函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、知识梳理

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

注意：1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．

2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．

3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin)4(x的图象是由y＝sin)4(x的图象向右平移π2个单位长度得到的．( )

(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．( )

(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )

题组二：教材改编

2．为了得到函数y＝2sin)32(x的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(

) A．向右平移π6个单位长度 B．向右平移π3个单位长度

C．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π3个单位长度

3．]函数y＝2sin)321(x的振幅、频率和初相分别为( )

A．2,4π，π3 B．2，14π，π3

C．2，14π，－π3 D．2,4π，－π3

4．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________________．

题组三：易错自纠

5．要得到函数y＝sin)34(x的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )

A．向左平移π12个单位长度 B．向右平移π12个单位长度

C．向左平移π3个单位长度 D．向右平移π3个单位长度

6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________．

三、典型例题

题型一：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

典例 已知函数y＝2sin)32(x. (1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明y＝2sin)32(x的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

思维升华：(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

跟踪训练：(1)若把函数y＝sin)6(x的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( )

A．2 B.32 C.23 D.12

(2)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．

题型二：由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

典例 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ))2,0(的部分图象如图所示，则y＝f)6(x取得最小值时x的集合为________．

思维升华：y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．

跟踪训练 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B)2,0,0(A的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点)23,3(对称，则m的值可能为( )

A.π6 B.π2 C.7π6 D.7π12

题型三：三角函数图象性质的应用

命题点1：三角函数模型

典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin)6(x＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A．5 B．6

C．8

D．10

命题点2：函数零点(方程根)问题

典例 已知关于x的方程2sin2x－3sin 2x＋m－1＝0在),2(上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．

引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．

命题点3：三角函数图象性质的综合

典例 已知函数f(x)＝3sin)32(x (ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点)0,3(，求当m取得最小值时，g(x)在]127,6[上的单调递增区间．

思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 跟踪训练 (1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ))2,0(的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(，则函数f(x)的解析式为__________．

四、反馈练习

1．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin)322(x，则下面结论正确的是( )

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

2．若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )

A.π8 B.π4

C.3π8 D.5π4

3．若函数y＝sin(ωx－φ))2,0(在区间],2[上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A．ω＝2，φ＝π3 B．ω＝2，φ＝－2π3

C．ω＝12，φ＝π3 D．ω＝12，φ＝－2π3

4．函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝sin x＋3cos x的图象至少向右平移的单位长度是( )

A.π2 B.2π3

C.π3 D.π4 5．将函数f(x)＝3sin

x－cos

x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是( )

A.π6 B.π3 C.π2

D.2π3

6．函数f(x)＝sin(2x＋φ))2(的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在]2,0[上的最小值为( )

A．－32 B．－12

C.12 D.32

7．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________．

8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ))20,0(的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B)1,3(，则f(x)＝________.

9．已知函数f(x)＝cos)33(x，其中x∈],6[m，若f(x)的值域是]23,1[，则m的取值范围是________．

10．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ))2,0,0(A的图象过点P)0,12(，图象上与点P最近的一个最高点是Q)5,3(.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

12．将函数f(x)＝sin(2x＋θ))2(的图象向右平移φ(0

13．已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为________．

14.设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0

.

15．设函数f(x)＝sin)6(x＋sin)2(x，其中0＜ω＜3.已知f)6(＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在]43,4[上的最小值．