共点．(第7题)第39讲直线、平面平行的判定与性质A应知应会一、选择题1. 若平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()A. AB∥CDB. AD∥CBC. AB与CD相交D. A，B，C，D四点共面2. 一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A. l∥αB. l⊥αC. l与α相交但不垂直D. l∥α或l⊂α3. 下列命题正确的是()A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4. 如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()(第4题)A. 垂直B. 相交不垂直C. 平行D. 重合5. (2018·南昌质检)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()(第5题)A. AC⊥BDB. AC∥截面PQMNC. |AC|＝|BD|D. 异面直线PM与BD所成的角为45°二、解答题6. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别是A1B，AC1的中点．求证：EF∥平面ABC.(第6题)7. 如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：平面BDE∥平面MNG.(第7题)B巩固提升一、填空题1. 在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________，2. 设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________．3. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．4. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.(第4题)二、解答题5. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，|CC1|＝4，M是棱CC1上的一点．若点N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．(第5题)6. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1) 求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2) 若|AB|＝4，|CD|＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．(第6题)7. 如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，|BC|＝|PD|＝2，E为PC的中点，|CB|＝3|CG|.(1) 求证：PC⊥BC.(2) 问：AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．(第7题)第40讲直线、平面垂直的判定与性质A应知应会一、选择题1. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④2. 设α，β是两个不重合的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，α⊥β，则l∥βB. 若l∥α，α∥β，则l∥βC. 若l⊥α，α∥β，则l⊥βD. 若l∥α，α⊥β，则l⊥β3. 已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB ⊥平面PAC.A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④4. 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A. 与AC，MN均垂直B. 与AC垂直，与MN不垂直C. 与AC不垂直，与MN垂直D. 与AC，MN均不垂直(第4题)(第5题)5. 如图所示，AB是半圆O的直径，V A垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为V A，VC的中点，则下列结论正确的是()A. MN∥ABB. 平面V AC⊥平面VBCC. MN与BC所成的角为45°D. OC⊥平面V AC二、解答题6. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°，B1C⊥BD. 求证：AB1⊥BD.(第6题)7. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点，求证：平面EFC⊥平面BCD.(第7题)B巩固提升一、填空题1. 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．(第1题)2. 下列命题：①若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；②若a⊥α，a∥b，则b⊥α；③若a⊥α，b∥α，则a⊥b；④若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α；⑤若a∥α，a⊥b，则b⊥α；⑥若a⊥α，b⊥a，则b∥α.其中正确命题的个数是________．3. 已知P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．(1) 若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；(2) 若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；(3) 若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．4. 对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中真命题是________．(填序号)二、解答题5. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1) 求证：AF∥平面BDE；(2) 求证：CF⊥平面BDE.(第5题)6. 如图，在正三棱锥ABCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD，BC的截面EFGH 分别与AB，BD，DC，CA交于E，F，G，H四点，点A在底面BCD上的射影为O.(1) 试判断四边形EFGH的形状，并说明理由；(2) 设点P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请说明理由．(第6题)7. (2019·新乡一模)如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，|AB|＝|AC|＝3，CE →＝2EA →，BD →＝DC →.(1) 求证：平面PBC ⊥平面PAD ；(2) 若三棱锥P ABD 的体积为94，且AB ⊥AC ，求平面PAB 与平面PDE 所成锐二面角的余弦值．(第7题)第41讲 用向量法解决空间中的位置关系A 应知应会1. 已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且a ∥b ，那么实数m 的值等于( )A. 32B. －2C. 0D. 32或－22. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，给出以下四个向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④3. 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )(第3题)A. －12a ＋12b ＋cB. 12a ＋12b ＋cC. 12a －12b ＋cD. －12a －12b ＋c4. 如图，已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC 上的点，且|A 1M|＝|AN|＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A . 相交 B . 平行C . 垂直D . MN 在平面BB 1C 1C 内(第4题)(第5题)5. (2018·长沙模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，若|AB |＝2，|AF |＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则点M 的坐标为( )A. (1，1，1)B. ⎝⎛⎭⎫23，23，1 C. ⎝⎛⎭⎫22，22，1 D. ⎝⎛⎭⎫24，24，1二、 解答题6. 如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求证：AB 1⊥平面A 1BD.(第6题)7. 已知三点A (1，0，0)，B (3，1，1)，C (2，0，1)． (1) 求CB →与CA →的夹角； (2) 求CB →在 CA →方向上的投影．B 巩固提升一、 填空题1. 在四面体OABC 中，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________．(用a ，b ，c 表示)2. 已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________．3. (2018·东莞质检)如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)．若AM ⊥MP ，则点P 形成轨迹的长度为________．(第3题)4. 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出以下四个结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)二、 解答题5. 已知空间中三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1) 若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ；(2) 求向量a 与向量b 的夹角的余弦值．6. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且|PA|＝|PD|＝22|AD|，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ；(2) 求证：平面PAB ⊥平面PDC.(第6题)7. 如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，|AB |＝1，|AD |＝2，|AC |＝|CD |＝ 5.(1) 求证：PD ⊥平面P AB .(2) 在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求|AM ||AP |的值；若不存在，请说明理由．(第7题)第42讲 空间角的计算A 应知应会1. 在正方体A 1B 1C 1D 1 ABCD 中，AC 与B 1D 所成角的大小为( ) A . π6 B . π4 C . π3 D . π22. 如图，已知三棱柱ABCA 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，那么直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( )(第2题)A. 45°B. 60°C. 90°D. 30°3. 如图，设地球的半径为R ，点A ，B 在赤道上，O 为地心，点C 在北纬30°的纬线(O′为其圆心)上，且点A ，C ，D ，O′，O 共面，点D ，O′，O 共线，若∠AOB ＝90°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )(第3题)A . 64B . －64 C . 6＋24 D . 6－244. 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A. 12B. 23C. 33D. 225. 已知某二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.若|AB|＝4，|AC|＝6，|BD|＝8，|CD|＝217，则该二面角的大小为( )A . 150°B . 45°C . 60°D . 120°二、 解答题6. 设二面角α CD β的大小为45°，点A 在平面α内，点B 在CD 上，且∠ABC ＝45°，求AB 与平面β所成角的大小．7. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，|AD|＝2，|DC|＝|SD|＝2.点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°.(1) 求证：M是侧棱SC的中点；(2) 求二面角SAMB的余弦值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．2. 已知过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若|AB|＝|PA|，则平面ABP 与平面CDP 所成的角为________．3. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AA 1⊥底面ABC ，|AB |＝|BC |＝|AA 1|，∠ABC ＝90°，E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，那么直线EF 和BC 1所成的角为________．(第3题)(第4题)4．如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，若|AA 1|＝2|AB|，则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．二、 解答题5. 已知三棱锥PABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥PABC 的体积最大时，求二面角PABC 的正弦值．6. (2018·武昌质检改编)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱|PA|＝|PD|＝2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，|AB|＝|BC|＝1，O为AD的中点．(1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值．(2) 在线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q AC D的余弦值为63？若存在，求出|PQ||QD|的值；若不存在，请说明理由．(第6题)7. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，|AD|＝|DC|＝|AP|＝2，|AB|＝1，E为棱PC的中点．(1) 求证：BE⊥DC；(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3) 若F为棱PC上一点，且满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．(第7题)。