【2021中考数学】四边形压轴题含答案
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1 2021年中考九年级数学：四边形压轴题
1、解答下列各题
（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且ADCED，求证：//ABCD；
（2）如图2，在正方形ABCD中，8AB，6BE，4DF．
①试判断AEF的形状，并说明理由；
②求AEF的面积．
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当MN∥AB时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
2
3、如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）如图2，若∠BAC＝30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．
4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．
（1）判断△AFG的形状并说明理由．
（2）求证：BF＝2OG．
【迁移应用】
（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 3
5、如图1，在ABCD中，以BC为边作等边BCP，交AD于点E，F，且AEDF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图2，连接AP，AC，若1EF，3BC．
①求证：APPC；
②求AC的长．
6、已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE＝1，AE＝，CE＝3，求∠AED的度数；
（3）若BC＝4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一 4 边DF与边DM重合时（如图2），若OF＝，求CN的长．
7、如图1，在ABCD中，60ABC，:7:8ABAD，E为CD边上一点，8CE，连接AE，BE，且AEAB．
（1）求证：EB平分AEC；
（2）当:2:5CEED时，在AD上找一点P，使PBPE的和最小，并求出最小值；
（3）如图2，过点E作EFBE交AD于点F，求DFDE的值．
8、问题探究
（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为______ ； 5 （2）如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．
9、如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点E是射线DC上一个动点（点E与点D不重合），连接AE，BE，以BE为边在线段AD的右侧作正方形BEFG，连结CG．
（1）当点E在线段DC上时，求证：△BAE≌△BCG；
（2）在（1）的条件下，若CE＝2，求CG的长；
（3）连接CF，当△CFG为等腰三角形时，求DE的长． 6
10、在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．
11、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长． 7
12、如图，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．
13、如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．
（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．
①线段DG与BE之间的数量关系是 ；
②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ； 8 （2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．
（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．
14、（1）【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 BE＝AF
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）【问题发现】
当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线的时候，直接写出线段AF的长．
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参考答案
1、解答下列各题
（1）已知：如图1，直线AB、CD被直线AC所截，点E在AC上，且ADCED，求证：//ABCD；
（2）如图2，在正方形ABCD中，8AB，6BE，4DF．
①试判断AEF的形状，并说明理由； 10 ②求AEF的面积．
【解答】解：（1）延长AC至F，如图1，
FCDCEDD，ADCED，
FCDA，
//ABCD；
（2）①如图2，延长AF交BC的延长线于点G，
正方形ABCD中，8AB，4CF，
4DFCF，
90DFCG，AFDCFG，
()ADFGCFASA，
AFFG，
8AB，6BE，
22228610AEABBE， 11 2810EGCECG，
AEEG，
EFAG，
AEF是直角三角形；
②AEFABEADFCEFABCDSSSSS正方形
11164868442222，
20．
2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，BC＝10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）当MN∥AB时，求t的值；
（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．
【解答】解：（1）如图1，过D作DG∥AB交BC于G点．则四边形ADGB是平行四边形．
∵MN∥AB，
∴MN∥DG，
∴BG＝AD＝3． 12 ∴GC＝10﹣3＝7．
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN＝t，CM＝10﹣2t．
∵DG∥MN，
∴△MNC∽△GDC．
∴＝，
即＝．
解得，t＝；
（2）分三种情况讨论：
①当NC＝MC时，如图2，即t＝10﹣2t，
解得：t＝；
②当MN＝NC时，如图3，过N作NE⊥MC于E．
由等腰三角形三线合一性质得
EC＝MC＝（10﹣2t）＝5﹣t．
在Rt△CEN中，cosC＝＝，
又在Rt△DHC中，cosC＝＝，
∴＝．
解得：t＝； 13 ③当MC＝MN时，如图4，过M作MF⊥CN于F点，FC＝NC＝t．
∵∠C＝∠C，∠MFC＝∠DHC＝90°，
∴△MFC∽△DHC，
∴＝，
即＝，
解得：t＝．
综上所述，当t＝、t＝或t＝时，△MNC为等腰三角形．
3、如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）如图2，若∠BAC＝30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．
