小专题训练(一) 二次根式的化简求值技巧

人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）

【例1】 化简

（1）1()abbabbabababbab

（2）1014152110141521

（3）64332(63)(32)

（4）3151026332185231

解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.

思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.

【例2】 比6(65)大的最小整数是多少？

解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,xy

想一想：设1983,x求432326218237515xxxxxxx的值.

形如：AB的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.

【例3】 设实数x，y满足22(1)(1)1xxyy，求x＋y的值.

解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.

【例4】 （1）代数式224(12)9xx的最小值.

（2）求代数式22841413xxxx的最小值.

解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，22ab的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），

设2222(4)5(2)3yxx，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.

方法精髓：

解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.

【例5】 设2121(12)maaaaa，求1098747mmmmm的值.

【专题训练】二次根式化简求值的六种技巧

► 技巧一 利用二次根式的性质a2＝|a|化简

对于a2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a的符号进行化简．即a2＝|a|＝a（a＞0），0（a＝0），－a（a＜0）.

1．已知a＝2－3，则a2－2a＋1的值为( )

A．1－3B.3－1C．3－3D.3－3

2．当a＜12且a≠0时，化简：4a2－4a＋12a2－a＝________．

3．当a＜－8时，化简：|（a＋4）2－4|＝________．

4．已知三角形两边的长分别为3和5，第三边长为c，化简：c2－4c＋4－14c2－4c＋16.

►

技巧二 逆用二次根式乘除法法则化简

5．当ab＜0时，化简a2b的结果是( )

A．－abB．a－bC．－a－bD．ab

6．化简：(1)（－5）2×（－3）2＝________；

(2)（－16）×（－49）＝________；

(3)2.25a2b＝________；

(4)－25－9＝________；(5)9a34＝________．

► 技巧三 利用隐含条件求值

7．已知实数a满足（2018－a）2＋a－2019＝a，则a－12018＝________． 8．已知x＋y＝－10，xy＝8，求xy＋yx的值．

► 技巧四 巧用乘法公式计算

9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)；

(3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2018(15－4)2019.

► 技巧五 巧用整体思想进行计算

10．已知x＝5－26，则x2－10x＋1的值为( )

A．－306B．－186－2C．0D．106

11．已知x＝12(11＋7)，y＝12(11－7)，则x2－xy＋y2＝________．

12．已知a＝2＋3，b＝2－3，则(a＋2)2(b＋2)2＝________．

专题2.25

二次根式的化简求值50

题（分层练习）（提升练）

1．已知

35x，

35y，求下列各式的值：

(1)22xy

．(2)22252xxyy．

2．（1

）先化简，再求值：

655xxxx

，其中

62x．

（2）已知

35x，

35y，试求代数式22252xxyy的值．

3．（1）

12624；（2）1

2432102

5；

（3

）已知

23x

，求代数式

2743233xx

的值．

4．（1）已知

32x，32y，求22xxyy的值；（2

）若222797aa

，求22279aa

的值．

5．已知1

21x

，1

21y

，求代数式223xxyy

的值．

6．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知1

23a

，求2281aa的值．他们是这样解答的：

∵

123

23

23

2323



，

∴

23a，

∴2

23a，即

2443aa，

∴241aa，

∴

222812412111aaaa．

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

(1)1

23a

，则2281aa．(2)若1

52a

，求43443aaa的值．

7．已知1

52a

，1

52b

，求222ab的值．8

．先化简，再求值：



221xxxx

，其中

232x．

9．已知

32a，

32.b求：

(1)

22abab的值；(2)

22aabb的值．

10．先化简，再求值：



2323323aaaa

，其中23a

．

11．先化简下式，再求值：

2237752xxxx，其中

21x

．

12

．先化简，再求值：22

311

95

3xy

xxyxx

yxx







，其中1

2x

，3y

．13．先化简，再求值：31

()()a

二次根式的化简求值

【知识梳理】二次根式化简求值就是运用整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。

【例题精讲】

【例1】设55x，55y，求66yx的值。

【巩固】

1、设12121212yx，，求22yxyx的值。

2、已知321321yx，，求221111yx的值。

【拓展】已知32x，求432565xxxx的值。

【例2】已知21xx，那么191322xxxxxx的值等于______________。

【巩固】

1、若aax1，则24xx的值为（ ）

A.aa1 B.aa1 C.aa1 D.不能确定 2、已知51xx，求1122xxxxxx的值。

【例3】已知ba、是实数，且11122bbaa，问ba、之间有怎样的关系？请推导。

【巩固】已知20082008200822yyxx，求58664322yxyxyx的值。

【例4】已知ba、均为正数，且2ba，求1422baU的最小值

【巩固】求代数式912422xx的最小值。