函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第23讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

考试要求 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，图象的画法，参数A，ω，φ对函数图象变化的影响(A级要求)；2.利用三角函数解决一些简单实际问题(A级要求).

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin2x＋π4.( )

(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )

解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.

(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|φ|ω.故当ω≠1时平移的长度不相等.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2.(必修4P40练习5改编)y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为________.

解析 根据y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅、频率、初相定义知，振幅A＝2，频率f＝ω2π＝22π＝1π，初相φ＝－π4.

答案 2，1π，－π4

3.(2017·江苏押题卷)已知角φ的终边经过点P(1，1)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0

解析 由题设可得tan φ＝1，0

答案 22

4.(2017·南京、盐城模拟)将函数y＝3sin2x＋π3的图象向右平移φ0

解析 由题意得y＝3sin2（x－φ）＋π3为偶函数，所以－2φ＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，又0

答案 5π12

5.(必修4P45第9题改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，0

s时，电流强度是________ A.

解析 由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，

∴ω＝2πT＝100π.

∴I＝10sin(100πt＋φ).1300，10为五点中的第二个点，

∴100π×1300＋φ＝π2.

∴φ＝π6.∴I＝10sin100πt＋π6，

当t＝1100 s时，I＝－5 A.

答案 －5

知 识 梳 理

1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图

“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：

(1)定点：如下表所示.

x －φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.

(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义

当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：

简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) A T＝2πω f＝1T ωx＋φ φ

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

考点一 “五点法”与“变换法”作图

【例1】 (必修4P37例1改编)设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)(一题多解)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.

解 (1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx

＝212sin ωx＋32cos ωx＝2sinωx＋π3.

∵T＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.

∴f(x)＝2sin2x＋π3.

∴函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx的振幅为2，初相为π3.

(2)令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sin X.

列表，并描点画出图象：

X －π6 π12 π3 7π12 5π6

X 0 π2 π 3π2 2π y＝sin X 0 1 0 －1

0

y＝2sin2x＋π3 0 2 0 －2

0

(3)法一 把y＝sin

x的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y＝sinx＋π3的图象；再把y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x＋π3的图象；最后把y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin2x＋π3的图象.

法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的12，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移π6个单位，得到y＝sin 2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将y＝sin2x＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变 ，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin2x＋π3的图象.

规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练1】 已知f(x)＝cos(ωx＋φ)ω>0，－π2

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；

(3)若f(x)>22，求x的取值范围.

解 (1)周期T＝2πω＝π，∴ω＝2，

∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin φ＝32，

又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.

(2)f(x)＝cos2x－π3，列表如下：

2x－π3 －π3 0 π2 π 32π 53π

x 0 π6 512π 23π 1112π π

f(x) 12 1 0 －1 0 12

图象如图：

(3)∵cos2x－π3>22，

∴2kπ－π4<2x－π3<2kπ＋π4(k∈Z)，

∴2kπ＋π12<2x<2kπ＋7π12(k∈Z)，

∴kπ＋π24

∴x的取值范围是xkπ＋π24

考点二 由图象求解析式

【例2】 (2017·盐城第一学期期中)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A>0，ω>0，0

(1)求A，ω，φ的值；

(2)设θ为锐角，且f(θ)＝－335，求fθ－π6的值.

解 (1)由图象，得A＝3，34T＝712π－－π6＝34π，

则T＝π，∴ω＝2πT＝2，

∴f(x)＝3sin(2x＋φ)， 由f7π12＝－3，得3sin712π×2＋φ＝－3，

结合0

(2)由(1)得f(x)＝3sin2x＋π3，

∴f(θ)＝3sin2θ＋π3＝－335，

∴sin2θ＋π3＝－35，

∵θ∈0，π2，∴2θ＋π3∈π3，4π3，

又sin2θ＋π3<0，∴2θ＋π3∈π，4π3，

∴cos2θ＋π3＝－1－sin22θ＋π3＝－45，

∴fθ－π6＝3sin 2θ＝3sin2θ＋π3－π3

＝3sin2θ＋π3cosπ3－cos2θ＋π3sin π3

＝3×－35×12＋45×32＝12－3310.

规律方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)五点法，由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；

(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，