三角形、勾股定理知识点整理

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. 全等三角形、勾股定理教案

教学内容

一、三角形

1、三角形的定义：是由三条线段首尾顺次相接所组成的平面图形叫做三角形.

2、组成三角形的元素：三条边和三个角

3、三角形的分类

⑴三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形（一般等腰三角形）等腰三角形底边和腰相等的等腰三角形（等边三角形或正三角形）

⑵三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角是直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形，它是两条直角边相等的直角三角形.

4、三角形的性质

⑴三角形三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边且任意两边之差小于第三边.

⑵三角形的内角和定理：三角形的三个内角和等于180.

⑶三角形的外角和定理：三角形的三个外角和等于360.

⑷三角形的内外角定理：①互补关系：三角形的一个外角与它相邻的内角互补；

②相等关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.

③不等关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

⑸三角形的边角关系：在同一个三角形中：大边对大角，等边对等角，小边对小角；反之，大角对大边，等角对等边，小角对小边也成立.

5、三角形的面积：三角形的面积12底高

二、等腰三角形 .

. 1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2、等腰三角形的性质定理及推论：

性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一.

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.

3、三角形中的中位线

⑴三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半;

⑶三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行；数量关系：可以证明线段的倍分关系；

⑷常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半;

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形;

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形;

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分;

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等;

三、直角三角形

1、直角三角形的两个锐角互余；

2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半；

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

4、直角三角形两直角边ab、的平方和等于斜边c的平方，即222cba

5、常用关系式：由三角形面积公式可得：ACBCCDAB

6、直角三角形的射影定理

从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 .

. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；

推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即22290CDADBDACBACADABCDABBCBDAB

四、全等三角形

1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

3、全等三角形的判定定理：

⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”；

⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

(5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）注意：对应相等意思是：例如三角形ABC和三角形DEF，AB和DE是对应边，AB=DE；

BC和EF是对应边，BC=EF；AC和DF是对应边，AC=DF

角A和角D是对应角，角A=角D

角B和角E是对应角，角B=角E

角C和角F是对应角，角C=角F

这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX和三角形yyy中按顺序写好

4、全等变换：只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换；

全等变换包括一下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换； .

. ②对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；

同步训练：

1、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC边上的点，BE=DE.试判断：

⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌＿＿＿，△ABC是＿＿＿三角形。

3、如图2，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB∥CD，AD∥BC，E、F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有＿＿＿对全等三角形，它们分别是＿＿＿＿＿。

A

B C D

1

A D

B C E F

图3 A

B C D

O

图4 A D

B C E F

图5 A D

B E F C 2 .

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5、如图4，四边形ABCD的对角线相交于O点，且有AB∥DC，AD∥BC，则图中有＿＿＿对全等三角形。

6、如图5，已知AB＝DC，AD＝BC，E、F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝＿＿＿＿。

7、如图6，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝＿＿＿＿。

8、在等腰△ABC中，AB＝AC＝14cm，E为AB中点，DE⊥AB于E，交AC于D，若△BDC的周长为24cm，则底边BC＝＿＿＿＿。

9、若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，则△ABD≌△A′B′D′，理由是＿＿＿＿＿＿，从而AD＝A′D′，这说明全等三角形＿＿＿＿相等。

10、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线相交于O，则∠AOB＝＿＿＿＿。

知识点二：

1、勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即：。

要点诠释： A E B

O

F C

图6 A B C

D 图7 .

. 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

（定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； .

. 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是