2015届高考数学总复习第八章 第一节空间简单几何体的结构精讲课件 文

第八章立体几何与空间向量表面积和体积、空间中各种关系的证明、空间向量的应用．近几年对本章内容的考查，主要表现在：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的认识；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角；③求距离，常见的是点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离；④直线和平面的各种位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图．预测高考仍以客观题考查对空间图形的认识，以及面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度．在复习立体几何时应当注意以下五个方面：1．直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题或填空题．复习中首先要清楚相关的概念、判定、性质定理，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三．2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻找求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形(如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培养根据题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，掌握平行或垂直的化归方法．3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原则是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练掌握异面直线所成角、线面角、二面角、点面距离的计算方法．4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用．5．能熟练使用向量法研究空间中涉及直线和平面的各种问题．借助空间向量的运算，利用基向量法和坐标法，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质，能合理选取空间向量及合理建立空间直角坐标系，从而灵活运用向量法论证空间中平行与垂直两类关系，能求解空间中的角与距离，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、线面角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题．第八章 立体几何与空间向量第一节 空间简单几何体的结构知识梳理空间简单几何体及其结构一、柱、锥、台、球的结构特征1．柱体．(1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点(如图a)．底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线(如图b)．棱柱与圆柱统称为柱体．2．锥体．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(1)棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱(如图c)．底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……(2)圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面(如图d)．棱锥与圆锥统称为锥体．3．台体．(1)棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点(如图e)．(2)圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴(如图f)．圆台和棱台统称为台体．4．球及其有关概念．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径(如图g)．用一个平面去截一个球，截面是圆面．球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．球的任意截面(不是大圆面)的圆心与球心的连线垂直于截面，若设球的半径为R，截面圆的半径为r，截面圆的圆心与球心的连线长为d，则d2＝R2－r2.5．组合体．由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体(如图h)．二、特殊的棱柱、棱锥、棱台直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．正棱锥：底面是正多边形，棱锥的顶点在底面上的射影是正多边形的中心．各侧面是全等的等腰三角形．正棱台：两底是正多边形，且两底中心连线垂直于底面的棱台叫做正棱台．也可以认为它是由正棱锥截得的棱台．正棱台各侧面是全等的等腰梯形．三、几种常见凸多面体间的关系四、一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质基础自测1．下列命题中正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱台的侧棱延长后必交于一点解析：棱柱、棱锥、棱台的底面是任意多边形．答案：D2．下面多面体中有12条棱的是( )A．四棱柱B．四棱锥C．五棱锥 D．五棱柱解析：四棱柱有4条侧棱，上下底面四边形各有4条边，共12条棱．故选A.答案：A3．在下图的几何体中，有______个是柱体．解析：柱体包括棱柱与圆柱，图中①③⑤⑦都是柱体．故填4.答案：44．由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正五边形，其他面都是全等的矩形，则这个几何体的名称是____________．解析：根据棱柱的定义可知，该几何体是正五棱柱．答案：正五棱柱1．到正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点( )A．有且只有1个B．有2个C．有3个D．有无数个解析：∵到三条两两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体棱长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，故选D.答案：D2．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数是( )A．20 B．15C．12 D．10解析：一个下底面5个点，每个下底面的点对于5个上底面的点，满足条件的对角线有2条，所以共有5×2＝10条．答案：D1．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.答案：132．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．B错误．若△ABC不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．答案：D。

第八章立体几何与空间向量第一节空间简单几何体的结构1．下面多面体是五面体的是( )A．三棱锥 B．三棱柱C．四棱柱 D．五棱锥解析：三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．故选B.答案：B2．设M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，Q＝{正方体}，P＝{直四棱柱}，则以下关系式正确的是( )A．P N M Q B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P解析：直四棱柱的底面是任意凸四边形，长方体的底面是矩形，正四棱柱的底面是正方形，正方体的所有棱长均相等，根据底面的变化可知，选项B正确．故选B.答案：B3．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字1、2、3对面的数字是( )A．4、5、6 B．6、4、5C．5、4、6 D．5、6、4解析：将三个不同摆放位置的正方体结合起来观察，可知1的对面为5,2的对面为4，则3的对面一定是6.故选C.答案：C4．下列命题中正确的是( )A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱答案：D5．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3 C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：由长度关系知A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC ＝12，所以选项C 的数据表明这个几何体可能是三棱台．故选C.答案：C6．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为( ) A ．3 B ．2 C. 3 D. 2解析：圆锥的母线即为圆锥轴截面的等边三角形的边，由面积关系可得圆锥的母线长为2.故选B.答案：B7．给出下列命题：①四棱柱有6个面，n 棱锥有n ＋1个面； ②棱台的侧棱延长后必交于一点；③用一个平面去截棱锥，可能截成两个棱锥；④棱台的上、下底面边长之比等于棱台的高与截得此棱台的棱锥的高的比． 其中正确命题的序号是__________．解析：根据棱柱、棱锥的定义知①正确；由棱台的定义知②正确；如果截棱锥的平面经过棱锥的顶点和底面的一条对角线，则可将棱锥分成两个棱锥，故③正确；根据平面几何知识，棱台的上、下底面边长的比应该等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高之比，故④错．答案：①②③8．(2012·重庆卷)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．解析：将边长为1的正方形沿一条对角线折叠，则a 的长度就是这个折起的正方形的两个顶点之间的距离，显然，在折叠的变化过程中，这两个顶点之间的距离在0到2之间变化．答案：(0，2)9．如图，在圆锥SO 中，其母线长为2，底面半径为12A出发沿圆锥表面爬行一周后又回到A 点，则这只虫子所爬过的最短路程是__________．解析：将圆锥沿母线SA 展开成扇形，由条件易知扇形的圆心角为90°，从而最短路程为2 2.答案：2 210．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是________(填序号)．①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案：①③④11．如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E ，F 分别为AA 1，C 1B 1的中点，试求沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径．解析：若将△A 1B 1C 1沿A 1B 1折起，使得E ，F 在同一平面内，则此时EF ＝ 72＋ 2.若将侧面沿B 1B 展成平面，则此时EF ＝112.若将△A 1B 1C 1沿A 1C 1折起使得E ，F 在同一平面内，则此时EF ＝322.经比较知沿棱柱的表面从点E 到点F 的最短路径为322.12．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．解析：作出圆台的轴截面如图．设O ′A ′＝r .∵一底面周长是另一底面周长的3倍，∴OA ＝3r ，SA ′＝2r ，SA ＝32r ，OO ′＝2r .由轴截面的面积为12(2r ＋6r )·2r ＝392，得r ＝7.故上底面半径为7，下底面半径为21，高为14，母线长为14 2.13．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，求CP＋PA1的最小值．解析：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．由已知及计算可得：BC＝2，A1B＝210，A1C1＝6，CC1＝2，BC1＝2，故可得∠A1C1B＝90°.又∠BC1C＝45°，∴∠A1C1C＝135°.由余弦定理可求得A1C＝5 2.。

第八章第三节空间简单几何体的表面积和体积【例1】（2013•广州一模）某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（）A. 2 B・ 1思路点拨：根据三视图还原出几何体，确定该几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积.解析：由三视图可知,这个几何体是水平放置的直三棱柱，且底面是直角三角形・则U 二SX/1 二X1X2X2 二2.答案：A 丄2点评：这一类题型不直接绐^出几何体的特征元素的长度，如只给出三视图的数据. 旋转体的轴截面图形或侧面展开图的图形. 这需通过题设条件，想象出原几何体的开彳状（或作出原几何体的直观图），进而求解出相关条件，最纟冬使问题获解.1 321 3 t俯视变式探究1-/石r/★砧一塚 丙"n 阪匚二1rmiQ n 的/去的体积为（）——8——侧（左）视图B •学C. 200D. 240解析：由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为X (2 + 8) X 4 = 20 ,戸齐以棱卒的体积为20 X 10 = 200.答案：C n:上根据多面体的直观图求该几何体的表面积、体积【例2】（2013•上海卷）如图，在长方体ABCD4QCQ］中，AB = 2, AD=1, 4川=1,证明直线EC】平行于平面D.AC,并求直线Bq到平面D.AC的距离.自主解答:故眈1〃40 ,显然BC]不在平面9AC 上z 于是直线Bq 平行于平面Q/C ；直线到平面QAC 的距离即为点B 到平面"AC 的距离，设为仕解析：因为ABCD - A/CU 为长方体,SC4B 〃C]0 z AB = C }D },故4BC]0为平行,考虑三棱锥Tz - ABC的体积•以人RC为底面，可得V门厂讪・= y X (yXlX2)Xl = y.而AAI^C 中小：=T>C= /F?.AD:=区故S_»： = ?i L1 3 1 2所以h=十二>h =亍'即直线R「］到平面珂八「的距离为寻.o点评：在求多面体的表面积和体积时，要根据宣观图正确找出面积公式和体积公式中所需条件，代入公式求解.变式探究2・如下图，在长方体ABCD4/1CQ］中，AB=AD = 3 cm, A4i = 2cm, 则四棱锥的体积为______________________________ c m3.5C解析：•・•长方体底面是正方形，・••在△ABQ 中，BD=3y]2 cm,边上的高是cm（它也是四棱锥ABB X D X D中平面BB X D X D上的高）. ・•・四棱锥ABBQQ的体积为|x3^/2X2X^=6cm3.答案：6根据旋转体的三视图求该几何体的表（侧）面积、体积【例3】一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）5371Ary 55K 76K D・〒俯视图解析：由三视图知，空间几何体的上部是一个圆柱, 下部是一个圆台.由体积公式得该几何体的体积为1 7兀55兀V=7C X 2? X 4+尹X (2，+ 1?+2X 1)= 1671+了二一^-.答案：B点评：先根据三视图确定旋转体的类型，再根据不同类型选择相关公式求解.变式探究3. （2013•珠海一模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为__________________ .俯视图解析：因为几何体的正视图、狈!]视图是周长为4—个内角为60。