函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2

π 3π2 2π

y＝Asin

(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤

法一 法二

函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法

例1] (1)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求f(x)的解析式；

②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；

③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？

练习

1．若本例(1)条件不变，作出f(x)在x∈0，π]内的图象．

2．将本例(2)变为：由y＝sin 2x如何变换得到y＝sin x－3cos x的图象．

由三角函数图象求解析式

例3] (1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6 B．A＝1，T＝4π3，φ＝3π4

C．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4 D．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6

(2)(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A．y＝2sin2x－π6

B．y＝2sin2x－π3

C．y＝2sinx＋π6

D．y＝2sinx＋π3

·典例

第四十五课时 函数sin()yAx的图象与性质(1)

【学习目标】

１．了解函数sin()yAx的实际意义

２．会用“五点法”作sin()yAx的图象

３．理解sin()yAx的图象与曲线sinyx之间的关系

【题型示例】

例1已知函数3sin(2)3yx

（1）求出它的周期；

（2）用“五点法”作出一个周期的简图；

（3）指出该函数的单调区间.

【分析】考虑抓住哪五点？取“23x”为整体，对应的值分别为30,,,,222。

【解】（1）2T

（2）列表

23x 0

2  32 2

x

6 12 3 712 56

y 0 3 0 -3 0

描点连线

（例1）

减区间：7[,]()1212kkkZ 增区间：5[,]()1212kkkZ

例2用两种方法将函数sinyx的图象变换为函数1sin()24yx的图象

【分析】分清楚先平移变换还是先伸缩变换。

【解】方法1：（11()22224xxxx）将函数sinyx的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到sin2xy，再将sin2xy的图象向右平移2个单位，就得到1sin()24yx的图象

方法2：（1424xxx）将函数sinyx的图象向右平移4个单位，得到sin()4yx的图象，再将sin()4yx的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），就得到1sin()24yx的图象

例3已知函数15sin(2)264yx，xR

（1）求函数y的最大值及相应的x的值;

（2）该函数图象可由sinyx（xR）的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？

【分析】（1）利用正弦函数取最大值的条件；（2）掌握三角函数图象的综合变换，搞清先平移还是先伸缩.

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

一、选择题

1．函数y＝－52sin4x＋2π3的图象与x轴各个交点中离原点最近的一点是( )

A.π12，0 B.－π12，0 C.－π6，0 D.π6，0

2．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cosx－π3的图象( )

A．向右平移π6个单位 B．向右平移π3个单位

C．向左平移π3个单位 D．向左平移π6个单位

3．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|

A．T＝6，φ＝π6 B．T＝6，φ＝π3

C．T＝6π，φ＝π6 D．T＝6π，φ＝π3

4．函数y＝sin2x＋π3的图象( )

A．关于点π3，0对称 B．关于直线x＝π4对称

C．关于点π4，0对称 D．关于直线x＝π3对称

5．要得到y＝sin－12x的图象，只需将y＝sin－12x－π6的图象( )

A．向左平移π3个单位 B．向右平移π3个单位

C．向左平移π6个单位 D．向右平移π6个单位

6．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是( )

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数 D．最小正周期为π2的偶函数

7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在同一个周期内，当x＝π12时，取得最大值2；当x＝7π12时，取得最小值－2，那么函数的解析式为( )

A．y＝12sinx＋π3 B．y＝2sin2x＋π3 C．y＝2sin2x＋π6 D．y＝2sinx2－π6

1 1.5函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的图象

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4

课题：1.5函数y = Asin(ωx+)的图象

一、教学目标：

1、知识与技能

1. 对y = sin(x+)的图像的影响。

2. ω对y = sin(ωx+)的图像的影响。

3. A对y = Asin(ωx+)的图像的影响。

4. y = Asin(ωx+)的图像的画法。

2、过程与方法

1. 会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作y = sin(x+)、y = sin(ωx+)、y = Asin(ωx+)的图像。

2. 会用五点法和图形变换法作出y = Asin(ωx+)的图像。

3、情感态度价值观

1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想；培养全面分析、抽象和概括的能力。

2. 培养动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，并解决问题。

二、教学重点、难点

1、教学重点：将参数A，ω，对函数y = Asin(ωx+)图象的影响的问题进行分解，从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。

2、教学难点：ω对函数y = Asin(ωx+)的图象的影响规律的概括

3、教学关键：理解三个参数A、ω、φ对函数y = Asin(ωx+)（ω＞0，A＞0）图像的影响。

三、课前准备

教师准备：教学课件

四、教学过程：

2 一、导入新课，提出课题

师：数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图（1），如果将图象局部放大，便得到图（2），看图（2）它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y = Asin(ωx+)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题。

揭示课题：函数y = Asin(ωx+)的图像（一）（板书）