高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函

1 第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

x －φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象

先平移后伸缩 先伸缩后平移

⇓ ⇓

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )

(2)将y＝3sin 2x的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.( )

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间 2 的距离为T2.(

)

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．为了得到函数y＝sinx＋π3的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )

A．向左平行移动π3个单位长度

B．向右平行移动π3个单位长度

C．向上平行移动π3个单位长度

D．向下平行移动π3个单位长度

A [把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y＝sinx＋π3的图象．]

3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象3­4­1如图，则ω＝(

)

图3­4­1

A．5 B．4

C．3 D．2

B [由图象可知，T2＝x0＋π4－x0＝π4，

所以T＝π2＝2πω，所以ω＝4.]

4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

A.3π4 B.π4

C．0 D．－π4

B [把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移π8个单位后得到函数y＝sin 2x＋φ2＋π8 3 ＝sin2x＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]

5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin100πt＋π3，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________.

【导学号：51062109】

π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是π3，周期T＝2π100π＝150.]

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.

(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

[解] (1)列表取值：

x π2 32π 52π 72π 92π

12x－π4 0 π2 π 32π 2π

f(x) 0 3 0 －3 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图.8分

(2)先把y＝sin x的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象.15分

[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω确定平移单位．

2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定． 4 [变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为(

)

A．y＝2sin2x＋π4

B．y＝2sin2x＋π3

C．y＝2sin2x－π4

D．y＝2sin2x－π3

(2)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到. 【导学号：51062110】

(1)D (2)π3 [(1)函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.

(2)∵y＝sin x－3cos x＝2sinx－π3，∴函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象向右平移π3个单位长度得到．]

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图3­4­2所示，则( )

图3­4­2

A．y＝2sin2x－π6

B．y＝2sin2x－π3

C．y＝2sinx＋π6 5 D．y＝2sinx＋π3

(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )

A．y＝4sin4x＋π6

B．y＝2sin2x＋π3＋2

C．y＝2sin4x＋π3＋2

D．y＝2sin4x＋π6＋2

(1)A (2)D [(1)由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.故选A.

(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，从而φ＝kπ－5π6，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin4x＋π6＋2.]

[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT；

(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π. 6 [变式训练2] (2017·浙江名校(镇海中学)交流卷一)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|

图3­4­3

1 3 π4 [显然A＝1；周期T＝45π12－π4＝2π3，则ω＝2πT＝3；

由sin3×5π12＋φ＝－1和|φ|

函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的

应用

已知函数f(x)＝4tan xsinπ2－x·cosx－π3－3.

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．

[解] (1)f(x)的定义域为x

x≠π2＋kπ，k∈Z.2分

f(x)＝4tan xcos xcosx－π3－3

＝4sin xcosx－π3－3

＝4sin x12cos x＋32sin x－3

＝2sin xcos x＋23sin2x－3

＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3

＝sin 2x－3cos 2x＝2sin2x－π3.

所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.7分

(2)令z＝2x－π3，则函数y＝2sin z的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 7 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，

得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.12分

设A＝－π4，π4，B＝x －π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝－π12，π4.

所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减.15分

[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．

[变式训练3] 设函数f(x)＝32－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.

(1)求ω的值；

(2)求f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值．

[解] (1)f(x)＝32－3sin2ωx－sin ωxcos ωx

＝32－3·1－cos 2ωx2－12sin 2ωx

＝32cos 2ωx－12sin 2ωx＝－sin2ωx－π3.4分

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.7分

(2)由(1)知f(x)＝－sin2x－π3.9分

当π≤x≤3π2时，5π3≤2x－π3≤8π3，

所以－32≤sin2x－π3≤1，则－1≤f(x)≤32.13分

故f(x)在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.15分

三角函数模型的简单应用

某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．