专升本(高等数学一)模拟试卷116(题后含答案及解析)
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专升本（高等数学一）模拟试卷116 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题
1． = 【 】
A．1
B．0
C．2
D．
正确答案：C
解析：本题考查了利用=1求极限的知识点．
2． 设函数y=x2+1，则= 【 】
A．x3
B．x2
C．2x
D．
正确答案：C
解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．y=x2+1，=2x．
3． 函数y=ex+e—x的单调增加区间是 【 】
A．(—∞，+∞)
B．(—∞，0]
C．(—1，1)
D．[0，+∞)
正确答案：D
解析：本题考查了函数的单调区间的知识点．y==ex+e—x，则y′=ex—e—x，当x＞0时，y′＞0，所以y在区间[0，+∞)上单调递增．
4． 设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1—x2)dx= 【 】
A．—2(1—x2)2+C
B．2(1—x2)2+C
C．(1—x2)2+C
D．(1—x2)2+C
正确答案：C
解析：本题考查了换元积分法的知识点．∫xf(1—x2)dx=∫f(1—x2)d(1—x2)= —(1—x2)2+
C．
5． 过点(0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y—3z=2的直线方程为 【
】
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查了直线方程的知识点．两平面的交线方向
S=={—2，3，1}，即为所求直线的方向，所以所求直线方程为．
6． 设z=ln(x3+y3)，则dz｜(1，1)= 【 】
A．dx+dy
B．(dx+dy)
C．(dx+dy)
D．2(dx+dy)
正确答案：C
解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点．
7． 比较I1=(x+y)2dσ与I2=(x+y)3dσ的大小，其中D：(x—2)2+(y—1)2≤1，则 【 】
A．I1=I2
B．I1＞I2
C．I1＜发散，则 【
】
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：本题考查了级数收敛的必要性的知识点。若，故A正确．由发散可见B不成立，C不成立．由发散知D不成立．
9． 微分方程y′=的通解为 【
】
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：本题考查了一阶微分方程的通知识点．设，代入有=tanu，所以，ln｜sinu｜=ln｜x｜+lnC，sinu=Cx，原方程的通解为 =Cx．
10． 设方程y″—2y′—3y=f(x)有特解y*，则它的通解为 【 】
A．y=C1e—x+C2e3x+y*
B．y=C1e—x+C2e3x
C．y=C1xe—x+C2e3x+y*
D．y=C1ex+C2e—3x+y*
正确答案：A
解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点．考虑对应的齐次方程y″—2y′—3y=0的通解．特征方程为r2—2r—3=0，所以r1= —1，r2=3，所以y″—2y′—3y=0的通解为=C1e—x+C2e3x，所以原方程的通解为y=C1e—x+C2e3x+y*．
填空题
11． 极限=________．
正确答案：e—2
解析：本题考查了函数的极限的知识点．
12． =________．
正确答案：x
解析：本题考查了利用=1求极限的知识点．
13． 若y=，则y′=________．
正确答案：
解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．
14． 由∫f(x)dx=arctan+C，求f(x)的导数等于________．
正确答案：
解析：本题考查了一元函数的导数的知识点．
15． 函数f(x)=在[0，3]上满足罗尔定理，则ξ=________．
正确答案：2
解析：本题考查了罗尔定理的知识点．由f(x)=，再f(0)=f(3)=0．又
因f′(x)=，故f′(ξ)=0，所以ξ=2．
16． ∫01x2dx=________．
正确答案：
解析：本题考查了定积分的知识点．∫01x2dx=．
17． ∫sec25xdx=________．
正确答案：
解析：本题考查了不定积分的知识点．∫sec25xdx=．
18． 已知z=(1+xy)y，则=________．
正确答案：1+2ln2
解析：本题考察了二元函数在一点处的一阶偏导数的知识点．由z=(1+xy)y，两边取对数得lnz=yln(1+xy)，注：将x=1代入z=(1+xy)y，得z｜(1，y)=eyln(1+y)
19． 若将I=∫1edx∫0lnxf(x，y)dy改变积分顺序，则I=________．
正确答案：∫01dy∫eyef(x，y)dx
解析：本题考查了改变积分顺序的知识点．因积分区域D={(x，y)｜ 1≤x
≤e，0≤y≤lnx}={(x，y)｜ 0≤y≤1，ey≤x≤e)，所以 I=∫01dy∫eyef(x，y)dx．注：画出草图就能清楚地看出积分区域的特征．
20． 方程y′—ex—y=0的通解为________．
正确答案：ey=ex+C
解析：本题考查了可分离变量微分方程的通解的知识点．y′—ex—y=0，可改写为eydy=exdx，两边积分得ey=ex+
C．
解答题
21． 设f(x)=，求f(x)的间断点．
正确答案：由题意知，使f(x)不成立的x值，均为f(x)的间断点．故sin(x—3)=0或x—3=0时f(x)无意义，则间断点为x—3=kπ(k=0，±1，±2，…)．即x=3+kπ(k=0，±1，±2…)．
22． 设=a，且f′(0)存在，求f′(0)．
正确答案：注：导数的定义是f′
(x0)=，只要符合这个结构特征，其极限若存在就是f′(x0)．
23． 给定曲线y=x3与直线y=px—q(其中p＞0)，求p与q为何关系时，直线y=px—q是y=x3的切线．
正确答案：由题意知，在切点处有 x3=px—q，两边对x求导得3x2=p，所以 x3=3x3—q，即x=因此
24． 求．
正确答案：
25． 求幂级数的收敛半径和收敛区间．
正确答案：令x2=t，先考虑，∴幂级数的收敛半径R=2，∴当t＜2即x2＜2，即时原级数收敛，当
发散，当发散，∴原级数的收敛区间为．
26． 计算，其中D是由y=x，y=2x x=2与x=4围成．
正确答案：积分区域D如下图所示．被积函数f(x，y)=，化为二次积分时对哪个变量皆易于积分；但是区域D易于用X—型不等式表示，因此选择先对y积分，后对x积分的二次积分次序．
27． 求由曲线y2=(x—1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积．
正确答案：Vx=∫12π(x—1)3dx=注：本题关键是确定积分区间，曲线为y2=(x—1)3．由y2≥0知x—1≥0即x≥1，又与直线x=2所围成的图形，所以积分区间为[1，2]．
28． 已知∫0x(x—t)f(t)dt=1—cosx，证明：=1．
正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1—cosx，于是有∫0xx.f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1—cosx，即x.∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1—cosx，两边求导得 ∫0xf(t)dt+xf(x)—xf(x)=sinx，从而有 ∫0xf(t)dt=sinx，故=1．
