高考数学简单几何体

高三数学简单几何体 知识精讲 通用版【本讲主要内容】简单几何体棱柱、棱锥球的概念和性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 棱柱的概念和性质定义：有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．性质：棱柱的各侧棱相等，各侧面是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个定点出发的三条棱的平方和．说明：（1）理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱→直棱柱→正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

（2）平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。

2. 棱锥的概念和性质定义：一个面是多边形，其余各面是由一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的锥棱叫正棱锥．性质：在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形．斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形． 3. 球的概念和性质（1）定义：到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球． 到定点的距离等于定长的集合叫做球面．过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离．（2）性质：①平面截球所得的截面是圆；②球心与截面圆心的连线垂直于截面； ③设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r ＝22d R④表面积及体积公式： S 球表＝4πR 2 ，V 球＝34πR 3 ，其中R 为球的半径（3）相关概念——经纬度 根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，4. 主要题型及解题方法（1）以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。

解这类题要注意棱柱与棱锥的性质及各种线面关系相关性质的综合运用（2）求球的体积、表面积和球面距离。

简单几何体的结构、三视图和直观图考纲解读 1.以常见的几何体及简单组合体为模型画三视图、辩认三视图；2.辩识三视图所表示的立体模型；3.通过模型转化几何体、三视图、直观图；4.会画某些建筑物的三视图与直观图．[基础梳理]1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.(1)三视图的形成与名称：①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法：①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．[三基自测]1．如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案：C2．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为()A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台答案：C3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．答案：1考点一简单几何体的结构特征|易错突破[例1](1)给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是() A．0B．1C．2 D．3(2)给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．[解析](1)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(2)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．[答案](1)B(2)4[易错提醒]1．明确各种空间几何体的概念及相关元素的特征．2．善于构建、利用几何体模型．3．通过反例对结构特征进行判断．[纠错训练]给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是()A．①②③B．②③C．③D．①②③④解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②，截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④错；由面面垂直的判定及性质知③正确，故选C.答案：C考点二 简单几何体的直观图|易错突破[例2] (1)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2(2)(2018·青岛模拟)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形[解析] (1)依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.(2)在直观图中，O ′D ′＝2cos 45°＝22，C ′D ′＝2，恢复平面图形后，OD ＝42，CD ＝2， ∴OC ＝(42)2＋22＝6， ∴OABC 为菱形，故选C. [答案] (1)C (2)C [易错提醒]注意原图与直观图的“变”与“不变” (1)“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变(减半)图形改变(2)“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平等性不变与x 轴平行的线段长度不变相对位置不变[纠错训练]如图所示，一个水平放置的正方形ABCD ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出正方形的直观图A ′B ′C ′D ′中，顶点B ′到x ′轴的距离为________．解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图：因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin45°＝2 2.答案：22考点三简单几何体的三视图|模型突破角度1已知几何体识别三视图[例3]正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()[解析]过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.[答案]C[模型解法](3)按规定的视线，找出各个顶点在投影面上的投影．(4)确定线在投影面上的虚实．[高考类题]1．(2013·高考课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A.答案：A角度2已知三视图，判断几何体[例4](2018·烟台模拟)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3 D．4[解析]观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A­BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D.[答案]D[模型解法]识别三视图应从以下几方面考虑(1)从线型看类型，由三视图中的线是线段还是曲线，可确定此几何体是简单多面体还是旋转体；(2)分部分，想整体，判断几何体是简单几何体还是组合体；(3)对比一些熟悉的三视图模型进行分析，如正方体、圆锥、三棱锥等三视图模型．2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：将三视图还原为几何体如图所示，几何体为三棱柱．答案：B1.[考点一、二、三](2014·高考湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系O xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：设A (0,0,2)，B (2,2,0)，C (1,2,1)，D (2,2,2)．∵B ，C ，D 在平面yOz 上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A (0,0,2)在平面yOz 上，又点C 的横坐标小于点B 和D 的横坐标，∴该几何体的正视图为图④.∵点A ，C ，D 在平面xOy 上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B (2,2,0)在平面xOy 上，∴该几何体的俯视图为图②.故选D.答案：D2.[考点一、二、三](2015·高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：如图，由已知条件可知，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截去三棱锥A A 1B 1D 1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体，设该正方体的棱长为a ，则截去部分的体积为16a 3，剩余部分的体积为a 3－16a 3＝56a 3.它们的体积之比为15.故选D.答案：D3.[考点一、二、三](2013·高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三角形的高为 5.所以该四棱锥的侧面积为4×12×2×5＝45，体积为13×22×2＝83，故答案为B.答案：B。

第1节简单几何体的结构、三视图和直观图考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图.与直观图，了解空间图形的不同表示形式知识梳理1.简单几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台1图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴11的线段；(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.3.三视图 (1)三视图的名称几何体的三视图包括主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.②三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图.③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置. [常用结论与微点提醒] 1.常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆.(2)水平放置的圆锥的主视图和左视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的主视图和左视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的主视图和左视图均为全等的矩形.2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ).解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A可能为45°也可能为135°.(4)球的三视图均相同，而圆锥的主视图和左视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(新教材必修第二册P205B2改编)一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用1。

2.简单几何体知识网络简单几何体结构简图画龙点晴点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质:直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体:底面是矩形的直平行六面体叫做长方体,长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.即，11由三垂线定理得A 1M ⊥AB,A 1N ⊥AD.∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴ A 1M=A 1N. ∴ OM=ON.∴ 点O 在∠BAD 的平分线上. (2),232133cos 1=⨯==πAA AM23=∴AN ,∴侧面AB 1和侧面DC 1的面积都等于423⨯=6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于523⨯=7.5,又AB ⊥AD ，∴两底面面积都等于45⨯=20，∴平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2]如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱,过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作l . (1)(2)[(2)又l 作11.5131)512(22121=+=+=∴A A AE E A 故点A 1到直线l 的距离为513. 解法二:同解法一得l ∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt △ABC ∽Rt △BEA,AE:BC=AB:AC,ACABBC AE ⨯=∴,以下同解法一. [例3]如图,已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点. (1)证明AB 1∥平面DBC1;(2)假设AB 1⊥BC 1,求以BC 1为棱,DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数. [题解](1)∵A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱,∴四边形B 1BCC 1是矩形.又(2)影∵角设DF 取2EF 16341432=⋅=∴EF ,即EF=43..14343tan ===∠∴EF DF DEF ∴∠DEF=45°.故二面角α为45°. 概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类:按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 棱锥的表示法:棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母棱锥的中截面:过棱锥的高的中点并且平行于底面的截面叫做棱锥的中截面. 公式正棱锥的侧面积和全面积:正棱锥的侧面积等于底面周长C 与斜高/h 乘积的一半.即/21h C S ⋅=正棱锥侧.[活用实例][例4]如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证：SC垂直于截面MAB.[影面°从[).因由NSC.以下同证法一,故SC⊥截面MAB.[题解3]连结DM,DS.因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠SNC=90°.从而DM⊥SC.从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以AB⊥SC. 从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.，正多面体的种类:正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其中正四面体、正八面体、正二十面体的面是正三角形，正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。

A B C DEA 1B 1C 1简单几何体（1）棱柱——最常见的多面体空间直线与平面的只研究位置关系，没有大小和形状的研究；而具体的几何体除位置关系外，还有大小和形状的区别. 几何体按形状分两大类：一是由平面围成的多面体，如正方体；二是由曲面围成的旋转体，如球.棱柱是常见的多面体，它有两个本质属性：①有两个面（底面）互相平行；②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行.棱柱在高考中是常考的一种载体，除考查空间线面关系（空间角和距离）外，还有面积、体积计算问题的考查. 【例1】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小． 【解析1】（Ⅰ）设O 为AC 中点，连接EO ，BO ， 则EO 12C 1C ，又C 1CB 1B ，所以EODB ，EOBD 为平行四边形，ED ∥O B ． ∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，BO ⊂ 面ABC ， 故BO ⊥平面ACC 1A 1，∴ED ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥AC 1，ED ⊥CC 1， ∴ED ⊥BB 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线．（Ⅱ）连接A 1E ，由AA 1＝AC ＝2AB 可知，A 1ACC 1为正方形， ∴A 1E ⊥AC 1，又由ED ⊥平面ACC 1A 1和ED ⊂平面ADC 1知平面ADC 1⊥平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥平面ADC 1．作EF ⊥AD ，垂足为F ，连接A 1F ，则A 1F ⊥AD ，∠A 1FE 为二面角A 1－AD －C 1的平面角．不妨设AA 1＝2，则AC ＝2，AB ＝2ED ＝OB ＝1，EF ＝AE ×ED AD ＝23，tan ∠A 1FE ＝3，∴∠A 1FE ＝60°． 所以二面角A 1－AD －C 1为60°．【解析2】（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O －xyz ，其中原点O 为AC 的中点． 设A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，B 1(0，b ，2c )．则C (－a ，0，0)，C 1(－a ，0，2c )，E (0，0，c )，D (0，b ，c )． ED →＝（0，b ，0），BB 1→＝(0，0，2c )． ED →·BB 1→＝0，∴ED ⊥BB 1． 又AC 1→＝(－2a ，0，2c )， ED →·AC 1→＝0，∴ED ⊥AC 1，所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线．（Ⅱ）不妨设A (1，0，0)，则B (0，1，0)，C (－1，0，0)，A 1(1，0，2)， BC →＝(－1，－1，0)，AB →＝(－1，1，0)，AA 1→＝(0，0，2)， BC →·AB →＝0，BC →·AA 1→＝0，即BC ⊥AB ，BC ⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面A 1A D ．AB CDEA 1B 1C 1OFC又 E (0，0，1)，D (0，1，1)，C (－1，0，1)，EC →＝(－1，0，－1)，AE →＝(－1，0，1)，ED →＝(0，1，0)， EC →·AE →＝0，EC →·ED →＝0，即EC ⊥AE ，EC ⊥ED ，又AE ∩ED ＝E ， ∴EC ⊥面C 1A D ．cos ＜EC →，BC →＞＝EC →·BC →|EC →|·|BC →|＝12，即得EC →和BC →的夹角为60°．所以二面角A 1－AD －C 1为60°．（2）棱锥——最简单的多面体棱锥是一种简单的多面体，它有两个主要特征：①有一个形状是多边形的底面；②其他各面是有一个公共顶点的三角形，这些三角形是棱锥的侧面.三棱锥是最简单的棱锥，也是最简单的多面体（四面体），多面体的研究往往归结到三棱锥来，正像多边形的研究要归结到三角形一样. 三棱锥常成为多面体考题的载体. 故有人说，考多面体说到底是在考三棱锥.【例2】（I ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （II ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（III ）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。

§7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．知识梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中x ′轴、y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半．3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l4．柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体S 表＝S 侧＋2S 底V ＝Sh 锥体S 表＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体S 表＝S 侧＋S 上＋S下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 表＝4πR 2V ＝43πR 3常用结论1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．2．直观图与原平面图形面积间的关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)菱形的直观图仍是菱形．(×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(×)(3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(×)(4)锥体的体积等于底面积与高之积．(×)教材改编题1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()A．四棱台B．四棱锥C．四棱柱D．三棱柱答案C解析由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱．2．下列说法正确的是()A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形的直观图是平行四边形．3．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为() A．1cm B．2cm C．3cm D.3cm2答案B解析设圆锥底面圆的半径为r cm，母线长为l cm，依题意得2πr＝πl，∴l＝2r，S＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).表题型一基本立体图形命题点1结构特征例1(多选)下列说法中不正确的是()A ．以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台B ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥D ．棱台的各侧棱延长后必交于一点答案ABC解析由圆台定义知，以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台，故A 错误；由棱柱定义可知，棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，故B 错误；底面是正多边形的棱锥，不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心，故C 错误；棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D 正确．命题点2直观图例2已知水平放置的四边形OABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O ′A ′∥B ′C ′，∠O ′A ′B ′＝90°，O ′A ′＝1，B ′C ′＝2，则原四边形OABC 的面积为()A.322B ．32C ．42D ．52答案B 解析方法一由已知求得O ′C ′＝2，把直观图还原为原图形如图，可得原图形为直角梯形，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，且OA ＝1，BC ＝2，OC ＝22，得原四边形OABC 的面积为12×(1＋2)×22＝3 2.方法二由题意知A ′B ′＝1，∴S 直观图＝12×(1＋2)×1＝32，∴S 原图形＝22S 直观图＝3 2.命题点3展开图例3如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为()A．12cm B．13cmC.61cm D．15cm答案C解析如图，把侧面展开2周可得对角线最短，则AA1＝62＋52＝61(cm)．思维升华空间几何体结构特征的判断技巧(1)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．(2)在斜二测画法中，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(3)在解决空间折线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化．跟踪训练1(1)如图，一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为()A．42＋4B．46＋4C．82D．8答案B解析根据题意，把直观图还原成原平面图形，如图所示，其中OA ＝22，OD ＝4，AB ＝CD ＝2，则AD ＝8＋16＝26，故原平面图形的周长为2＋2＋26＋26＝46＋4.(2)(多选)下列命题中不正确的是()A ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形B ．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱C ．不存在每个面都是直角三角形的四面体D ．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等答案ACD解析A 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C 不正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形；D 不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．(3)(2023·岳阳模拟)已知圆锥的侧面积是底面积的54倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为()A.4π5B.6π5C.8π5D.9π5答案C解析设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积为πrl ，由题意得πrl πr 2＝54，解得l ＝5r 4，∵圆锥底面圆的周长即为侧面展开图扇形的弧长为2πr ，∴该扇形的圆心角为α＝2πr l ＝2πr 5r 4＝8π5.题型二表面积与体积命题点1表面积例4(1)(2022·深圳模拟)以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A ．8πB ．4πC ．8D ．4答案A解析以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为圆柱，其底面半径r ＝2，高h ＝2，∴所得圆柱的侧面积S ＝2πrh ＝2π×2×2＝8π.(2)(2023·丽江模拟)已知三棱锥的三条侧棱长均为2，有两个侧面是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为5，则这个三棱锥的表面积为()A ．4＋33＋15B ．4＋3＋215C ．4＋3＋15D ．4＋23＋15答案C解析结合题目边长关系，三棱锥如图所示，AB ＝AC ＝AD ＝2，CE ＝5，由题意得△ABC ，△ACD 是等腰直角三角形，则BC ＝CD ＝22，BE ＝BC 2－CE 2＝3，BD ＝23，AE ＝AB 2－BE 2＝1，则该三棱锥的表面积为S △ABC ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＋12×23×1＋12×23×5＝4＋3＋15.命题点2体积例5(1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为()A ．20＋123B ．282C.563 D.2823答案D解析作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，所以该棱台的高h ＝22－ 22－2 2＝2，下底面面积S 1＝16，上底面面积S 2＝4，所以该棱台的体积V ＝13h (S 1＋S 2＋S 1S 2)＝13×2×(16＋4＋64)＝2823.(2)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为()A.43B.83C ．4D ．6答案B解析如图，三棱锥A －B 1CD 1是由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1截去四个小三棱锥A －A 1B 1D 1，C －B 1C 1D 1，B 1－ABC ，D 1－ACD 得到的，又1111ABCD A B C D V －＝23＝8，11111111A A B D C B C D B ABC D ACDV V V V －－－－＝＝＝＝13×12×23＝43，所以11A B CD V －＝8－4×43＝83.思维升华求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积，直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积跟踪训练2(1)(2021·北京)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm －25mm)，大雨(25mm －50mm)，暴雨(50mm －100mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨答案B解析由题意，一个半径为2002＝100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002×150300＝50(mm)，高为150(mm)的圆锥，所以积水厚度d ＝13π×502×150π×1002＝12.5(mm)，属于中雨．(2)(2022·沈阳模拟)在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为18.7cm ，底面边长为7cm(数据为笔筒的外观数据)，用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为()A ．120cm 2B ．162.7cm 2C ．785.4cm 2D ．1570.8cm 2答案C解析根据正六棱柱的底面边长为7cm ，得正六棱柱的侧面积为6×7×18.7＝785.4(cm 2)，所以至少需要绒布的面积为785.4cm 2.课时精练1．(2023·淄博模拟)若圆锥的母线长为23，侧面展开图的面积为6π，则该圆锥的体积是()A.3πB ．3πC ．33πD ．9π答案B解析设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，因为母线长为23，所以侧面展开图的面积为πr ×23＝6π，解得r ＝3，所以h ＝ 23 2－ 3 2＝3，所以圆锥的体积V ＝13π×(3)2×3＝3π.2.如图是用斜二测画法画出的水平放置的△AOB 的直观图(图中虚线分别与x ′轴、y ′轴平行)，则原图形△AOB 的面积是()A ．8B ．16C ．32D ．64答案C解析根据题意，如图，原图形△AOB 的底边OB 的长为4，高为16，所以其面积S ＝12×4×16＝32.3．(多选)下列说法不正确的是()A ．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面B ．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D ．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析选项A ，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故A 错误；选项B ，其余各面的边延长后不一定交于一点，故B 错误；选项C ，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C 错误；选项D ，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D 正确．4．(2022·莆田模拟)已知圆锥的侧面展开图为一个面积为2π的半圆，则该圆锥的高为()A.52B ．1 C.2D.3答案D解析设圆锥的母线长为l ，圆锥的底面圆半径为r ，如图．πl ＝2πr ，πrl ＝2π，解得r 2＝1，l 2＝4，则圆锥的高h ＝l 2－r 2＝ 3.5.如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为()A ．123B ．16C ．24D ．243答案A 解析如图，设圆锥侧面展开图的圆心角为θ，则由题意可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×－12＝123.6．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km 2；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为(7≈2.65)()A ．1.0×109m 3B ．1.2×109m 3C ．1.4×109m 3D ．1.6×109m 3答案C 解析如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V ＝13×9×(140＋140×180＋180)×106＝60×(16＋37)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m 3)．故选C.7.如图，在正四棱锥P －ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，则棱锥A －B 1CD 1与棱锥P －ABCD 的体积之比是()A ．1∶4B ．3∶8C ．1∶2D ．2∶3答案A 解析棱锥A －B 1CD 1的体积可以看成是正四棱锥P －ABCD 的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到的．因为B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点，所以棱锥B 1－ABC 的体积和棱锥D 1－ACD 的体积都是正四棱锥P －ABCD 的体积的14，棱锥C －PB 1D 1的体积与棱锥A －PB 1D 1的体积之和是正四棱锥P －ABCD 的体积的14，则中间剩下的棱锥A －B 1CD 1的体积11A B CD V －＝V P －ABCD －3×14V P －ABCD ＝14V P －ABCD ，则11A B CD V －∶V P －ABCD ＝1∶4.8.(多选)(2023·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为21米，则()A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为243平方米D ．正四棱锥的侧面积为123平方米答案AC 解析如图，在正四棱锥S －ABCD 中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为AB 的中点，则SH ⊥AB ，设底面边长为2a 米．因为∠SHO ＝30°，所以OH ＝AH ＝a 米，OS ＝33a 米，SH ＝233a 米．在Rt △SAH 中，a 2＋233a ＝21，解得a ＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S ＝12×6×23×4＝243(平方米)．9.如图，在六面体ABC －FEDG 中，BG ⊥平面ABC ，平面ABC ∥平面FEDG ，AF ∥BG ，FE ∥GD ，∠FGD ＝90°，AB ＝BC ＝BG ＝2，GD ＝2BC ，四边形AEDC 是菱形，则六面体ABC －FEDG 的体积为________．答案8解析如图，连接AG ，AD ，则V 六面体ABC －FEDG ＝V 四棱锥A －FEDG ＋V 四棱锥A －BCDG ＝2V 四棱锥A －FEDG ，由题意得，EF ＝2，DG ＝4，FG ＝AF ＝2，∴S 梯形FEDG ＝12×(2＋4)×2＝6，∴V 四棱锥A －FEDG ＝13×S 梯形FEDG ×AF ＝4，∴V 六面体ABC －FEDG ＝8.10．(2022·张家口模拟)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中B ，C 分别是上、下底面圆的圆心，且AC ＝3AB ＝3BD ，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是________．答案22解析设AB ＝BD ＝m ，则AD ＝2m ，因为AC ＝3AB ＝3m ，所以BC ＝2m ，则圆柱的侧面积S 1＝2πr ·BC ＝4πm 2，圆锥的侧面积S 2＝πr ×AD ＝2πm 2，故S 1S 2＝4πm 22πm2＝2 2.11.如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，点M ，N 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则棱锥B －AMNC 的体积为________．答案13V 解析如图，连接AN ，对于三棱锥B －ACN ，B －AMN ，显然它们等底同高，故V B －ACN ＝V B －AMN ，而V B －ACN ＝V N －ABC ，注意到CN ＝C 1N ，于是三棱锥N －ABC 的高是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的一半，且它们都以△ABC 为底面，故V N －ABC ＝13×12V ＝16V ，故V B －AMNC ＝2×16V ＝13V .12.某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm 3.答案8182解析公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8面．四棱锥底面是以32为边长的正方形，S ＝18，其中一个正四棱锥的高为322.∴V ＝13×18×322×2＝182(cm 3)．13．(2022·徐州模拟)如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落处，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是()A ．15πB ．36πC ．45πD ．48π答案C 解析如图为圆柱的轴截面图，过M 作容器壁的垂线，垂足为F ，因为MN 平行于地面，故∠MNF ＝30°，因为椭圆长轴上的顶点M ，N 到容器底部的距离分别是12和18，故NF ＝18－12＝6，在Rt △MFN 中，MF ＝NF ×tan 30°＝23，即圆柱的底面半径为3，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为3，高为(12＋18)的圆柱体积的一半，即为12×π×(3)2×(12＋18)＝45π.14．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙＝2，则V 甲V 乙等于()A.5B ．22 C.10 D.5104答案C 解析方法一由甲、乙两个圆锥的母线长相等，结合S 甲S 乙＝2，可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l ＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr 1＝4π，2πr 2＝2π，得r 1＝2，r 2＝1.由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝5，h 2＝l 2－r 22＝22，所以V 甲V 乙＝13πr 21h 113πr 22h 2＝4522＝10.故选C.方法二设两圆锥的母线长为l ，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，侧面展开图的圆心角分别为n 1，n 2，则由S 甲S 乙＝πr 1l πr 2l ＝n 1πl 22πn 2πl 22π＝2，得r 1r 2＝n 1n 2＝2.由题意知n 1＋n 2＝2π，所以n 1＝4π3，n 2＝2π3，所以2πr 1＝4π3l ,2πr 2＝2π3l ，得r 1＝23l ，r 2＝13l .由勾股定理得，h 1＝l 2－r 21＝53l ，h 2＝l 2－r 22＝223l ，所以V 甲V 乙＝13πr 21h 113πr 22h 2＝4522＝10.故选C.15．(多选)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，侧面AA1C 1C 的中心为O ，点E 是侧棱BB 1上的一个动点，下列判断正确的是()A ．直三棱柱的侧面积是4＋22B ．直三棱柱的体积是13C ．三棱锥E －AA 1O 的体积为定值D ．AE ＋EC 1的最小值为22答案ACD 解析因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，所以△ABC 和△A 1B 1C 1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋12＋12×2＝4＋22，故A 正确；直三棱柱的体积V ＝S △ABC ·AA 1＝12×1×1×2＝1，故B 不正确；如图所示，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱BB 1上的一个动点，所以三棱锥E －AA 1O 的高为定值22，1AA O S △＝14×2×2＝22，所以1E AA O V 锥－三棱＝13×22×22＝16，为定值，故C 正确；由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE ＋EC 1的最小值为AA 21＋ A 1B 1＋B 1C 1 2＝22＋ 1＋12＝22，故D 正确．16．(2023·榆林模拟)如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为163cm 2的正三角形．若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为________cm 3.答案2563π27解析设圆锥的底面半径为r cm ，圆柱形冰块的底面半径为x cm ，高为h cm ，由已知可得，12×32×(2r )2＝163，解得r ＝4，h ＝(r －x )·tan 60°＝3(4－x )，0＜x ＜4.设圆柱形冰块的体积为V ，则V ＝3πx 2(4－x )，0＜x ＜4.令f (x )＝3πx 2(4－x )，0＜x ＜4.则f ′(x )＝3πx (8－3x )，则当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，∴f (x )max ＝f ＝2563π27.∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为2563π27cm 3.。

2. 简单几何体知识网络 简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。

两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高的乘积, 即, 斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C1与侧棱长的乘积,即, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.[活用实例][例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=，(1)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的表面积.[题解](1) 如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON. ∴点O在∠BAD的平分线上.(2),侧面AB1和侧面DC1的面积都等于4=6,侧面AD1和侧面BC1的面积都等于5=7.5,又ABAD，两底面面积都等于4=20，平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2] 如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作.(1)判定直线A1C1和的位置关系,并加以证明;(2)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点A1到直线的距离.[题解](1)根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有∥A1C1.(2)解法一:过点A1作A1E⊥于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴ 直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又 在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又∥A1C1, ∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,从而AE=BD=在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,故点A1到直线的距离为.解法二:同解法一得∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,, 以下同解法一.[例3] 如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[题解](1)∵A1B1C1-ABC是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C中,∵AD=DC,∴DE∥AB1.又平面DBC1, DE平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.(2)作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1, 则DC=∵△ABC是正三角形,∴在Rt△DCF中,CF=取BC中点G.∵EB=EC,∴EG⊥BC. 在Rt△BEF中,AC=1,又BF=BC-FC=, GF=,, 即EF=.∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示.例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。