专题课堂(一) 二次根式的化简求值技巧

1 第1讲 二次根式的化简与求值

二、方法剖析与提炼

例1.若a满足4)1()1(22aa，求a的值.

【解答】

∴原等式可化为a-1+a-1=4

∴a=3.即a的值为3.

【解析】(1)正确理解二次根式的性质aa2以及绝对值的性质如：a，当a≥0时，aa，当a＜0时，aa）

（2）由二次根式1a可知，被开方数a-1≥0，即a≥1.由定义可知

11)1(2aaa.

(3)满足a的等式最终转化为a-1+a-1=4，即问题转化为解一元一次方程.

【解法】去根号法，去绝对值法，解一元一次方程法.

【解释】 (1)根据所给等式中的二次根式，挖掘式子中的隐含条件1a，得到a-1≥0.

（2）由（1）得到的结论，为化简11)1(2aaa作铺垫，可见，发现这个隐含条件非常关键，也是解题的突破口.

（3）等式左边两个带有根号的式子，形似质异，需要加以区别，并灵活运用.

例2.（2016扬州）（1）计算：2)31(﹣+6cos30°

【解答】

【解析】化负指数为正指数，要注意转化后倒数.对需要进一步化简，而cos30°的值需要平时记得.

【解法】转化法，合并同类项法.

【解释】这类题的运算在中考题中非常常见，综合性比较强，只要抓住本质，并尝试从条件中找到隐含的条件，确定a的范围.

尝试将每一项进行化简，然后加减运算. 2 细心计算，就能顺利完成.

例3.化简347347

【解答】原式=22)32()32(=3232=3232=4.

【解析】（1）直接化简，困难重重.观察根号里面的开方数347347与.

（2）将这两个被开方数转化为完全平方式，由aa2，可以将去掉，达到化简的目的，可得：

222)32()3(322233224347，同理2)32(347.

二次根式，化简技巧

在数学的世界里，二次根式的化简是一项非常重要的技能。它不仅在基础数学运算中经常出现，也是解决更复杂数学问题的基石。掌握好二次根式的化简技巧，能够让我们的数学运算更加高效、准确。

首先，我们要明白什么是二次根式。形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq0\））的式子就叫做二次根式。其中，“＼（＼sqrt{｝＼）”称为二次根号，＼（a\）称为被开方数。

那么，为什么要化简二次根式呢？化简二次根式可以使表达式更加简洁、清晰，便于计算和比较大小。同时，在解决一些数学问题时，化简后的二次根式往往能让我们更容易地发现其中的规律和特点。

接下来，让我们一起探索二次根式化简的一些常见技巧。

技巧一：利用乘法公式

我们都知道平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\），在二次根式的化简中，这个公式有时能发挥很大的作用。

例如，化简\（＼sqrt{9 4\sqrt{2}｝＼）。我们可以将其变形为\（＼sqrt{9 2\sqrt{8}｝＼），然后将\（9\）看作\（（＼sqrt{8}）＾2 ＋

1^2\），则原式可化为\（＼sqrt{（＼sqrt{8} 1)＾2}＼），最后化简得到\（＼sqrt{8} 1 ＝ 2\sqrt{2} 1\）。 还有完全平方公式\（（a ＼pm b)＾2 ＝ a^2 ＼pm 2ab ＋ b^2\），也经常能用到。比如化简\（＼sqrt{2 ＋ ＼sqrt{3}｝＼），可以将其变形为\（＼sqrt{＼frac{4 ＋ 2\sqrt{3}｝｛2}｝＼），再把\（4\）看作\（（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2\），则式子变成\（＼sqrt{＼frac{（＼sqrt{3}

＋ 1)＾2}｛2}｝＼），化简结果为\（＼frac{＼sqrt{3} ＋ 1}｛＼sqrt{2}｝

＝ ＼frac{＼sqrt{6} ＋ ＼sqrt{2}｝｛2}＼）。

北京市朝阳外国语学校教案 初中数学教研组 2011级

第1页 共7页 课题 二次根式化简的方法与技巧

课型 新授课 授课班级

课时 1课时 授课时间 授课人 郝永军

学情分析

教学目标

教学重点

教学难点

教学方法

板书设计

教学内容

一、 巧用公式法

例1计算bababababa2

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与b成立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0，0ba而同时公式：ba2=a2-2ab+b2，a2-2b=baba，可以帮助我们将baba2和ba变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式=baba2+bababa=ba+ba=2a-2b

二、适当配方法。

例2．计算：32163223

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32其分子必有含1+32的因式，于是可以发现3+22=221，且21363，通过因式分解，分子所含的1+32的因式就出来了。

解：原式=32163223=3212132121+2

三、正确设元化简法。

例3：化简53262

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简 北京市朝阳外国语学校教案 初中数学教研组 2011级

第2页 共7页 单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a2，c5，,3b6ab，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222cba所以0222cba，于是在分子上可加0222cba，因此可能能使分子也有望化为含有cba因式的积，这样便于约分化简。

解：设,2a,3bc5则262ab且0222cba所以：

专题16.1二次根式的化简求值

整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的

联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未

知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

一、二次根式的定义形如（≥

0）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.

二、二次根式有意义的条件

1.二次根式中的被开方数是非负数；

2.二次根式具有非负性：≥0.

三、判断二次根式有意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是

非负数；

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

四、二次根式的性质

性质1

：2

=（≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；

性质

2：2=

=（≥0）

−（

<0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

五、同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．

①同类二次根式类似于整式中的同类项；

②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；

③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合

并方法为系数相加减，根式不变．

七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：

∙=

∙𝐨≥0,≥0)；

②积的算术平方根：∙=

∙𝐨≥0,≥0)；

③二次根式的除法法则：=

(≥0,>0)；

④商的算术平方根：

=

(≥0,>0).八、最简二次根式

我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，

叫做最简二次根式．

九、分母有理化

1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母