考点29空间向量解决空间直线、平面位置关系【命题解读】空间中直线、平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用使得空间立体几何问题转化为了计算问题，把几何问题转化为了代数的计算，因此在复习过程中既要要求学生的空间思维能力又要要求学生学会数学转化思想。
【命题预测】预计2021年的高考对于空间直线、平面的位置关系的考察还是一个必考题，充分运用空间向量让立体几何问题转化为数学的代数计算问题。
【复习建议】1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线、平面位置关系的有关定理.2.能运用结论解决空间直线、平面的位置关系问题。
考向一 空间共线、共面向量定理1. 共线向量定理：对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b ⇔存在λ∈R,使a =λb2. 共面向量定理：若两个向量a ,b 不共线,则向量p 与向量a ,b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b3. 空间向量基本定理：如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p = x a +y b +z c1.【2019江苏鼓楼南京师大附中高二期中】已知空间三点坐标分别为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，点()3,,3P x -在平面ABC 内，则实数x 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．0D ．–1【答案】A【解析】因为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，()3,,3P x - 所以()1,2,1BA =-，()2,4,4BC =--，()3,3,3BP x =--因为空间三点坐标分别为()1,1,1A ，()0,3,0B ，()2,1,4C --，点()3,,3P x -在平面ABC 内所以设BP yBA zBC =+，则有2324343y z y z x y z -=-⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩.解得111z y x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故选：A2. 【2020上海高二课时练习】已知直线1l 和2l 不重合，12,d d 分别是12,l l 的方向向量，则12=d d 是12l l //的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】因为直线1l 和2l 不重合，所以12=d d 可以推出12l l //，而12l l //只能推出1d 与2d 共线，不一定相等， 所以12=d d 是12l l //的充分非必要条件. 故选：A.考向二 利用空间向量证明平行与垂直a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3)1. a ∥b ⇒ a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R,b ≠0)2. a ⊥b ⇔ a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=01. 【2020绥德中学高二期末（理）】已知向量(245)a =，， ，3)b x y =（，， ，分别是直线1l 、2l 的方向向量，若12l l ，则（ ）A ．6x = ，15y =B ．3x = ，15y =C ．83x =，103y = D ．6x = ，152y =【答案】D【解析】∵1l ∥2l ， ∴a ∥ b ， ∴3452x y ==， ∴156,2x y ==．选D ． 2.【2019浙江南湖嘉兴一中高二期中】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆5 ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影面积为3则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ， 则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ， 设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-， ∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，2222(1)(21)MH GH MG a a =+=-+-2562a a =-+，∴211156222BCM S BC MH a a ∆=⨯⨯=⋅-+21311155()25525a =-+≥= 当35a =时，min 5()BCM S ∆=，①正确；对于11//D C DC ，DC 平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为26sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为22336663443a ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．④对． 故选C ．题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津卷理数】如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====．（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．2. 【2019年高考浙江卷】（本小题满分15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.3. 【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．4. 【2020年高考天津】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．题组二1. 【2019山西太原高二期末（理）】已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C 三点，()1,1,1n =，则以n 为方向向量的直线与平面ABC 系是（ ）A ．垂直B ．不垂直C ．平行D ．以上都有可能2. 【2019福建南平高二期末】已知平面α的一个法向量为()1,2,2n =，()2,4,4AB =---，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．//AB α B ．AB α⊂C ．相交但不垂直D ．AB α⊥3. 【2020宜宾市叙州区第二中学校高三一模（理）】如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，且12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在线段11A B 上，且11A P PB λ=.（1）求证：不论λ取何值，总有AM PN ⊥；（2）当1λ=时，求平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值.4. 【2020天津高三一模】如图所示的几何体P ABCDE -中，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，AB AE ⊥，//AB CE ，//AE CD ，24CD CE AB ===，M 为PD 的中点.（1）求证：CE PE ⊥；（2）求二面角M CE D --的大小；（3）设N 为线段PE 上的动点，使得平面//ABN 平面MCE ，求线段AN 的长. 5. 【2020全国高二课时】练习棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，DB 的中点，G 在棱CD 上，且CG 13=CD ．（1）证明：EF ⊥B 1C ； （2）求cos EF ＜，1C G ＞．题组一1. （1）见解析；（2）49；（3）87．【解析】依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E ．设(0)CF h h =>，则()1,2,F h ．（1）依题意，(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ．（2）依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--．设(,,)x y z =n 为平面BDE 的法向量，则0,0,BD BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)=n ．因此有4cos ,9||||CE CE CE ⋅==-n n n ．所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．（3）设(,,)x y z =m 为平面BDF 的法向量，则0,0,BD BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,h ⎛⎫=-⎪⎝⎭m ． 由题意，有224||1cos ,||||3432h h -⋅〈〉===+m n m n m n ，解得87h =．经检验，符合题意．所以，线段CF 的长为87．2. （1）见解析；（2）35． 【解析】（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，23），B （3，1，0），1(3,3,23)B ，33(,,23)22F ，C (0，2，0)．因此，33(,,23)22EF =，(3,1,0)BC =-． 由0EF BC ⋅=得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ． 由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --，，，，，． 设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，， 由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得3030x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 取n (131)=，，，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅，n n n |，因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35． 3. 见解析【解析】设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内． （2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ． 设2n 为平面1A EF 的法向量，则 22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ． 因为1212127cos ,||||7⋅〈〉==-⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --的正弦值为427．4. 见解析【解析】依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,6|A CA C CA ⋅〈〉==n n n ，于是sin ,CA 〈〉=n ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为6． （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,3||||AB AB AB ⋅==-n n n ．所以，直线AB 与平面1DB E 题组二1.A【解析】由题意，()()1,1,0,0,1,1AB BC =-=-，0,0n AB n BC ⋅=⋅=，所以以n 为方向向量的直线l 与平面ABC 垂直，故选A. 2.D【解析】根据已知条件容易得到：=-2AB n →，所以AB n →；故直线AB 与平面α垂直故选：D 3.见解析【解析】以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()10,0,2A ，()12,0,2B ，()0,2,1M ，()1,1,0N .（1）()11111A P PB A B A P λλ==-，()11122,0,0,0,0111A P A B λλλλλλ⎛⎫∴===⎪+++⎝⎭， ()11220,0,2,0,0,0,211AP AA A P λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()21,1,0,0,2,1,2111PN AN AP λλλλ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-.()0,2,1AM =，0220AM PN ∴⋅=+-=，因此，无论λ取何值，AM PN ⊥；（2）当1λ=时，()1,0,2P ，()0,1,2PN =-，()1,2,1PM =--，而平面ABC 的法向量()0,0,1n =，设平面PMN 的法向量为(),,1x y m =，则21020m PM x y m PN y ⎧⋅=-+-=⎨⋅=-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则()3,2,1m =，设α为平面PMN 与平面ABC 所成的锐二面角，则14cos 14m n m nα⋅==⋅. 因此，平面PMN 与平面ABC 所成二面角的余弦值是1414. 4. 见解析【解析】依题意得，ABP △和AEP △均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PA AB ⊥，PA AE ⊥， 所以PA ⊥面ABCDE ，又AB AE ⊥，可以建立以A 为原点，分别以AB →，AE →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()4,2,0C ，()4,6,0D ，()0,2,0E ，()002P ,,，()2,3,1M ，（1）证明：由题意，()4,0,0CE →=-，()0,2,2PE →=-， 因为0CE PE →→⋅=，所以CE PE ⊥.（2）解：()2,1,1ME →=---，()2,1,1MC →=--， 设(),,n x y z →=为平面MEC 的法向量，则00n ME n MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y z x y z ---=⎧⎨--=⎩， 不妨令1y =，可得()0,1,1n →=-， 平面DEC 的一个法向量()0,0,2AP →=，因此有2cos ,2n APn AP n AP→→→→→→⋅==-，由图可得二面角M CE D --为锐二面角， 所以二面角M CE D --的大小为45︒. （3）设[]()0,1PN PE λλ→→=∈，(),,N x y z ，所以()(),,20,2,2x y z λ-=-，因此()0,2,22N λλ-， 令AN n →→⊥，即0AN n →→⋅=， 解得12λ=，即N 为PE 的中点， 因为//AB 平面MCE ，//AN 平面MCE ，AB AN A =，所以当N 为PE 的中点时，平面//ABN 平面MCE ， 此时即()0,1,1N ，2220112AN →=++=，所以线段AN 的长为2. 5.见解析【解析】分别以三直线DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：E （0，0，1），F （1，1，0），B 1（2，2，2），C （0，2，0），C 1（0，2，2），（1）证明：∵()()1111202EF B C =-=--，，，，，， ∴12020EF BC ⋅=-++=，∴1EF B C ⊥， ∴EF ⊥B 1C ； （2）∵13CG CD =，∴4003G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∴12023C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，， ∴1240233EF C G ⋅=-+=，121033EF C G ==，，∴11143EF C G cos EF C G EF C G⋅===＜，＞．。
