2020年中考数学压轴题精选：《四边形》(含答案)

1 2020中考数学压轴题综合提升训练：

《四边形》

1．如图①，在矩形ABCD中，已知BC＝8cm，点G为BC边上一点，满足BG＝AB＝6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EF⊥AE，交线段CD于点F．设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图②所示．

（1）图①中，CG＝

2 cm，图②中，m＝ 2 ；

（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；

（3）在图①中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分△AEF的面积，求此时t的值．

解：（1）∵BC＝8cm，BG＝AB＝6cm，

∴CG＝2cm，

∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°，

∴△ABE∽△ECF，

∴，

∵t＝6，

∴BE＝6cm，CE＝2cm，

∴

∴CF＝2cm，

∴m＝2，

故答案为：2，2； 2 （2）若点F是CD中点，

∴CF＝DF＝3cm，

∵△ABE∽△ECF，

∴，

∴

∴EC2﹣8EC+18＝0

∵△＝64﹣72＝﹣8＜0，

∴点F不可能是CD中点；

（3）如图①，过点H作HM⊥BC于点M，

∵∠C＝90°，HM⊥BC，

∴HM∥CD，

∴△EHM∽△EFC，

∴

∵AG平分△AEF的面积，

∴EH＝FH，

∴EM＝MC，

∵BE＝t，EC＝8﹣t，

∴EM＝CM＝4﹣t，

∴MG＝CM﹣CG＝2﹣，

∵，

∴ 3 ∴CF＝

∵EM＝MC，EH＝FH，

∴MH＝CF＝

∵AB＝BG＝6，

∴∠AGB＝45°，且HM⊥BC，

∴∠HGM＝∠GHM＝45°，

∴HM＝GM，

∴＝2﹣，

∴t＝2或t＝12，且t≤6，

∴t＝2．

2．问题提出：

（1）如图1，△ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线m∥n，在直线m上任取一点D，连接BD、CD，则△ABC的面积 ＝ △DBC的面积．

问题探究：

（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG＝6，∠A＝60°，求△DGE的面积；

问题解决：

（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求△ABP周长的最小值．

解：问题提出：

（1）∵两条平行线间的距离一定，

∴△ABC与△DBC同底等高，即△ABC的面积＝△DBC的面积， 4 故答案为：＝；

问题探究：

（2）如图2，连接BD，

∵四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，

∴AD∥BC，BC∥EF，AD＝AB，BG＝BE，

∴∠A＝∠CBE＝60°，

∴△ADB是等边三角形，△BGE是等边三角形，

∴∠ABD＝∠GBE＝60°，

∴BD∥GE，

∴S△DGE＝S△BGE＝BG2＝9；

（3）如图3，过点P作PE∥AB，交AD于点E，

∵△ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，

∴×12×AE＝×12×10

∴AE＝8，

作点A关于PE的对称点A'，连接A'B交PE于点P，此时△ABP周长最小， 5 ∴A'E＝AE＝8，

∴AA'＝16，

∴A'B＝＝＝20，

∴△ABP周长的最小值＝AP+AB+PB＝A'P+PB+AB＝20+12＝32．

3．（1）方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF．将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，易证△GAF≌△EAF，从而得到结论：DE+BF＝EF．根据这个结论，若CD＝6，DE＝2，求EF的长．

（2）方法迁移：

如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论．

（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

解：（1）方法感悟：

∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴GB＝DE＝2，

∵△GAF≌△EAF

∴GF＝EF，

∵CD＝6，DE＝2

∴CE＝4，

∵EF2＝CF2+CE2， 6 ∴EF2＝（8﹣EF）2+16，

∴EF＝5；

（2）方法迁移：

DE+BF＝EF，

理由如下：如图②，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，

∵∠EAF＝∠DAB，

∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，

∴∠HAF＝∠EAF，

∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，

∴点H、B、F三点共线，

在△AEF和△AHF中，

∴△AEF≌△AHF（SAS），

∴EF＝HF，

∵HF＝BH+BF，

∴EF＝DE+BF．

（3）问题拓展：

EF＝BF﹣FD，

理由如下：在BC上截取BH＝DF， 7

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，

∴△ABH≌△ADF（SAS）

∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AD，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，

∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AD，

∴△HAE≌△FAE（SAS）

∴HE＝EF，

∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．

4．如图1，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（0＜＜4），连结PQ，MQ，解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥MN？

（2）当t为何值时，∠CPQ＝45°？

（3）当t为何值时，PQ⊥MQ？

8 解：（1）∵AB＝3cm，BC＝5cm，AC⊥AB，

∴AC＝＝4cm，

∵MN∥AB，PQ∥MN，

∴PQ∥AB，

∴，

∴，

∴t＝s

（2）如图2，过点Q作QE⊥AC，则QE∥AB，

∴，

∴，

∴CE＝，QE＝t，

∵∠CPQ＝45°，

∴PE＝QE＝t，

∴t+t+t＝4，

∴t＝s

（3）如图2，过点P作PF⊥BC于F点，过点M作MH⊥BC，交BC延长线于点H，

∴四边形PMHF是矩形，

∴PM＝FH＝5，

∵∠A＝∠PFC＝90°，∠ACB＝∠PCF，

∴△ABC∽△FPC，

∴， 9 ∴＝

∴PF＝，CF＝，

∴QH＝5﹣FQ＝5﹣（CF﹣CQ）＝，

∵PQ⊥MQ，

∴∠PQF+∠MQH＝90°，且∠PQF+∠FPQ＝90°，

∴∠FPQ＝∠MQH，且∠PFQ＝∠H＝90°，

∴△PFQ∽△QHM，

∴，

∴

∴t＝s．

5．问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得四边形EFGH是正方形．

类比探究：如图2，在正△ABC的内部，作∠1＝∠2＝∠3，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）．

（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；

（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；

（3）如图3，进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．

（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：

∵△ABC是正三角形，

∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC， 10 又∵∠1＝∠2＝∠3，

∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAF，

在△ABD、△BCE和△CAF中，，

∴△ABD≌△BCE≌△CAF（ASA）；

（2）△DEF是正三角形；理由如下：

∵△ABD≌△BCE≌△CAF，

∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，

∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，

∴△DEF是正三角形；

（3）c2＝a2+ab+b2．作AG⊥BD于G，如图所示：

∵△DEF是正三角形，

∴∠ADG＝60°，

在Rt△ADG中，DG＝b，AG＝b，

在Rt△ABG中，c2＝（a+b）2+（b）2，

∴c2＝a2+ab+b2．

6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠ABC＝∠CDA＝90°，BC＝CD，延长BC交AD的延长线于点E．

（1）求证：AB＝AD；

（2）若AE＝BE+DE，求∠BAC的值；

（3）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P，连接PB．设PB＝a，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由．