【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练16 空间几何体三视图、表面积及体积 理

高三数学空间几何体的三视图专题复习题含答案1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．724．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34 俯视图侧视图正视图俯视图侧视图正视图21222俯视图左视图正视图32545．已知四棱锥P ABCD-的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD-的四个侧面中的最大面积为A．3B．C．6D．86．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．2B．4C．2+D．57．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52CD．38．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为．A．28 3B．3C．28D．22+222433侧视图俯视图正视图俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图222244229．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是A．πB ．4π3C．3πD．4π10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A．4πB．3πC．4πD．4 3π11．已知某几何体的外接球的半径为3，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为．A．16B．16 3C．8 3D．812．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．15B．20C．25D．303 3侧视图2俯视图正视图13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．A．8πB．25 2πC．12πD．41 4π14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．BCD．315．某几何体的三视图，则该几何体体积是A．4B．4 3C．8 3D．2正视图俯视图俯视图侧（左）视图正（主）视图侧视图俯视图正视图16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C． D．17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．正（主）视图俯视图侧视图俯视图正视图3侧视图俯视图正视图复习题详解1．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，则该几何体的体积是．A ．43πB ．2πC ．83πD ．103π解：由三视图可得该几何体是半径为1的半球，和底面半径为1， 高为2的圆锥的组合体，所以3314141122333V π=⨯π⨯+⨯π⨯⨯=．故选A ．2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13πB ．12πC ．2πD ．π解：分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π．故选D ． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．54 B ．60 C ．66 D ．72俯视图侧视图正视图侧视图正视图俯视图左视图正视图32542543解：该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面积是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积()()25525411343535602222S +⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+++⨯=．故选B ． 4．已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为A ．31B ．32C ．1D ．34解：由正三棱柱的三视图还原几何体，如图所示．据侧视图知，底面正三角形的高为3，则其边长为2，11123234ABC A B C ABC V S h h -=⋅=⨯⨯=△，1h =．故选C ．5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中的最大面积为A ．3B ．25C ．6D ．8 解：由几何体的三视图，画出其立体图形P ABCD -，如图所示．由题可知，顶点P 在底面上的投影是边CD 的中点，底面是边长为4AB =，2BC =的矩形．PCD △的高为22325-=，所以侧面PCD △的面积为C 1B 1A 1CBA222433侧视图俯视图正视图D CBAP243322142⨯=． 两个侧面PAD △，PBC △的面积相等为12332⨯⨯=．侧面PAB △的面积为1462⨯=．所以四个侧面中的最大面积为6．故选C ．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A ．2B ．4C ．2+D ．5 解：据三棱锥的三视图，还原几何体P ABC -，且PA ⊥平面ABC ，底面ABC △为等腰三角形，12222ABC S =⨯⨯=△，1122PAB PAC S S ==⨯=△△，122PBC S =⨯=△2222PAB PAC ABC PBC S S S S +++=+++=+△△△△．7．已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为A．5B．52C．33D．3俯视图侧（左）视图正（主）视图11215212俯视图侧（左）视图正（主）视图2111P CB A解：由三视图可得该几何体是一个直三棱柱，如图所示． 解法一:3个侧面的面积为2(125)S =++侧，由余弦定理可以求得底面的钝角为34π，所以一个底面三角形的面积为13112sin 242S π=⨯⨯=底，所以总面积为2S 底+S 侧=122(125)322252⨯+++=++．故选D ．解法二:侧面积同解法一．由左视图中的1得棱锥的底面三角形的高为1,所以一个底面三角形的面积为111122S =⨯⨯=底,所以总面积为2S 底+S 侧=32225++．故选D ． 8．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为． A ．283B ．2823C ．28D ．2263+ 解：由题意,还原的几何体ABC DEF -如图所示,上底面ABC △是直角边长为2的等腰直角三角形,下底面DEF △是直角边长为4的等腰直角三角形,高2CF =．则几何体ABC DEF -的体积为11112844422232323⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=．故选A ． 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是π，则它的表面积是 A ．π22224422FEDCBAB ．4π3C ．3πD ．4π 解：由三视图知，原几何体为球体挖去14的部分而形成的几何体，设球的半径为r ，334=43V r =⨯ππ，1r =，2234+=44S r r =⨯πππ．故选D ．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为A ．4πB ．3πC ．4πD ．43π 解：由三视图可得几何体为如图所示的四棱锥，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，4PA =，所以5PB PD ==，所以13462PAD PAB S S ==⨯⨯=△△，115=3522PCD PBC S S =⨯⨯=△△，239ABCD S ==，所以11491233P ABCD ABCD V PA S -=⋅⋅=⨯⨯=，1562+2+9=362P ABCD S -=⨯⨯．设内切圆半径为R ，则球心到棱锥各面的距离均为R ，所以13P ABCD P ABCD S R V --⋅=，所以1R =，所以内切球的表面积244S R =π=π．故选C ．11，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为． A ．16俯视图正视图PDABCB ．163C ．83D ．8 解：为了便于理解，在正方体中还原此几何体，如图所示． 设正方体棱长为a ，则323a =，得2a =， 三棱锥的体积1182224222323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．故选C ．12．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 解：该几何体的直观图如图所示，1134345520232V ⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=．故选B ．13．如图所示，网格纸上小正方体的边长是1，粗实数及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为． A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 解：由三视图可知，该多面体是四棱锥S ABCD -，如图所示，四棱锥所在正方体的棱长为2，SC BC ==()222223cos 52SCB ⨯-∠==⨯，则4sin 5SCB ∠=，所以SBC △的外接圆的半径152sin 4SB r SCB =⋅=∠，所以四棱锥的外接球的半径4R ==，故外接球的表面积24144S R π=π=．故选D ． 14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．BC．3 D．3解：体积为1(12)2×32+⨯=．故选B ．15．某几何体的三视图，则该几何体体积是 A ．4B ．43C ．83D ．2正视图俯视图122PC BA俯视图侧（左）视图正（主）视图解：借助长方体，在长方体中构建几何体．据三视图分析可得，还原后的几何体如图所示，三棱锥P ABC -．该几何体的体积1142323V =⨯⨯⨯=．故选B ．16．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的是 A．B． C．D． 解：由三视图还原几何体四棱锥D ABC -，如图所示，由主视图知CD ABC ⊥平面，设AC 的中点为E ，则BE AC ⊥，BE =2AE CE ==，由左视图得4CD =，BE =Rt BCE △中，4BC ===，同理4AB =，在Rt BCD△中，BD == 在Rt ACD△中，AD ===综上，四面体的六条棱中，长度最长的是A ．DCBA正（主）视图俯视图1侧视图俯视图正视图17．若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为 ． 解：由三视图得四面体的直观图，如图所示为三棱锥A BCD -，且该四面体的外接球即为图中的长方体的外接球，得()222222219R =++=，则249S R =π=π表．18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．解：由几何体的三视图，在长为22的长方体中，还原其立体图形，如图中所示的AEF BCD -．故13V S h S h =-柱锥底底=11122212323⨯-⨯⨯=． 19．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．DCBA 122侧视图俯视图正视图32侧视图俯视图正视图解：如图所示,还原该几何体为四棱锥B ACED -,其中CE ⊥底面ABC ,AD ⊥底面ABC ,且四边形ACED 为矩形,ABC △为等腰三角形,AC AB ⊥,2EC DA BC ===,AC AB ==则=ABC DAB ECB EDB ACED S S S S S S ++++△△△△四边形=21111222232222+⨯⨯⨯+=+故填3+．EDCBA。

【归纳拓展】 (1)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心. (2)正四面体:各条棱均相等的三棱锥为正四面体,其特点是所有面均为正三 角形.
2.三视图与直观图 (1)三视图 三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别从几何体的前方、左方、上方观察 几何体的轮廓所得. (2)直观图 几何体的直观图常用斜二测画法,即原图形中的x轴与y轴在直观图中成45度角.
1 h(S 上底+S + 下底 3
S上底 S下底 )
表中S表示面积,c′,c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示斜高,l表 示侧棱长. (2)旋转体的表面积和体积公式
名称 S侧 S全
V
圆柱 2π rl 2π r(l+r)
π r2h(即π r2l)
圆锥 π rl π r(l+r)
1 π r2h 3
3.(2017·嘉兴一模)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面
积是
cm2,体积是
cm3.
解析:根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱,其底面是 正视图中的直角梯形,上底为 1,下底为 4,高为 4,由侧视图可知这个四棱柱的高是 4,所以可求得它的表面积是 S 表=42+ 4 1 ×4×2+4× 32 42 +1×4+4×4=76,体积
中
2015
填空题·13·4分 三棱锥内异面直线所成角
中
解答题·17·15分
线面垂直的判定、二面角的求法、 空间直角坐标系
中
选择题·3·5分 三视图,几何体的表面积
易
2014
填空题·17·4分
立体几何的实际应用、线面角的最 大值

第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积1．(2014·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )【解析】 由三视图的知识得B 正确． 【答案】 B2．(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 【解析】 该几何体为四棱柱和四棱锥的组合，所以其体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥，故V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)． 【答案】 C3．(2015·山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C．22πD．42π【解析】由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.【答案】 B4．(2014·全国大纲高考)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B．16πC．9π D.27π4【解析】易知EF＝4，AF＝1222＋22＝2，在直角三角形AOF中，设球的半径为R，则(4－R)2＋22＝R2，∴R＝94，∴S球＝4πR2＝81π4.【答案】 A考什么怎么考题型与难度1.空间几何体的三视图与直观图关系的确认主要考查空间几何体的三视图与直观图间对应关系题型：选择题难度：基础题2.空间几何体的表面积与体积主要考查以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的计算题型：选择题或填空题难度：中档题3.多面体与球的切、接问题主要考查多面体与球的结构特征及空间的点、线、面间的位置关系题型：选择题或填空题难度：中档题空间几何体的三视图与直观图关系的确认(自主探究型) 的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱【解析】将三视图还原为几何体即可，考查空间想象能力．由题中三视图可知该几何体的直观图如图所示，则这个几何体是三棱柱．故选B.【答案】 B2．(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解析】根据正视图、俯视图的投影规则，找出它们各个顶点的坐标即可．在空间直角坐标系O —xyz 中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.【答案】 D【规律感悟】 1.由直观图确认三视图的策略根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．空间几何体的表面积与体积(多维探究型)【典例1】 (2015·新课标Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【解析】 本题是一个实际应用问题，考查了圆锥的体积计算以及考生的理解与计算能力．由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h ＝14×2569×5＝3209，所以堆放的米有3209÷1.62≈22斛．故选B.【答案】 B命题角度二 根据三视图求空间几何体的表面积与体积【典例2】 (1)(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4(2)(2015·湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.827π C.24（2－1）3πD.8（2－1）3π【解析】 (1)本题主要考查空间几何体的三视图与直观图的概念和性质，考查计算能力．由三视图知该几何体是半个圆柱，其表面积为S 表＝2π×1×22＋π×12＋2×2＝3π＋4.故选D.(2)本题主要考查三视图、圆锥的体积及正方体的体积等知识，解答此题的关键是作出轴截面，利用比例关系求出正方体的棱长．由三视图知，原工件为圆锥，要使正方体新工件的体积最大，则正方体下底面在圆锥底面上，上底面是平行于圆锥底面的截面圆的内接正方形，过正方体的顶点作轴截面如图，且AB 为上底面正方形的对角线，设正方体的棱长为a ，则AB ＝2a ，又圆锥的高为32－12＝22，所以2a2＝22－a22，得a＝223，正方体体积为V＝a3＝16227，圆锥的体积为13×π×12×22＝22π3，故原工件的材料利用率为1622722π3＝89π.故选A.【答案】(1)D (2)A【规律感悟】 1.求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[针对训练]1．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A．1＋ 3 B．1＋2 2C．2＋ 3 D．2 2【解析】在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中，所求四面体即如图所示的三棱锥P—ABC，其表面积为12×2×1×2＋34×(2)2×2＝2＋ 3.【答案】 C2．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2【解析】 由三视图知，该几何体为一个圆柱与一个半圆锥的组合体，其中圆柱的底面半径为1、高为2，半圆锥的底面半径为1、高为1，所以该几何体的体积V ＝12×13×π×12×1＋π×12×2＝13π6.故选B. 【答案】 B多面体与球的切、接问题【典例3】 (1)(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4πC ．2π D.4π3(2)(2015·新课标Ⅱ高考)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【解析】 (1)找出球心，求出球的半径代入体积公式求解．考查空间想象能力和运算求解能力．连接AC ，BD 相交于O 1，连接A 1C 1，B 1D 1，相交于O 2并连接O 1O 2，则线段O 1O 2的中点为球心．∴半径R ＝|OB |＝|OO 1|2＋|O 1B |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＝1，∴V 球＝43πR 3＝4π3.故选D.(2)本题主要考查球的性质、三棱锥的体积、球的表面积等基础知识，意在考查考生的空间想象能力与运算求解能力、推理论证能力．三棱锥V O —ABC ＝V C —OAB ＝13S △OAB ×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O —ABC ＝V C —OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.【答案】 (1)D (2)C [一题多变]若题(2)变为：已知正四棱锥O ­ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．【解析】 V 四棱锥O ­ABCD ＝13×3×3h ＝322，得h ＝322，∴OA 2＝h 2＋(AC 2)2＝184＋64＝6.∴S 球＝4πOA 2＝24π. 【答案】 24π【规律感悟】 多面体与球接、切问题的求解策略(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，理清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．[针对训练]1．(2015·长春模拟)在正三棱锥S ­ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S ­ABC 外接球的表面积是( )A．12πB．32πC．36πD．48π【解析】取AC的中点为D连结BD，SD，知BD⊥AC，SD⊥AC，∴AC⊥平面BDS，∴AC⊥BS，又MN⊥AM，∴BS⊥AM，∴BS⊥平面ACS，由S－ABC是正三棱锥知BS，AS，CS两两垂直，则4R2＝3·(23)2，∴4R2＝36，∴S表＝4πR2＝36π.故选C.【答案】 C2．(2015·河北唐山统考)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( )A．2 B．1C. 2D.2 2【解析】连结BC1，B1C，交于点O，则O为面BCC1B1的中心．由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心O，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，则△ABC的外接圆圆心N 位于BC的中点，同理，△A1B1C1的外接圆圆心M位于B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在Rt△OMC1中，OM＝x2，MC1＝x2，OC1＝R＝1(R为球的半径)，所以⎝⎛⎭⎪⎫x22＋⎝⎛⎭⎪⎫x22＝1，即x＝2，则AB＝AC＝1，所以侧面ABB1A1的面积为2×1＝ 2.故选C.【答案】 C转化与化归思想求解空间几何体的体积[思想诠释]空间几何体的体积用到转化与化归思想的常见题型：1．求某些三棱锥、四棱锥体积：求解过程中当高不易求时，常需转换顶点利用等体积法解决．2．不规则几何体的体积的求解：求解时， 常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补等手段转化为规则几何体体积的和、差求解．[典例剖析]【典例】 (2015·烟台模拟)如图所示，四棱锥P ­ABCD 中 ，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC ，PD ，BC 的中点．则(1)四棱锥E ­ABCD 的体积为________； (2)三棱锥P ­EFG 的体积为________．【审题策略】 (1)看到E 到平面ABCD 的距离不易求，想到转化与化归思想，EF ∥平面ABCD 转化为求V F ­ABCD ；(2)看到P 到平面EFG 的距离不易求，想到转化与化归思想转化为求V G ­PEF .【解析】 (1)因为E ，F 分别为PC ，PD 的中点，所以EF ∥DC ，又DC ⊂平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以FD ⊥平面ABCD ，且FD ＝12PD ＝1，S 正方形ABCD ＝2×2＝4，所以V E ­ABCD ＝V F ­ABCD ＝13×4×1＝43.(2)因为PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ， 所以GC ⊥PD .因为ABCD 为正方形，所以GC ⊥CD . 因为PD ∩CD ＝D ，所以GC ⊥平面PCD . 因为PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，所以S △PEF ＝12EF ×PF ＝12.因为GC ＝12BC ＝1，所以V P ­EFG ＝V G ­PEF＝13S △PEF ·GC ＝13×12×1＝16.【答案】 (1)43 (2)16[针对训练](2015·哈尔滨模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正(主)视图中x 的值为( )A ．5B ．3C ．4D ．2【解析】 由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4的正方形，侧棱长是3，根据勾股定理知正四棱锥的高是32－22＝5，下面是一个圆柱，底面直径是4，母线长是x ，因为几何体的体积为12π＋853，所以x ×4π＋13×(22)2×5＝12π＋853，x ＝3.故选B.【答案】 B1．必记公式 (1)表面积公式表面积＝侧面积＋底面积，其中 ①多面体的表面积为各个面的面积的和．②圆柱的表面积公式：S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr (r ＋h )(其中，r 为底面半径，h 为圆柱的高)． ③圆锥的表面积公式：S ＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )(其中圆锥的底面半径为r ，母线长为l )． ④圆台的表面积公式：S ＝π(r l 2＋r 2＋r ′l ＋rl )(其中圆台的上、下底面半径分别为r ′和r ，母线长为l )．⑤球的表面积公式：S ＝4πR 2(其中球的半径为R )． (2)体积公式①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)．②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．③V 球＝43πR 3(其中R 为球的半径)．2．重要结论(1)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面． 3．易错提醒(1)未注意三视图中实、虚线的区别：在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．(2)不能准确分析组合体的结构致误对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差． 限时训练(十二)建议用时 实际用时错题档案40分钟一、选择题1．(2014·福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱 【解析】 易知圆柱不论如何放置正视图不可能为三角形．故选A. 【答案】 A2．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【解析】 ∵圆柱侧面展开图为矩形，底面圆半径为1，S 侧＝2πr ·l ＝2π×1×1＝2π.故选C.【答案】 C3．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2【解析】 由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中侧棱SA ⊥底面ABCD ，且底面是边长为1的正方形，SA ＝1，所以四棱锥最长棱的棱长为SC ＝3.故选C.【答案】 C4．(2015·新课标Ⅱ高考)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥，即截去了正方体的一个角．设正方体的边长为1，则正方体的体积为1，截去的三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，故剩余部分的体积为V 2＝56，所求比值为V 1V 2＝15.【答案】 D5．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋22 D ．15【解析】 由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋2 2.故选B.【答案】 B6．(2015·山西康杰中学3月模拟)已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为233，则该锥体的俯视图可能是( )【解析】由正视图得该锥体的高是h＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S＝23313h＝23333＝2，A项的正方形的面积是2×2＝4，B项的圆的面积是π×12＝π，C项的大三角形的面积是12×2×2＝2，D项不可能是该锥体的俯视图．故选C.【答案】 C7．(2014·湖南高考)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由题意知，几何体为三棱柱，设最大球的半径为R.∴2R＝(6＋8)－10＝4，∴R＝2.【答案】 B8．(2015·江西铁路中学二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16π3B.20π3C.40π3D ．5π【解析】 观察三视图可知，该几何体为一个球和一个圆锥的组合体，球半径为1，圆锥底面半径为2，圆锥高为3，所以该几何体的体积为43π×13＋13π×22×3＝16π3.故选A. 【答案】 A9．(2015·新课标Ⅰ高考)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由题中的三视图可知，该几何体由一个半圆柱与一个半球拼接而成，其表面积为2r ×2r ＋2πr 2＋2πr 2＋πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.故选B.【答案】 B10.(2013·全国新课标Ⅰ高考)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )A.500π3 cm 3B.866π3 cm 3C.1 372π3 cm 3D.2 048π3 cm 3【解析】利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)． 【答案】 A 二、填空题11．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【解析】 该几何体是一个组合体，中间是一个圆柱，左、右两侧是两个一样的圆锥，其体积为V ＝2×13×π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3)．【答案】 8π312．(2015·山西运城教学检测)若一个空间几何体的三视图是三个边长为2的正方形，则以该空间几何体各个面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】 由题意可知，该空间几何体为正方体，以正方体各个面的中心为顶点的多面体是两个相同的正四棱锥组成的几何体，如图，该四棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，故所求多面体的体积V ＝2×13×1×2·2＝43.【答案】 4313．(预测题)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥⑥圆柱【解析】 三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，其余的正视图均不是三角形．【答案】 ①②③⑤14．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【解析】 底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π×r 2×4＋π×r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.【答案】715．(2015·广西三市4月联考)三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∠BAC ＝120°，PA ＝AB ＝AC ＝2，则此三棱锥外接球的体积为________．【解析】 设△ABC 外接圆的半径为r ，三棱锥外接球的半径为R ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝4＋4－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，∴2r ＝2332＝4，∴r ＝2，由题意知PA ⊥平面ABC ，则将三棱锥补成三棱柱可得R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 2＝5，∴此三棱锥外接球的体积为43π·(5)3＝2053π.【答案】 2053π第2讲 点、直线、平面之间的位置关系1．(2015·湖北高考)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【解析】 两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件．故选A.【答案】 A2．(2013·安徽高考)在下列命题中，不是．．公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【解析】 A ．不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证； B ．是平面的基本性质公理； C ．是平面的基本性质公理； D ．是平面的基本性质公理． 【答案】 A3．(2014·浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊥α B ．若m ∥β，β⊥α，则m ⊥α C ．若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α D ．若m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α，则m ⊥α【解析】 选项A ，若m ⊥n ，n ∥α，则m ⊂α或m ∥α或m ⊥α，错误；选项B ，若m ∥β，β⊥α，则m ⊂α或m ∥α 或m ⊥α，错误；选项C ，若m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α，则m ⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，错误．故选C.【答案】 C4．(2015·江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此BD∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.考什么怎么考题型与难度1.与空间位置关系有关的命题真假的判断主要考查线面平行、垂直与面面平行、垂直判定定理、性质定理的应用题型：选择题难度：中档题2.证明平行关系主要考查直线、线面、面面平行关系的证明题型：解答题难度：基础题或中档题3.证明垂直关系主要考查线线、线面、面面垂直关系的证明与应用题型：解答题难度：基础题或中档题与空间位置关系有关的命题真假的判断(自主探究型)β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m【解析】本题主要考查线面位置关系，意在考查考生的空间想象能力和推理能力．对于面面垂直的判定，主要是两个条件，即l⊂α，l⊥β，如果这两个条件存在，则α⊥β.【答案】 A2．(2015·广东佛山二模)在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的命题是( )A．①③B．②④C．①④D．②③【解析】①平行于同一个平面的两条直线，可能平行，相交或异面，不正确；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由面面平行的判定定理知正确；③若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知④正确．故选B.【答案】 B【规律感悟】判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．证明平行关系（师生共研型）【典例1】(2015·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．【解】 (1)以△BDC 为底面，AD 为高，利用体积公式求解；(2)先利用线面平行的性质定理证明四边形EFGH 为平行四边形，再证明为矩形．(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝CD ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体体积V ＝13×12×2×2×1＝23.(2)证明：∵BC ∥平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ，∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AD ⊥平面BDC ， ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形． [一题多变] 若本例变为：如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点．(1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形．【证明】 (1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点， 所以DE ∥PC .又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE ∥平面BCP .(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．【规律感悟】 1.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形中位线定理证明：即遇到中点时，常找中位线，利用该定理证明．(2)利用平行四边形对边平行证明：即要证两线平行，以两线为对边构造平行四边形证明．(3)利用平行公理证明：即要证两线平行，找第三线并证明其分别与要证两线平行即可．2．证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．3．证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．[针对训练](2015·河北石家庄二中一模)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且∠FCD＝30°.(1)求证：CE∥平面PAB；(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P­ACE的体积．【解】(1)证明：∵∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴∠FDC＝30°.又∠FCD＝30°，∴∠ACF＝60°，∴AF＝CF＝DF，即F为AD的中点．又E为PD的中点，∴EF∥PA，∵AP⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.又∠BAC＝∠ACF＝60°，∴CF∥AB，可得CF∥平面PAB.又EF∩CF＝F，∴平面CEF∥平面PAB，而CE⊂平面CEF，∴CE ∥平面PAB .(2)∵EF ∥AP ，AP ⊂平面APC ，EF ⊄平面APC ， ∴EF ∥平面APC .又∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝60°，PA ＝2AB ＝2， ∴AC ＝2AB ＝2，CD ＝ACtan 30°＝23.∴V P ­ACE ＝V E ­PAC ＝V F ­PAC ＝V P ­ACF ＝13×12×S △ACD ·PA ＝13×12×12×2×23×2＝233.证明垂直关系（多维探究型）命题角度一 利用线面垂直的性质证明线线垂直【典例2】 (2015·河北唐山一模)如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1＝∠CC 1B 1＝60°，AC ＝2.(1)求证：AB 1⊥CC 1； (2)若AB 1＝6，求四棱锥A ­BB 1C 1C 的体积．【解】 本题主要考查线线垂直、线面垂直、四棱锥的体积等基础知识，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力．(1)证明：连接AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1的中点O ，连接OA ，OB 1， 则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1， 则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1. (2)由(1)知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，所以OA 2＋OB 21＝AB 21，所以OA ⊥OB 1.又OA ⊥CC 1，OB 1∩CC 1＝O ，所以OA ⊥平面BB 1C 1C .S ▱BB 1C 1C ＝BC ×BB 1sin 60°＝23，故VA ­BB 1C 1C ＝13S ▱BB 1C 1C ×OA ＝2.命题角度二 证明线面垂直、面面垂直【典例3】 (2015·新课标Ⅰ高考)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．【解】 本题主要考查空间直线与平面、平面与平面垂直的性质与判定及三棱锥体积与侧面积的计算等基础知识，考查考生的推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力．求解第(1)问时，根据菱形的性质，易知AC ⊥BD ，由直线BE ⊥平面ABCD ，得AC ⊥BE ，进而得到AC ⊥平面BED ，再根据面面垂直的判定定理得平面AEC ⊥平面BED ；求解第(2)问时，首先根据AE ⊥EC 、菱形的性质及三棱锥的体积求出菱形的边长，再求三棱锥的侧面积．(1)因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)证明：设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥EACD 的体积V EACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥EACD 的侧面积为3＋25.【规律感悟】 1.证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊平面图形的性质：如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．(2)利用勾股定理逆定理．(3)利用线面垂直的性质：即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．2．证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：把线面垂直的判定转化为证明线线垂直． (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．。

答案 B
思维升华
空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、 上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此 在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确 定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何
体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、
面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.
2.由三视图还原几何体的步骤
高度一样，宽度与俯视图的宽度一样 . 即 “ 长对正、高平齐、
一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体.
例1 是(
(1)(2014· 课标全国Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方
形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体 )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
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解析
设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面圆周长L＝2πr，
L 所以圆锥底面圆的半径 r＝2π，
1 1 2 1 L2 1 2 则圆锥的体积为 V＝3Sh＝3πr h＝3π·4π2h＝12πL h.
2 2 1 2 2 2 25 又 V≈75L h，所以12πL h≈75L h，解得 π≈ 8 .
专题五
立体几何
第 1讲 空间几何体
栏目索引
高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练
高考真题体验 的表面积为(
A.21＋ 3 B.18＋ 3 C.21 D.18
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1.(2014· 安徽 ) 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体 )
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解析 由几何体的三视图可知， 该几何体的直观图如图所示.
1 1 1 1 V＝3×2×3×4×6＋3×2×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.
跟踪演练1