函数y=Asin(ωx φ)的图象

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2

π 3π2 2π

y＝Asin

(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤

法一 法二

函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法

例1] (1)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求f(x)的解析式；

②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；

③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？

练习

1．若本例(1)条件不变，作出f(x)在x∈0，π]内的图象．

2．将本例(2)变为：由y＝sin 2x如何变换得到y＝sin x－3cos x的图象．

由三角函数图象求解析式

例3] (1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6 B．A＝1，T＝4π3，φ＝3π4

C．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4 D．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6

(2)(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A．y＝2sin2x－π6

B．y＝2sin2x－π3

C．y＝2sinx＋π6

D．y＝2sinx＋π3

·典例

金陵中学2011届高三数学校本讲义 ~ 113 ~

113 第29课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(II)

一、学习要求

1．能用函数y＝Asin(ωx＋φ)描述周期现象．

2．能将一些复杂的三角函数式化归为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，并由此解决周期、最值、单调区间等问题．

二、课前预习

1．求下列函数的最小正周期：

(1) y＝3cos(π3－3x)，T＝_23_； (2) y＝2tan(2x＋π3)，T＝_2_；

(3) y＝(1＋3tanx)cosx，T＝_2_；(4) y＝sin(2x－4)－22sin2x，T＝__．

2．函数y＝sin(2x－π3)的单调增区间为_[－12＋k，512＋k]，k∈Z_，为了得到它的图象，只需把函数y＝sin(2x＋π6)的图象_向左平移4个单位_．

3．若函数y＝sin(x＋π3)＋2 (其中＞0)的图象向右平移43个单位后与原图象重合，则的最小值为_32_．

提示 kT＝43，即2k＝43，k∈Z．

4．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A，B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝_10｜sin60t｜_，其中t∈_[0，＋∞)_．

提示 ＝260t，由余弦定理得，d2＝25＋25－50cos260t＝50－50cos260t＝100sin260t．

5．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋)＋b．这段曲线的函数解析式是_y＝10sin(8x＋34)＋20，6≤x≤14_．

【知识与方法】

函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际应用，注意定义域．

三、典型例题

例1 已知函数f(x)＝cos2(x＋12)，g(x)＝1＋12sin2x．

1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》

1．要得到函数y＝sin12x的图象，只需将函数y＝sin(12x＋π6)的图象( )

A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位

2．要得到函数y＝sin－12x的图象，只需将函数y＝sin－12x＋π6的图象( )．

A．向左平移π3个单位 B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位 D．向右平移π6个单位

3．将函数y＝5sin 3x的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移π3个单位，得到图象的解析式是( )

A．y＝5sin(3π2－32x)B．y＝sin(7π10－32x)C．y＝5sin(π6－6x)D．y＝－5cos32x

4．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )．

A．y＝sin2x－π10 B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10 D．y＝sin12x－π20

5、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然

后把所得到的图象沿x轴向左平移4个单位,这样得到的曲线与y=3sinx的图象相同,

那么y=f(x)的解析式为 （ ）

A．f(x)=3sin(42x) B．f(x)=3sin(2x+4)C．f(x)=3sin(42x ) D．f(x)=3sin(2x－4)

6、把函数y=cos(x +34 )的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y轴对称,则φ的最小正值是 （ ）

A．32 B．3 C．34 D．35

7．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )

考点十八 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质

知识梳理

1．五点法作y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象

2．三角函数图象变换

3．函数y=Asin(ωx+φ)的几个概念

若函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

典例剖析

题型一 三角函数的图象变换

例1 (2015山东文)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象________．(填序号)

① 向左平移π12个单位 ②向右平移π12个单位 ③向左平移π3个单位 ④向右平移π3个单位

答案 ②

解析 ∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，

∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位．

变式训练 把函数y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为________．

答案 x＝－π2

解析 将y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－π3)＋π6]＝sin(2x－π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．

解题要点 图象平移时要注意平移量的求解，由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换区别在于：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．