正切函数的图象和性质导学案
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正切函数的图象和性质导学案
正切函数的图象和性质导学案
【教学⽬标】
知识与技能1. 能借助于正切线作出正切函数的图象，认识正切函数的图象特征。
2. 利⽤正切函数图象理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
3. 正确认识正切函数在每个单调区间内都是单调增函数，会利⽤整体代换与数形结合思想
解决与正切函数有关问题。
过程与⽅法
培养学⽣作图能⼒及运⽤函数图象分析、探究问题的能⼒。
情感、态度、价值观
经历根据正切线描绘函数图象的过程，进⼀步体会函数线的作⽤。
【教学重、难点】
重点：正切函数的图象及其性质
难点：正切函数的定义域不得被遗忘
【教学过程】
⼀、引⼊
回忆如何⽤正弦线作正弦函数图象的？
能否⽤正切线画出函数tan y x =，(,)22x ππ∈-的图象？ ⼆、探究⽤正切线作正切函数图象
三、根据正切函数图象探究正切函数的性质1、定义域：|,2x x k k Z ππ?
≠+∈
2、值域：R
3、周期性：最⼩正周期π
4、奇偶性：奇函数，对称中⼼(
,0)2k π()k Z ∈ 5、单调性：在区间(,)()22
k k k Z π
π
ππ-++∈上单调增 四、例题分析
【例1】不求值，判断下列各式的符号。(1)0tan 380tan 58- (2)3tan()tan 57
ππ-- (3)3tan()tan()57ππ--- (4)11tan()4π--13tan()5
π- (1)“-” (2)“-” (3)“+” (4)“-”
【例2】求函数tan()3y x π=+的定义域、值域和单调区间，最⼩正周期。 解：由32x k π
π
π+≠+()k Z ∈，
得6x k π
π≠+()k Z ∈ ∴tan()3y x π=+的定义域为|,6x x k k Z ππ??≠+∈
值域为R 由在每个区间上正切函数是增函数可知232k x k πππππ-<+<+ 解得566k x k ππππ-<<+，即函数的单调增区间为5(,)66
k k ππππ-+()k Z ∈， 函数没有减区间 由1T π
=得，最⼩正周期为π
反馈演练1、⽐较⼤⼩：
(1)0tan(68)- 0tan18 (2)13tan()4π-
17tan()4
π- (1)“<” (2)“=” 2、求函数tan 3y x =的定义域，值域，单调增区间，最⼩正周期。 定义域|36k x x ππ??≠
+()k Z ∈ 值域：R 单调区间增区间：(
,)3636k k ππππ-+()k Z ∈，⽆单调减区间。 最⼩正周期：3
π
【例3】观察正切函数图象，写出符合下列条件的x 取值范围
(1)tan 0x = (2)1tan 0x -≤< (3)tan x (1){}|,x x k k Z π=∈ (2)|,4x k x k k Z πππ??-≤<∈(3)|,32x k x k k Z ππππ??+<<+∈
五、课堂练习1.关于正切函数tan y x =，下列判断不正确的是 ② 。
①是奇函数； ②在整个定义域上是增函数；
③在定义域内⽆最⼤值和最⼩值； ④平⾏于x 轴的直线被正切曲线各⽀所截线段相等
2.函数tan 3x y =的⼀个对称中⼼3(6,0)2
k k Z ππ+∈。
3.求函数tan(
3)3y x π=-的定义域、值域，并指出它的单调性、奇偶性和周期性。 定义域：5|,318k x x k Z ππ?
≠+∈
值域：R 单调性：单调减区间5(,)318318
k k k Z ππππ-+∈，⽆单调增区间 奇偶性：奇函数 周期性：周期函数，最⼩正周期为3π 4. 解不等式
(1)1tan x -≥0 (2)tan(6x π-)≥3
(1),24k k k Z ππππ??-+∈ (2),62k k k Z ππππ??-+∈ 六、课堂⼩结：
（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质 定义域：,2x x k k Z ππ?≠+∈
值域：R
周期性：正切函数式周期函数，最⼩正周期T=π 奇偶性：奇函数 单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ??-++∈ 内都是增函数
