河北省衡水中学2019届高三第二学期一模考试理科数学试题(解析版)
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2018-2019学年度第二学期高三年级一模考试
数学（理科）试卷
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.已知全集为R，集合{1,0,1,5}A，2|20Bxxx，则RABð（ ）
A. {1,1} B. {0,1} C. {0,1,5} D. }1,0,1{
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合B,再求RABð得解.
【详解】由题得B={x|x≥2或x≤1},
所以{|12}RCBxx，
所以{0,1}RABð.
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2.若复数z满足(1i)|13i|z，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出复数z和z,再求出在复平面内z的共轭复数对应的点的位置得解.
【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iziii，
所以1zi，
所以在复平面内z的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.
故选：A
【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（ ）
A. 25 B. 35 C. 2536 D. 1136
【答案】B
【解析】
试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．
考点：1．分层抽样；2．古典概型．
4.如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. 2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.
D. 2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.
【答案】D
【解析】
分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．
详解：由折线图可知A、B正确；4067.416.6%38154000，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.
故选D.
点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．
5.P是双曲线22:12xCy右支上一点, 直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,1F是双
曲线C的左焦点, 则||||1PQPF的最小值为( )
A. 1 B. 1525 C. 1545 D. 122
【答案】D
【解析】
设双曲线C的右焦点为2F，连接2PF，则1222PFPQPFPQ
22d（d为点2(3,0)F到渐近线20xy的距离313），即1PFPQ的最小值为122；故选D.
点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.
6.如图，在三棱柱111ABCABC中，AB，AC，1AA两两互相垂直，1ABACAA，M，N是线段1BB，1CC上的点，平面AMN与平面ABC 所成（锐）二面角为6，当1BM最小时，AMB（ ）
A. 512 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB的大小．
【详解】以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，
设1=1ABACAA，
设CNb，BMa，则(1N，0，)b，(0M，1，)a，(0A，0，0)，(0B，1，0)，
(0AM，1，)a，(1AN，0，)b，
设平面AMN的法向量(nx，y，)z，
·0·0AMnyazANnxbz，取1z，得(nb，a，1)，
平面ABC的法向量(0m，0，1)，
平面AMN与平面ABC所成（锐)二面角为6，
22||1cos6||||1mnmnab，
解得22331ab，
当|1|BM最小时，0b，33BMa，
1tan333ABAMBBM，
3AMB．
故选：B．
【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.已知函数sin()()xxfxa(0,0,)aR，在3,3的大致图象如图所示，则a可取（ ）
A. 2 B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
分析：从图像可以看出fx为偶函数，结合fx的形式可判断出sinyx为偶函数，故得的值，最后通过10f得到的值．
详解：fx为3,3上的偶函数，而xya为3,3上的偶函数，故singxx为3,3上的偶函数，所以,2kkZ．
因为0，故2，sincos2xxxxfxaa．
因10f，故cos0，所以2k，kN．
因02f，故0cos012aa，所以21a．
综上21ka，kN，故选B ．
点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．
8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（ ）
A. 20 B. 24 C. 28 D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.
【详解】五面体对应的直观图为：
由三视图可得：,4,2,6EFBCADBCEFAD，
三个梯形均为等腰梯形且平面FADE平面ABCD
F到底面ABCD的距离为4d，,ADBC间的距离为3.
如下图所示，
将五面体分割成三个几何体，其中,FAGHBEIDCJ为体积相等的四棱锥，且2AGGIID，1,2BHJCHJ，则棱柱FGHEIJ为直棱柱，EIJ为直角三角形.
又114123632FAGHBEIDCJVV；
1243122FGHEIJV，
故五面体的体积为121224.故选A.
【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.
9.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别是,,abc,且BC边上的高为a63,则cbbc 的最大值是（ ）
A. 8 B. 6 C. 32 D. 4
【答案】D
【解析】
22bcbccbbc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA2222bcabc，①
而条件中的“高”容易联想到面积， 131262aabcsinA，即a2＝23bcsinA，②
将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cosA＋3sinA)，
∴bccb＝2(cosA＋3sinA)＝4sin(A＋6)，当A＝3时取得最大值4，故选D．
点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
10.已知函数()sin3fxx，若12>0xx，且120fxfx，则12xx的最小值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】
先分析得到12xx的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.
【详解】由题得12+xx等于函数的零点的2倍，
所以12xx的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，
令()sin=03fxx，
所以,3xkkZ,
所以=+,3xkkZ，
所以绝对值最小的零点为3，
故12xx的最小值为23.
故选：D
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.过抛物线24yx的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线1x上，则ABC的边长是（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
