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专题07 二次根式化简求值(解析版)

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专题07 二次根式化简求值

【考点归纳】

1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

3、二次根式的化简求值的常见题型及方法

常见题型：与分式的化简求值相结合．

解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

【好题必练】

一、选择题

1．（2020秋•天心区期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（ ）

A．9 B．9 C．5 D．5

【答案】D．

【解析】解：∵x＝+2，

∴x﹣2＝，

∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，

∴x2＝4x+1，

∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，

当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．

故选：D．

2．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）

A．4 B．14 C． D．14+4

【答案】B．

【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，

∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1， 2 / 7

∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，

故选：B．

3．（2020秋•乐亭县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（ ）

A．20 B．16 C．2 D．4

【答案】A．

【解析】解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，

故选：A．

4．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则 ）

A．a＞1 B． C． D．

【答案】B．

【解析】解：+

＝+

＝

＝，

当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，

∵＜＜1，

∴＜a＜1，

故选：B．

5．（2020秋•渝中区校级月考）已知m＝+，n＝﹣，则代数式的值为（ ）

A．5 B． C．3 D．

【答案】B．

【解析】解：∵m＝+，n＝﹣，

∴m+n＝2，mn＝5﹣2＝3，

∴原式＝

＝ 3 / 7

＝．

故选：B．

6．（2020秋•大洼区月考）当m＝3时，m+的值等于（ ）

A．6 B．5 C．3 D．1

【答案】B．

【解析】解：原式＝m+

＝m+|m﹣1|，

当m＝3时，原式＝3+|3﹣1|＝3+2＝5．

故选：B．

二、填空题

7．（2020春•高密市期中）若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为

．

【答案】6

【解析】解：∵a＝+1，

∴原式＝（a﹣1）2

＝（+1﹣1）2

＝6．

故答案为：6．

8．（2020春•明水县校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：

（1）x2+2xy+y2＝ ；

（2）x2﹣y2＝ ．

【答案】（1）12

（2）4．

【解析】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，

∴x+y＝2，

∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝12，

故答案为：12；

（2）∵x＝+1，y＝﹣1，

∴x+y＝2，x﹣y＝2， 4 / 7

∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4，

故答案为：4．

9．已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为

．

【答案】5

【解析】解：∵a＝1+，b＝，

∴a2+b2﹣2a+1

＝（a2﹣2a+1）+b2

＝（a﹣1）2+b2

＝（1+﹣1）2+（）2

＝2+3

＝5，

故答案为：5．

10．（2020春•武昌区期中）若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为 ．

【答案】1

【解析】解：∵a＝2+，b＝2﹣，

∴ab＝（2+）×（2﹣）

＝4﹣3

＝1．

故答案为：1．

11．（2019秋•高安市校级期末）若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2020的值为 ．

【答案】2019

【解析】解：∵x＝﹣1，

∴x+1＝，

∴（x+1）2＝2，即x2＝﹣2x+1，

∴x3＝﹣2x2+x

＝﹣2（﹣2x+1）+x

＝5x﹣2，

∴x3+x2﹣3x+2020 5 / 7

＝5x﹣2﹣2x+1﹣3x+2020

＝2019．

故答案为2019．

三、解答题

12．（2020春•常熟市期中）已知x＝﹣2，y＝+2，求代数式x2+y2+xy﹣2x﹣2y的值．

【答案】解：∵x＝﹣2，y＝+2，

∴x+y＝2，xy＝﹣1，

∴x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝

（x+y）2﹣xy﹣2（x+y）＝（2）2﹣（﹣1）﹣2×2

＝12+1﹣4

＝13﹣4．

【解析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y），然后利用整体代入的方法计算．

13．（1）计算：（）2﹣3；

（2）如果a＝﹣，求﹣的值．

【答案】解：（1）原式＝3﹣3×3

＝3﹣9

＝﹣6；

（2）∵a＝﹣，

∴a+1＝﹣+1＜0，a﹣1＝﹣﹣1＜0，

则原式＝|a+1|﹣|a﹣1|

＝﹣a﹣1+a﹣1

＝﹣2．

【解析】（1）根据（）2＝a，＝|a|求解可得；

（2）先由a＝﹣判断出a+1和a﹣1的符号，再根据＝|a|化简可得．

14．（2020春•大悟县期中）先化简再求值：已知a＝，b＝，求．

【答案】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2， 6 / 7

∴a+b＝2，ab＝1，

∴＝＝＝＝4．

【解析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体的方法计算．

15．（2020春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知a＝2﹣，b＝2，求的值．

【答案】解：

＝

＝，

当a＝2﹣，b＝2时，

原式＝＝＝﹣．

【解析】先化简分式，然后将a＝2﹣，b＝2代入求值．

16．（2020春•江汉区期中）已知x＝，y＝，m＝﹣，n＝+

（1）求m，n的值；

（2）若﹣＝n+2，＝m，求+的值．

【答案】解：（1）∵x＝，y＝，

∴x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，

∴m＝﹣＝＝﹣＝﹣＝2；

n＝+＝＝＝＝4；

（2）∵﹣＝6，＝2，

∴（﹣）2＝36，

∴（+）2﹣4＝36，

∴（+）2＝36+4×2＝44，

∴+＝2． 7 / 7

【解析】（1）先利用x与y的值计算出x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，再把m、n变形为m＝﹣＝﹣；n＝+＝；然后利用整体代入的方法计算m、n的值；

（2）由于﹣＝6，＝2，利用完全平方公式得到（+）2﹣4＝36，最后利用算术平方根的定义得到+的值．

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人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)

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【例1】 化简

（1）1()abbabbabababbab

（2）1014152110141521

（3）64332(63)(32)

（4）3151026332185231

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例2】 比6(65)大的最小整数是多少？

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,xy

想一想：设1983,x求432326218237515xxxxxxx的值.

形如：AB的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例3】 设实数x，y满足22(1)(1)1xxyy，求x＋y的值.

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例4】 （1）代数式224(12)9xx的最小值.

（2）求代数式22841413xxxx的最小值.

解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，22ab的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设2222(4)5(2)3yxx，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例5】 设2121(12)maaaaa，求1098747mmmmm的值.

部编数学八年级下册专题07复合二次根式的化简(解析版)含答案

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专题07 复合二次根式的化简

【例题讲解】

阅读材料：若想化简

2mn±，只要我们找到两个正数ab，

，使abmabn+==，，即

22

()()abmabn+=×=，

，那么便有：2

2()()mnababab±=±=±>．

例：化简

743+．

解：首先把

743+

化为

7212+，这里712mn==，

，由于4374312+=´=，．

即22

(4)(3)74312+=´=，

．2

7437212(43)23\+=+=+=+．

请你仿照阅读材料的方法解决下列问题：

(1)

填空：

423-=___________

，

526-=___________；

(2)

化简：

19415-；写出计算过程

(3)

化简：

32252672122121nnnn-+-+-+¼++-+．为正整数

【详解】（1）这里4m=

，3n=

134+=Q，133´= 即：2

2

314+=，

313´=

2

4233131\-=-=-

2

4233131\-=-=-（）

这里5m=

，6n= 235+=Q

，236´= 即：2

2

325+=，

236´=

2

5263232\-=-=- 故答案为：

31-；

32-

（2）

1941519260-=-Q \

这里19m=

，60n=

15419+=Q

，15460´= 即：22

15419+=，

15460´=

2

19260154\-=-

19415154152\-=-=-

（3）

32221-=-Q

52632-=-

72124323-=-=-

．．．．．．，



21211nnnnn+-+=+-

\

原式

21323=-+--+．．．

111nnn++-=+-

【综合解答】1．观察下列各式及其化简过程：

222

3222221222112121+=++=+´+=+=+（）（）（），

222

5263262323223232-=-+=-´+=-=-（）（）（）．

(1)

按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将

31106-化简；

(2)

化简

358743-+；

(3)

针对上述各式反映的规律，请你写出

八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案

八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案

二次根式的化简求值之五兆芳芳创作

练习题 温故而知新：

分母有理化

分母有理化是二次根式化简的一种经常使用办法,通过份子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.

例 1 计较：（1）；

（2）；

（3）.

解析：（1）式进行复杂分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计较；（2）利用平方差公式计较；（3）先将份子、分母在实数规模内因式分化，然后再约分.

答案：解：（1）原式==

=12-+6-18=.

（2）原式==

=.

（3）原式==.

小结：（1）二次根式的混杂运算经经常使用到幂的运算法例和乘法公式，有时题目中条件不明显，要善于变形，使之合适乘法公式，幂的运算法例特点，从而简化计较.

（2）二次根式的计较和化简灵活运用因式分化能使计较简洁.

举一反三：

，，则xy的值是( )

A. B.

C. m + n D. m - n

解析：xy===.

?? ???? ?? ????????,像这样,通过份子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.

(1)4+的有理化因式是___________. 解析：因为（4+）（4-）=42-（）2=9，所以4+的有理化因式是4-.

答案：4-；

(2)计较:.

解析：，，.

答案：解：原式=2-+-=2.

(3)计较:.

解析：，将各个分式辨别分母有理化后再进行计较.

答案：解：原式=（）（）

=（）（）=（）2-12=2012-1=2011.

(4)已知a=,b=,求的值.

解析：a=，同理b=；

a + b=+=10，a b=（）（）=1，然后将所要求值的式子用a + b和a b暗示，再整体代入求值便可.

答案：解：因为a=，b=，

所以a + b=+=10，a b=（）（）=1.

所以===.

二次根式的化简练习题(带答案)

二次根式的化简练习题(带答案)

1二次根式的化简 题集

一、二次根式的性质

1.若、为实数，且满足，则的值为 ．

【答案】

【解析】∵，

∴，，

∴．

【标注】【知识点】非负性的应用

2.，那么 ．

【答案】

【解析】∵原式，

∴，，，∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

3.若，则的值为 ．

【答案】

【解析】，

，

，

，

，

．

故答案为：．

2【标注】【知识点】二次根式的性质

4.已知，则 ．

【答案】

【解析】，

由二次根式的非负性可知，

，

∴，

，

∴．

【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值

5.已知，求值．

【答案】．

【解析】∵；．

∴；．

∴．

∴原式

．

【标注】【知识点】二次根式的性质

6.代数式的最大值为 ，此时与的关系是 ．

【答案】 ;

【解析】∵，

∴．

当时，

取得最大值．

3【标注】【知识点】算术平方根的双重非负性

7.已知，则的值为 ．

【答案】

【解析】，

．

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：．

【标注】【知识点】二次根式的性质

8.已知实数，满足：，则 ．

【答案】

【解析】∵，

∴，

∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

9.已知实数满足，求的值．

【答案】

【解析】由，

可得，

∵，

4∴，

∴，

∴，

∴，

可得:，

解得：．

【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值

二、二次根式的化简

A.B.C.D.1.若，则满足的条件是（ ）．

【答案】D

【解析】∵，

∴，

∴．

【标注】【知识点】二次根式的性质

2.若时，试化简．

【答案】．

【解析】∵；；．

∴原式．

【标注】【知识点】二次根式的性质

A.B.C.D.3.已知，化简二次根式的正确结果是（ ）．

【答案】A

5【解析】根据题意，，

得和同号，

又∵中，

∴，

∴，，

则原式．

故选：．

【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内

4.已知是整数，则正整数的最小值为 ．

【答案】

【解析】∵，若是整数，

则也是整数；

∴的最小正整数值是．

故答案为：．

【标注】【知识点】已知二次根式的值为整数确定字母的取值范围

5.已知是整数，则满足条件的最小正整数是 ．

【答案】

【解析】，

∵是正整数，

∴的最小值应为，

此时．