高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节
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- 1 - 第六节 正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
知识点一 正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ________________＝2R a2＝______________
b2＝______________
c2＝______________
变形
形式 ①a＝______，b＝______，
c＝________
②sinA＝____，sinB＝____，
sinC＝______
(其中R是△ABC外接圆半径)
③abc＝______________
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝________；
cosB＝________；
cosC＝________
解决
解斜
三角
形的
问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
答案
asinA＝bsinB＝csinC b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC 2RsinA 2RsinB 2RsinC a2R b2R c2R sinAsinBsinC
b2＋c2－a22bc a2＋c2－b22ac a2＋b2－c22ab - 2 -
1．(2016·天津卷)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝13，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
答案：A
2．(必修⑤P10习题1.1B组第2题改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
解析：由正弦定理，得a2R＝sinA，b2R＝sinB，c2R＝sinC，代入得到a2＋b2
答案：C
知识点二 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角
或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinAb a≤b
解的
个数 ____ ____ ____ ____ ____
答案
一解 两解 一解 一解 无解
3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定 - 3 - 解析：∵bsinA＝24sin45°＝122<18，∴bsinA
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝π6，a＝1，b＝3，则B＝________.
解析：由正弦定理asinA＝bsinB，代入可求得sinB＝32，故B＝π3或B＝2π3.故答案为π3或2π3.
答案：π3或2π3
知识点三 三角形常用面积公式
1．S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；
2．S＝12absinC＝__________＝__________.
答案
2.12acsinB 12bcsinA
5．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．
解析：∵cosC＝13，∴sinC＝223，
∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.
答案：43
6．(必修⑤P20习题1.2A组第11题改编)在△ABC中，A＝π3，AB＝2，且△ABC的面积为32，则边BC的长为________．
解析：因为S＝12AB·ACsinA＝12×2×ACsinπ3＝32，所以AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即BC2＝22＋12－2×2×1×12，解得BC＝3. - 4 - 答案：3
第1课时 正弦定理、余弦定理
热点一 正、余弦定理的简单应用
【例1】 (1)(2016·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝________.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝( )
A.2 B.3
C．2 D．3
【解析】 (1)因为cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，从而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝2113.
(2)由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.
【答案】 (1)2113 (2)D
【总结反思】
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
(1)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________. - 5 - 解析：(1)由正弦定理得sinAsinBsinC＝abc＝456，又由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2×sinAsinC×cosA＝2×46×34＝1.
(2)∵sinB＝12，∴B＝π6或5π6.当B＝5π6时，有B＋C＝π，不符合，∴B＝π6＝C，∴bcosπ6＝a2＝32，∴b＝1.
答案：(1)1 (2)1
热点二 判断三角形的形状
【例2】 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】 依据题设条件的特点，由正弦定理：得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1.∴A＝π2，故选B.
【答案】 B
1．若将本例条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．
解：解法1：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π
解法2：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得
2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.
故△ABC为等腰三角形．
2．若将本例条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断三角形的形状．
解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
法1：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，
又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B. - 6 - 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法2：由正弦定理、余弦定理得：
a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【总结反思】
(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2)判断三角形形状主要有以下两种途径：
①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
(2017·成都模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝23π.
(2)对于已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，结合正弦定理，有2sin2A＝(2sinB＋sinC)sinB＋(2sinC＋sinB)sinC，即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin22π3＝34，又由sinB＋sinC＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sinBsinC＝1.
所以sinB·sinC＝14.
