高考数学—— 直线与圆的位置关系-考点复习

第31课 直线和圆的位置关系

知识点：

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆

大纲要求：

1．掌握直线和圆的位置关系的性质和判定；

2．掌握判定直线和圆相切的三种方法并能应用它们解决有关问题：（1）直线和圆有唯一公共点；(2)d=R；(3)切线的判定定理 (应用判定定理是满足一是过半径外端，二是与这半径垂直的二个条件才可判定是圆的切线）

3．掌握圆的切线性质并能综合运用切线判定定理和性质定理解决有关问题：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）圆心到切线距离等于半径；（3)圆的切线垂直于过切点的半径；(4) 经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；(6)切线长定理。

4．注意：(1)当已知圆的切线时，切点的位置一般是确定的，在写条件时应说明直线和圆相切于哪一点，辅助线是作出过确定的半径；当证明直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点则可作出这一点的半径证明直线垂直于该半径；即为“连半径证垂直得切线”；若已知条件中未明确给出直线和圆有公共点时，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，即为:“作垂直证半径得切线”。(2) 见到切线要想到它垂直于过切点的半径；若过切点有垂线则必过圆心；过切点有弦，则想到弦切角定理，想到圆心角、圆周角性质，可再联想同圆或等圆弧弦弦心距等的性质应用。（3）任意三角形有且只有一个内切圆，圆心为这个三角形内角平分线的交点。

考查重点与常用题型：

1．判断基求概念，基本定理等的证误。在中考题中常以选择填空的形式考查形式对基本概念基求定理的正确理解，如：已知命题：(1)三点确定一个圆；(2)垂直于半径的直线是圆的切线；(3)对角线垂直且相等的四边形是正万形；(4)正多边形都是中心对称图形；(5)对角线相等的梯形是等腰梯形，其中错误的命题有

1 / 15 专题9.2 直线与圆的位置关系（知识点讲解）

【知识框架】

【核心素养】

1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．

2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．

【知识点展示】

一．圆的方程

1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

2．圆的标准方程

(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．

(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．

3．圆的一般方程

(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．

(2) 对方程：. 222()()xaybr222()()xaybr220xyDxEyF220xyDxEyF

2 / 15 ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；

②若，则方程只表示一个点，；

③若，则方程不表示任何图形．

4.点与⊙C的位置关系

(1)|AC|

(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；

(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.

二．圆的方程综合应用

1. 圆的标准方程为：

2．圆的一般方程．：（）.

3.点到直线的距离：.

三．直线与圆相切

1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；

3.代数法：，方程组有一组不同的解.

四．直线与圆相交及弦长

1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；

2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；

3.代数法：，方程组有两组不同的解.

五．圆与圆的位置关系

设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().

(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.

(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.

(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.

日照实验高中高三文科一轮复习导学案 编制人：刘进 审稿人：李云飞

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直线与圆的位置关系

【复习目标】

能够利用几何法解决与圆有关的综合性问题，如：最值问题、范围问题以及求解圆的方程；

渗透数形结合的思想，充分利用圆的几何性质（如垂径定理），简化运算.

【课前预习】

1.圆1622yx上的点到直线x－y =3的距离的最大值为 （ ）

A．223 B．2234 C．2234 D．0

2.若圆222)5()3(ryx上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，则半径r范围是 （ ）A．（4,6） B．)6,4[ C．]6,4( D．[4,6]

3.对于k∈R，直线(3k+2)x－ky－2=0与圆022222yxyx的位置关系是 （ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．可能相交，也可能相切，但不可能相离

4.设点),(yxP是圆1)1(22yx上任一点，若不等式0cyx恒成立，则c的取值范围是（ ）A．[12,21] B．[21,) C．(,21]

D．(12,21)

【典型例题】

考点一 直线与圆的位置关系

【例1】 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.

日照实验高中高三文科一轮复习导学案 编制人：刘进 审稿人：李云飞

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【训练1】直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(

高三（上）数学（89） 一轮复习------直线与圆、圆与圆的位置关系① 班 姓名

1、已知圆4)1()1(:221yxO，xO(:2

1)3()222y，则两圆（ ）

A.内含 B.内切 C.相交 D.外切

2、平行于直线012yx且与圆522yx

相切的直线的方程是（ ）

A.052yx或052yx

B.052yx或052yx

C.052yx或052yx

D.052yx或052yx

3、直线)(02)1()1(Raayaxa与圆072222yxyx（ ）

A.相切 B.相交

C.相离 D.位置关系不确定

4、圆心在直线04yx上,且经过两圆2x

0462xy和028622yyx的交点的圆的方程为（ ）

A.032722yxyx

B.016722yxyx

C.094422yxyx

D.084422yxyx

5、过点)3,2(的直线l与圆yxyx4222

0相交于BA,两点，则||AB取得最小值时l的方程为（ ）

A.05yx B.01yx

C.05yx D.012yx

6、若直线bxy与曲线21yx有且只

有一个公共点，则b的取值范围是（ ）

A.}2|{bb B.}2{]1,1(

C.]2,1[ D.)1,2(

7、若圆8)1()1(:22yxC上有且只有两

个点到直线0myx的距离等于2，则实数m的取值范围是（ ）