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储油罐的变位识别与罐容表标定

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储油罐的变位识别与罐容表标定摘要通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

本文针对题目要求，用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

通过了几何学、积分学、数值积分，最小二乘法等，对以下问题进行建立模型：（1）罐体无变位时的罐容表标定。

（2）纵向变位倾斜角α= 4.10时的罐容表标定。

（3）两侧球冠内油料体积的计算。

（4）中间圆筒部分体积的计算。

（5）参数估计模型。

关键词：卧式储油罐体积标定最小二乘法单目标优化，1.问题重述1.1 背景通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

1.2 问题（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

2．问题分析题目采用油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

由于变位等原因产生了理论值和标定值的相应误差。

题中要求分析这些误差并予以修订。

在第一问中，需要对倾斜角α= 4.10的罐容表进行重新标定。

因此，解决该问题的关键是：充分利用各种几何关系求出储油量和油位高度的函数关系，并合理解决积分形式较复杂时函数数值解的计算问题。

在第二问中，同样需要先计算出储油量和油位高度的函数关系式，由于问题中变位参数未知，故解决此问题的关键是：寻找一种方法，利用求得的罐内储油量与油位高度及变位参数的关系式来确定α和β具体的数值，从而确定罐容表，并利用统计学相关知识检验模型的正确性并进行误差分析。

3.条件假设1）变位纵向倾斜时只在出油管一侧向上倾斜。

2）不计储油罐壁厚对油量统计的影响及温度对油体积的影响。

3）进/出油时无油量损失。

4）忽略油罐发生纵向位移以及横向位移时引起的油罐结构的变化。

4．符号说明a = 0.89 小椭圆型油罐横截面长半轴b = 0.6 小椭圆型油罐横截面短半轴h 油浮子测得的油高α纵向倾斜角β 横向倾斜角S (h ) 油高为h 时小椭圆油罐截面面积V (h ) 小椭圆型油罐油高为h 时罐内理论剩余油量 V 1 (h ) 小椭圆型油罐油高为h 时罐内实际剩余油量V m 小椭圆型油罐装满油时的油量V head (h) 油高为h 时实际储油罐球冠的理论储油量 V body (h) 油高为h 时实际储油罐中间筒体的理论储油量R 球冠的球径h r 球冠水平截面圆的半径r 球冠竖直截面圆的半径V 0 实际储油罐出油时的初始油量5．模型建立与求解5.1 小椭圆型储油罐的罐容表标定此部分针对小椭圆型储油罐，分别对罐体无变化和倾斜角为α 的纵向变位两种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析模型建立的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。

5.1.1 罐体无变位时的罐容表标定(1) 模型的建立：小椭圆型油罐横截面如图1 所示，以椭圆下顶点为原点建立坐标系，可得椭圆方程 1)6.0(222=-+by a x ，其中a=0.89,b=0.6。

图1 由椭圆方程可导出by y ba x 22+-⨯=，在y 轴上积分得油高为h 时椭圆油罐截面面积dy by y b a h S h )22()(20+-⨯⨯=⎰。

无变位时，油罐内剩余油量可视为一个高度为2.45m 的柱体，故油高为h 时对应的剩余油料体积 dy by y ba L h V h )2(2)(20+-⨯⨯⨯=⎰ 积分得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=4)arcsin(21)(122)(2πb b h b b h b bh abL h V （2）模型求解与验证：为验证模型的正确性，现将计算结果与实验数据进行对比。

取表中所给一系列h 值，求出对应的剩余油量，即为计算值；同时，将表中列出的剩余油量数据进行曲线拟合得到如下函数：V 1(x)=-7.274×10-10×x 4-4.706×x 3+0.002535×x 2+2.321×x-388.1+262画出V (h )与1 V (h )的曲线图如下：020406080100120050010001500200025003000350040004500储油理论值与实际值图2 无变位储油量理论值与实际值对比图由图2 看出，理论计算值与实际值有存在一定的偏差，并且随h 的增高，理论计算值与实际测量值的差值越来越大。

仔细分析其原因：由于注油管、出油管及油浮子均占有一定体积，随h 的增高，注油管、出油管及油浮子浸入液面下的体积也在逐渐增加，导致实际值比理论值偏大，且差值会随h 的增加而增加。

5.1.2 纵向变位倾斜角α = 4.10时的罐容表标定(1) 模型的建立：有变位时，变位角 =4.1°时，油罐储油量与浮标所测定的高度的关系有五种情况，下面分情况讨论 h 11)如下图5.1.1.2，由于有纵向倾角，但浮标显示是0 时，油罐内实际并不为零。

经过计算可得：当h1=0时,V1≤1.6743L;图32)如下图5.1.1.3，表示油罐内的油量的平面低于所示虚线，此时油罐的正面示意图是三角形。

图4则有当0<h1≤2.05tanαm,即0<h1 ≤146.9458mm时：3）如下图，油罐内油量的液面低于所示虚线，此时油没有完全覆盖油罐的任意一个底面：图54）如下图，油罐内油完全覆盖油罐的一个底面。

图6ei5)如下图，浮标测得的油位高度显示油罐为满，然而实际上并没有满。

图7此时经计算得到：当h =1.2m时，4012.747≤ V1≤ 4110.146L（2）模型求解与验证：油罐变位后对罐容表的影响可以通过比较无变位和有变位的数学模型得出。

利用MATLAB在一定区间内对两个模型作图于同一个坐标系中。

图形如下图。

20406080100120050010001500200025003000350040004500变为前和变位后图图8由图可看出在一定区间内，变位后相同油位高度的情况下实际储油量要比无变位的储油罐在相同油位高度下的储油量要少，且差值保持在一定值左右波动。

这一点也可以从题目附录中的数据得到验证。

在高度相同的情况下，无变位与变位的油罐模型油量差值保持在200L 左右。

另外，罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值可以由模型得到，结果如下： 罐体变位后罐容表标定值为计算储油罐实际变位量α 、β，首先建立模型，求得油浮子显示高度h 与储油量V (α,β )的关系，然后通过所给数据估计α 、β 的具体数值，最后根据实际数据验证模型的准确性。

5.2.1 两侧球冠内油料体积的计算 模型的建立与求解：下面，首先计算油位高度显示h 时两端凸头内的油料体积：如图10 所示，在A 点与B 点分别作水平圆面，则由几何知识易知V head1的“余”部分可以近似补到V head2的“缺”部分，则求球头内油体积的问题转化为了求如下图所示的水平面下的球头体积问题。

图125.2.2中间圆筒部分体积的计算模型的建立与求解：由椭圆部分面积公式可推出，半径为R 高为t 的弓形面积：为计算方便，同样将油罐经旋转后放入坐标系进行分析，如下图所示：图135.2.3参数估计模型（1）模型的建立：（2）模型求解：枚举算法的C++程序见附录。

5.2.4误差分析及模型检验6．模型分析模型优点：（1）充分利用了附表中的数据，通过对图表中数据的分析，合理地筛选了有效数据，提高了模型建立的准确性。

（2）使用最小二乘法进行优化，确定参数值，得到结果误差很小，十分可靠。

（3）该模型具有普适性，适于推广到运输，化工，储藏等行业。

模型缺点：建模方法较单一，对于同一问题没有建立多个模型，无法进行多种方法的分析比较。

附录储油理论值与实际值图 MATLAB程序如下：clearsyms a b ha=0.89*100;b=0.6*100;L=2.45*100;A=xlsread('Book6.xls');f1=A(:,2)*10^(-1);V=(a*L/b).*((h-b).*((2.*h.*b-h.^2).^0.5)+b.^2.*asin((h-b)./b)+0.5.*b.^2*pi); V1=subs(V,h,f1)/1000;V0=A(:,1)+262;plot(f1,V1,'r--',f1,V0,'*')legend('储油理论值','储油实际值')title('储油理论值与实际值')grid on变位前和变位后图 MATLAB程序如下：clear all,clcsyms a b ha=0.89*100;b=0.6*100;L=2.45*100;A=xlsread('Book6.xls');B=xlsread('Book7.xls');f1=A(:,2)*10^(-1);f2=B(:,1)*10^(-1);V=(a*L/b).*((h-b).*((2.*h.*b-h.^2).^0.5)+b.^2.*asin((h-b)./b)+0.5.*b.^2*pi);V1=subs(V,h,f1)/1000;V0=A(:,1)+262;V2=B(:,2);plot(f1,V1,'r--',f1,V0,'b',f2,V2,'k')legend('变为前储油理论值','变为前储油实际值','变位后') title('变位前和变位后图')grid on枚举算法的C++程序：#include <iostream>#include <cmath>#define PI 3.1415926using namespace std;double r = 1.625;double p1, p2;double R = 1.5;double f(double x){double ans = PI*r*r*x/2-PI*x*x*x/6+2*x*sqrt(2.25-x*x)/3 -2*x*r*sqrt(2.25-x*x)/3-(1-3*r+2*r*r*r)*atan(x/sqrt(2.25-x*x))/3+(x*x*x-3*x*r*r)*atan(0.625/sqrt(2.25-x*x))/3- 19 -+2*r*r*r*atan(0.625*x/(r*sqrt(2.25-x*x)))/3+2.0289; return ans;}double g(double x){double ans =4*PI*R*R-(R*R*(R-x+8*tan(p1))*asin((R-x+8*tan(p1))/R)+R*R*sqrt(2*R*(x-8*tan(p1))-(x-8*tan(p1))*(x-8*tan(p1)))-R*R*(R-x)*asin((R-x)/R)-R*R*sqrt(2*R*x-x*x)-pow((2*R*(x-8*tan(p1))-(x-8*tan(p1))*(x-8*tan(p1))),1.5)/3+pow((2*R*x-x*x), 1.5)/3)/tan(p1);return ans;}int main(){double H1, V1, H, H2, h1, h2;double out, s, t, ans, ansx, ansy, ansz, tt, ss, pppp; double numx[1024], numy[1024], left[1024];freopen("in2.txt", "r", stdin);freopen("out1.txt", "w", stdout);numx[0] = 0;int k = 1;while(scanf("%lf %lf", &numx[k], &numy[k]) == 2){numx[k] += numx[k-1];k++;}printf("%d\n", k);double ansk = 100000000;//此处先采用大范围大步长、再使用小范围小步长for(int qq = 5850; qq <= 5950; qq++){double q = (double)qq/100;ans = 100000000;for(int j = 40; j <= 60; j++){for(int i = 190; i <= 220; i++){p1 = (double)i/18000*PI; //角度p2 = (double)j/1800*PI;- 20 -double tmp = 0;for(int o = 5; o <= 290; o++){t = numy[o];out = numx[o];t /= 1000;out /= 1000;H = 1.5-(1.5-t)*cos(p2);H1 = H+2*tan(p1);H2 = H-6*tan(p1);h1 = H1-1.5;h2 = H2-1.5;V1 = f(h1)+f(h2)+g(H1);tmp += (V1-q+out)*(V1-q+out); }if(tmp < ans){ans = tmp;ansx = i;ansy = j;ansz = q;}}}if(ans < ansk){ansk = ans;tt = ansx;ss = ansy;pppp = q;}printf("%.2lf %lf total:%lf\n", ansx/100, ansy/10, q);}printf("答案：%.2lf %lf total:%lf\n", tt/100, ss/10, pppp);return 0;}。

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储油罐变位识别与罐容表标定

储油罐变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本文为了解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，通过分析储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐容表影响，建立罐体变位后实际储油量与显示油位高度的数学模型。

对于问题一，有变位情况用定积分方法直接对横截面面积沿罐体底面方向进行积分，建立储油量v 和油位高度h 的初始模型，对模型进行检验，并根据绝对误差与油位高度进行拟合得到补偿函数f(x)，与初始模型进行组合，得到罐容表修正后的标定模型，即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥--+-≤≤-≤≤-=⎰⎰⎰-+-+ααπααααααααααtan 2),(tan 2tan 1tan 2tan ,)(tan 1tan 0,)(tan 112tan 12tan tan 2tan 02121L b h x f hb abdy y S L b h L x f dy y S L h x f dy y S V bL h L h L h hL因无变位是有变位的特殊情况，即标定模型1.3如下：()02.121349.0arcsin 12)('2+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=h b b h b b h b b h abL T L h S h V π 经过修正后，修正值与实测值之间的差值很小。

球冠内油量的体积分别用蒙特卡罗（样本量N=100000）、近似积分法两种方法来求解，得到球冠内油量的体积与油位高度及变位参数的关系。

根据模型1.1和()βcos 0h r r h --=建立圆柱体内油量的体积与油位高度及变位参数的函数关系，即模型2.1。

根据表达式（1）建立储油量与油位高度和变位参数之间的数学模型2.2和2.3。

在0,0==βα的条件下结合附件2的数据对模型进行检验，模型2.2、2.3的平均相对误差分别为0.08%和0.05%，故模型2.3更优。

根据模型2.3，结合本题给出的数据建立以预测值与真实值之间的误差和最小为目标的优化函数，确定最优︒=︒=32.4,97.1βα,代入模型所得罐容表的部分结果为：显示油高（米） 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 储油量（立方米） -0.9 -0.3 0.11 1.38 2.94 4.15 6.39 9.13 11.8 15.1 显示油高（米） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 储油量（立方米） 17.3 19.9 22.6 25.4 28.2 31 33.8 36.6 39.4 42.1 显示油高（米） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 储油量（立方米）44.847.449.952.354.656.858.760.56263.3关键字：储油量、油位高度、蒙特卡洛算法、定积分、MATLAB 编程1.问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

储油罐的变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定


H 3 h' H 2 和 h' H 3 .
我们以第三种情况为例，来建立变位椭圆罐体模型. 首先，我们给出变位后的椭圆罐体纵向截面图，如下所示：
B
Q
P
h2 A
h1
M
l2
h


D
l1
N
图 3 椭圆罐体倾斜 角度时的横向截面图
在图 3 中， 我们以 D 点为端点作平行于 MN 的直线 DB ，B 点位于直线 AM 上. h1 表
y
b
O dx
a x
h
f(y)
图 2 小椭圆油罐体在无变位时的纵向截面图
图 2 中的 h 为小椭圆界面油量的高度，阴影部分就是罐体内部储油量的截面面积. 我们以椭圆圆心为圆点 O ，椭圆的长半轴为 x 轴，短半轴为 y 轴建立直角坐标系. 设椭 圆的长半轴为 a ，短半轴为 b ，根据这些变量我们可以容易得到椭圆的方程： x2 y 2 1 a 2 b2 由于截面面积的边界是和椭圆相连接的，不能够用 / 360 S 椭圆来求，所以我们 运用了数学上的积分来对此部分面积进行求解. 首先，我们先将面积分为左右两部分进行计算. 以右半部分为例，由于曲边梯形
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度最高的 、 的值，并据此给出油位高度间隔 10 cm 的罐容表标定值，验证所建立的 模型的正确性与方法的可靠性.
五、模型的建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1 椭圆罐体模型的建立 在对问题一进行分析时， 我们分别对罐体无变位和纵向倾斜的变位情况进行了分析. 因此，我们针对这两种情况建立无变位椭圆罐体模型和变位椭圆罐体模型. 无变位椭圆罐体模型的建立 在椭圆罐体未发生纵向倾斜，即在无变位的情况下，油罐体与地面没有夹角，此时 0， 罐体内部的油量在液面各处都是平稳的. 下图为椭圆罐体在无变位时的纵向截面 图.
储油罐的变位识别与罐容表标定的探究...

储油罐的变位识别与罐容表标定的探究...

储油罐的变位识别与罐容表标定的探究模型摘要对于问题一，椭圆柱体内的剩余油量为：()dz z S L⎰=0V 油，其中L 为罐长，()z S 为水平位置z 处垂直于油罐底的截面的面积，是关于z 处油高h 的函数。

在罐体无变位情形下， ()z S 与z 无关，因而 L z S *)(V =油。

在罐体发生纵向倾斜时，油位高度随水平位置z 线性变化，可有油位探针处油高h 计算得到。

在对()z S 积分时，我们采用复化梯形公式进行近似计算。

为求解问题一，我们首先首现采用最小二乘法对油罐参数进行修正合，得到m l m 4431.2,6.0b , m 8624.0a ===。

利用附件1的数据进行检验，用已知参数计算时，计算值与实际值误差绝对值平均值为75.5，而利用修正后值为0.0735。

利用我们用修正后的参数，用复化梯形公式计算01.4=α情形下的罐容表见表6_1,利用实际的数据进行检验，绝对误差的平均值为1.05%，相对误差的最大值为：3.5%对于问题二实际油罐可分为圆柱体和球冠两部分。

柱体部分油量V 1的计算与问题一相似。

对于球冠部分，我们采用水平方向对球冠进行截面，高度为v 处的截面积记为()v SS ，故球冠部分的油余量为2V 为()v SS 的积分。

油总量为21V V V +=油。

储油罐纵向倾斜时，柱体部分油余量计算同问题一，球冠部分会导至左右两个球冠油高不同，我们利用柱体两端的油高做为左右两个球冠油高的近似。

当油罐横向偏转角度β时，仅会使得油位探针测得油高h 不再是该位置的油高，实际油高为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+<--=r h r r r h h r r h βββcos )h (cos )()(，r 为柱体半径，计算中只是用()βh 替换前面中的h 即可。

具体计算积分时我们仍采用复化梯形公式。

为估计βα，，我们采用分步搜索法。

在区间[0,15][0,15]内以3为步长穷举βα，的36不同组合，利用附录2中数据，对每种组合计算出油量计算值与实际值残差平方和，寻求残差小的区间，经多次缩减，最后以步长0.1，在区间[4.2，4.5]、[2.5,2.8]内搜索，最终得到006.24.4==βα，，然后在此基础上计算罐容表，见表6_2, 利用附件2中数据进行检验，相对误差绝对值的平均值为1.85%，相对误差绝对值的最大值为5.15%。

储油罐的变位识别与罐容表标定模型

储油罐的变位识别与罐容表标定模型

模型Ⅲ：在模型Ⅰ和模型Ⅱ的基础上找出以上两函数式之间的关系，再对变位过程 进行分析得到模型Ⅰ和模型Ⅱ之间的油面高度关系，进而得到油罐内油量与油高及纵向 倾斜角度α和横向偏转角度β 之间的综合关系 y=y(h,α, β)。然后用附录所给数据运用 Matlab7 软件对函数拟合求得α, β的值，最后求得一组油罐表标度值，并给出模型的检 验。
2. 对问题二的分析：因为两个变位参数都是未知的，要直接求得油量与油位高度及两
个参数的总的关系式是较困难的。故我们可以求出油量分别随两个参数的变化关系式 y(h, α)和 y(h, β )，并且这两个函数是建立在问题一的基础上，然后研究两个关系式的关 系，求出油量与油位高度及两个参变量的综合关系式 y(h, α, β)，这样问题二便能求解出 来。这当中较难部分是如何把两个函数关系式综合到一起。
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8、假设储油罐的管壁所占的体积忽略不计； 9、假设注油口，检查口的的严谨性是很强的；
§4 名词解释与符号说明
4.1 名词解释 1、罐容表——罐容表是在油罐制作安装完成后由专业部门通过实测标定的油高与
体积的关系表，油高以厘米为单位，体积以立方分米为单位。由于罐容标定一般是每间 隔 1cm 确定一个容积值，这样罐容表中只有整厘米数油高具有对应的容积值。
§3 模型的假设
1.假设罐体位置横向不发生变位（对于问题一）； 2.假设罐内油的体积不会随温度的变化而变化(即忽略热胀冷缩对油体积的影响)； 3.假设油罐在检测过程中完好无损，不会出现漏油、汽化等现象； 4.纵向偏转角度 a 不大，可近似认为两端球缺中含油量相同；
5 假设题目所给的数据真实可靠； 6、假设固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部； 7、假设深入油罐内的管子体积忽略不计；
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