高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4

高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形

4.4 简单的三角恒等变换 考试要求 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 知识梳理

1．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S2α：sin 2α＝2sin

αcos

α.

(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

(3)公式T2α：tan 2α＝2tan

α1－tan2α.

2．常用的部分三角公式

(1)1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2.(升幂公式)

(2)1±sin α＝sin α2±cos α22.(升幂公式)

(3)sin2α＝1－cos 2α2，cos2α＝1＋cos 2α2，tan2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式)

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )

(2)设5π2

(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )

教材改编题

1．sin 15°cos 15°等于( )

A．－14

B.14

C．－12

D.12

答案 B

解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.

2．化简1＋cos 4的结果是( )

A．sin 2 B．－cos 2

C.2cos 2 D．－2cos 2

答案 D

解析 因为1＋cos 4＝2cos22，

又cos 2<0，所以可得选项D正确．

3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tan α等于( )

A．－22 B．2

C．－13 D．－12

答案 D

解析 由tan(π＋2α)＝－43，

得tan 2α＝－43，

又tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－43，

解得tan α＝－12或tan α＝2，

又α是第二象限角，所以tan α＝－12.

题型一 三角函数式的化简

例1 (1)(2021·全国甲卷)若α∈0，π2，tan 2α＝cos

α2－sin

α，则tan

α等于(

)

A.1515

B.55 C.53 D.153

答案 A

解析 方法一 因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝2sin αcos α1－2sin2α，

且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin

αcos α1－2sin2α＝cos α2－sin

α，解得sin α＝14.因为α∈0，π2，

所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.

方法二 因为tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2sin αcos α1－sin2αcos2α＝2sin αcos αcos2α－sin2α＝2sin αcos α1－2sin2α，且tan 2α＝cos α2－sin α，所以2sin αcos α1－2sin2α＝cos α2－sin α，

解得sin α＝14.因为α∈0，π2，

所以cos α＝154，tan α＝sin αcos α＝1515.

(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－x·sin2x＋π4＝ .

答案 12cos 2x

解析 原式＝2cos2xcos2x－1＋122tanπ4－x·sin2x＋π4

＝12cos22x2·1－sin xcos x1＋sin xcos x·1－cos2x＋π22

＝12cos22xcos2x－sin2x

＝12cos 2x.

教师备选

1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )

A.53

B.23 C.13 D.59

答案

A

解析 由3cos 2α－8cos

α＝5，

得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，

即3cos2α－4cos α－4＝0，

解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)．

又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，

所以sin α＝1－cos2α＝1－－232＝53.

2．已知0

答案 －cos θ

解析 原式＝2sin θ2cos θ2＋2cos2θ2sin θ2－cos θ24cos2θ2

＝cos θ2·sin2θ2－cos2θ2cos θ2

＝－cos θ2·cos θcos θ2.

因为0

所以00，

所以原式＝－cos

θ.

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．

跟踪训练1

(1)21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )

A．2cos 2 B．2sin 2

C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2

答案 B

解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4

＝2sin22＋2sin 2cos 2＋cos22＋

2＋22cos22－1

＝2sin 2＋cos 22＋4cos22

＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.

∵π2<2

∴cos 2<0，

∵sin 2＋cos 2＝2sin2＋π4，0<2＋π4

∴sin 2＋cos 2>0，

∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.

(2)化简tan27.5°＋1tan27.5°－7sin27.5°＋cos27.5°等于( )

A.33 B.233

C.3 D．2

答案 B

解析 原式＝tan27.5°＋1tan27.5°－8sin27.5°＋1

＝sin27.5°＋cos27.5°sin27.5°－8sin27.5°cos27.5°＋cos27.5°

＝11－2sin215°＝1cos 30°＝233.

题型二 三角函数式的求值

命题点1 给角求值

例2 (1)sin 40°(tan 10°－3)等于( )

A．2 B．－2 C．1 D．－1

答案 D

解析 sin 40°·(tan 10°－3)

＝sin 40°·sin 10°cos 10°－3

＝sin 40°·sin 10°－3cos 10°cos 10°

＝sin 40°·212sin 10°－32cos 10°cos 10°

＝sin 40°·2cos 60°·sin 10°－sin 60°·cos 10°cos 10°

＝sin 40°·2sin10°－60°cos 10°

＝sin 40°·－2sin 50°cos 10°

＝－2sin 40°·cos 40°cos 10°

＝－sin 80°cos 10°＝－1.

(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .

答案 －18

解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°

＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°

＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°

＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°

＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°

＝－18sin 160°sin 20°

＝－18sin 20°sin 20°＝－18.

命题点2 给值求值

例3 (1)若cosπ6－α＝13，则cos2π3＋2α等于( )

A.29 B．－29

C.79 D．－79

答案 C

解析 ∵cosπ6－α＝13.

∴cosπ6－α＝sinπ2－π6－α

＝sinπ3＋α＝13，

∴cos2π3＋2α＝1－2sin2π3＋α

＝1－29＝79.

(2)(2022·长春质检)已知sinα－π3＋3cos α＝13，则sin2α＋π6等于( )

A.23 B.29 C．－19 D．－79

答案 D

解析 ∵sinα－π3＋3cos α＝13，

∴sin αcos π3－cos αsin π3＋3cos α＝13，

∴12sin α－32cos α＋3cos α＝13，

∴12sin α＋32cos α＝13，

∴cosα－π6＝13，

∴sin2α＋π6＝sin2α－π6＋π2

＝cos 2α－π6

＝2cos2α－π6－1

＝2×132－1

＝－79.

命题点3 给值求角

例4 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝

.

答案 17 π3

解析 因为cos α＝277，

所以cos 2α＝2cos2α－1＝17.

又因为α，β均为锐角，sin β＝3314，