河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)
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1 河北省衡水中学2019届高三上学期二调考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得，
∴．选D．
2.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得：
本题选择A选项.
3.等差数列的前n项和为，若，，则
A. 152 B. 154 C. 156 D. 158
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出．
【详解】设公差为d，由，，可得，解出，．
．
故选：C．
【点睛】熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键．
2 4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点
A. 再向左平行移动个单位长度 B. 再向右平行移动个单位长度
C. 再向右平行移动个单位长度 D. 再向左平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
现将两个函数变为同名的函数，然后利用三角函数图像变换的知识得出珍贵选项.
【详解】由于，故需将的图象上所有的点，向右平行移动个单位长度得到.故选B.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
5.若关于的方程有解，则实数的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 2
【答案】B
【解析】
方程有解等价于，所以实数的最小值为6
6.已知数列的前n项和为，，，且对于任意，，满足，则的值为
A. 90 B. 91 C. 96 D. 100
【答案】B
【解析】
【分析】
对于任意，，满足，可得，可得利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【详解】对于任意，，满足，
，
．
3 数列在时是等差数列，公差为2．，，
则．
故选：B．
【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用。
7.已知函数 在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，即，
所以在区间是函数含原点的递增区间，
又因为函数在上单调递增，所以，
所以满足不等式组，解得，
又因为，所以，
又因为函数在区间上七号取得一次最大值，
根据正弦函数的性质，可知，
即函数在处取得最大值，可得，所以，
综上可得，故选C．
8.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则；21的因数有1,3,7,21，则，那么的值为（ ）
A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500
【答案】D
【解析】
4 由 的定义知 ，且若 为奇数则
则
选D
9.如图，半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，那么的图象大致是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中半径为2的切直线MN于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交于点Q，设为x，弓形PmQ的面积为，我们可求出函数的解析式，分析其单调性和凸凹性后，比照四个答案中的图象可得答案．
【详解】由已知中半径为2的切直线MN于点P，
射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，
旋转过程中，弓形PmQ的面积
5 恒成立，故为增函数，四个图象均满足
又在时，，故函数为凹函数，
在时，，故函数为凸函数，
此时D图象满足要求．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据实际情况，分析出函数值在不同情况下，函数的单调性和凸凹性，进而分析出函数值随自变量变化的趋势及变化的快慢，是解答本题的关键．
10.已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
定义域为，①当时，，，令，解得，由，得，由，得，∴当时，.又是偶函数，∴图象关于轴对称，，∵只有个公共点，∴最大值为1．则最长周期为，即，即，则，∴，解得，故周期最大的，故选A．
11.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设 ，则
所以函数 在 上单调递减，因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，因此 ， ，
，即 ，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数
6 的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
12.已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是
A. 当时，有3个零点；当时，有4个零点
B. 当时，有4个零点；当时，有3个零点
C. 无论k为何值，均有3个零点
D. 无论k为何值，均有4个零点
【答案】C
【解析】
试题分析：令,解得．
令解得或．
即或．
解得或．
时,此时方程只有一个解．
所以无论为何值原函数有3个零点．故C正确．
考点：函数零点．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l的倾斜角，则的所有可能取值区间为______．
【答案】，
【解析】
【分析】
求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出角的范围即可．
【详解】求导
在区间上是单调函数，
则有在恒大于等于0或恒小于等于0，
若在区间上单调减，则，
故即
7 若在区间上单调增，则，
,
所以即
综上所述，，，
故答案为：，
【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
14.“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设（为常数），则__________．（用表示）
【答案】
【解析】
由题意可得
。
答案：
15.设锐角三个内角所对的边分别为,若,则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.
【详解】由及余弦定理可得 ，即，所以．又为锐角三角形，所以．
由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为．
故答案为：
【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知
8 识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.
16.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在中，,点在边上，，且 .
（1）若的面积为，求；
（2）若，求.
【答案】（1）（2）或.
【解析】
试题分析：（1）由三角形面积公式求出.再由余弦定理求.（2）由正弦定理，有，，联立消CD得,解得利用诱导公式得或.
试题解析：解：（1）因为，即，又，所以.
在中，由余弦定理得，，解得.
（2）在中，，可设，则，又，由正弦定理，有，所以.在中，，由正弦定理得，，即，
9 化简得，于是，
因为，所以，
所以或，
解得或，故或.
18.已知是各项都为正数的数列，其前n项和为且为与的等差中项．
求数列的通项公式；
设，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
通过计算出数列的前几项，进而猜想通项公式，利用数学归纳法证明即可；通过分母有理化可知，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．
【详解】为与的等差中项，
，
当时，易知，
当时，，
整理得：，
解得：或舍，
当时，，
整理得：，
解得：或舍，
猜想：．
下面用数学归纳法来证明：
当时，结论显然成立；
假设当时成立，即，
