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知识点27 直角三角形、勾股定理

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初中数学压轴

知识点27 直角三角形、勾股定理

一、选择题

10．（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC不是．．直角三角形的为（ ）

A．AB＝41，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5

C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．213cosAtanB23－－骣÷ç÷+ç÷ç÷ç桫＝0

【答案】C

【解析】A中，∵4＜5＜41，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（41）2=41，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；B中，∵AB：BC：AC=3：4：5，设AB=3k，BC=4k，AC=5k，∵AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2，AC2=（5k）2=25k2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形；C中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，∴△ABC不是直角三角形；D中，∵213cosAtanB23－－骣÷ç÷+ç÷ç÷ç桫=0，又∵1cosA2－≥0，23tanB3－骣÷ç÷ç÷ç÷ç桫≥0，∴cosA=12，tanB=33，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC是直角三角形．故选C．

13．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到

△DEC,连接BD,则BD2的值是________

第13题图

【答案】843+

【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝22,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x＝31-,DM＝MB＝31+,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843+.

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11．（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．

9．(2019·广元)如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连接BE并延长

BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:①BE＝DE;②CE+DE＝EF;③S△DEC＝13412-,④231DHHC=-.则其中正确的结论有( )

A.①②③ B.①②③ ④ C.①②④ D.①③④

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第9题图

【答案】A

【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝13412-,③正确;④tan∠HBC＝2－3,∴HC＝2－3,DH＝1－HC＝3－1,∴3+1DHHC=,④错误.故选A.

10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为

( )

A.524 B.532 C.173412 D.173420

【答案】A

【解析】如图所示：设DM＝x，则CM＝8﹣x，

根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，

解得：x＝4，∴DM＝6， 初中数学压轴

∵∠D＝90°，由勾股定理得：BM＝222243BDDM＝5，

过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，

∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，

∴BHBDABBM，即385BH，解得BH＝524，即水面高度为524．

7．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】如图所示，

∵AM=MN=2，NB＝1，

∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，

∴25522AB，16422AC，9322BC,

∴222ABBCAC，

∴△ABC是直角三角形.

1.（2019·湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形．P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

A．22 B．5 C．352 D．10

【答案】D．

【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心O，作直线OP，得线段AB，则沿折痕AB裁剪，即可将该图形面积两等分．过点A作AC⊥BD于点C，则∠ACB＝90°．由中心对称的性质可知，BD＝EF＝AG，从而BC＝1．又AC＝3，故在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝2231＝10．故选D．

初中数学压轴

2. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出

A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和

【答案】C

【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c2－a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,即S阴影＝S重叠,故选C.

3.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )

A.8 B.42 C.224+ D.322+

【答案】D

【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AD=BD.

∵BE⊥AC，AD⊥BD，

∴∠DAC=∠DBH，

∴△DBH≌△DAC（ASA）.

∵DG⊥DE，

∴∠BDG=∠ADE，

∴△DBG≌△DAE（ASA），

∴BG=AE，DG=DE， 12题图FCBADEG 初中数学压轴

∴△DGE是等腰直角三角形，

∴∠DEC=45°.

在Rt△ABE中，BE=223122-=，

∴GE=221-，

∴DE=222-.

∵D，F关于AE对称，

∴∠FEC=∠DEC=45°，

∴EF=DE=DG=222-，

DF=GE=221-，

∴四边形DFEG的周长为2（221-+2-22）=32+2.故选D．

4.

5.

6.

7.

8.

二、填空题

15．（2019·苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.

（图①） （图②）

（第15题）

【答案】522

【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12×10=5cm，设正方形阴影部分的边长为xcm，则5x=sin45°=22，解得x=522，故答案 初中数学压轴

为522.

第15题答图

17．（2019·威海）

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝ °

【答案】105°

【解析】过点D作DE⊥ AB于点E， 过点C作 CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝ AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.

18．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为 cm：（结果保留根号）．

（第18题） 【答案】10+122

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勾股定理知识点总结大全

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一、勾股定理的定义

勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。

具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。

这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。

二、勾股定理的证明

1. 几何证明

勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。

常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。

2. 代数证明

另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。

通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。

三、勾股定理的性质

1. 勾股三元数

根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。

例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。

勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。

2. 勾股定理的逆定理

对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。 这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。

3. 勾股定理的推广

在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。例如，在任意三角形中，如果一个角是直角，则它的边满足a²+b²=c²。这是由三角形的余弦定理推广而得，是勾股定理在更一般的情况下的应用和拓展。

勾股定理知识点+对应类型

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第二章 勾股定理、平方根专题

第_节勾股定理

-、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为 a, b,斜边长为c,那么

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a, b, c有下面关系：a2+ b2= c2,那么这个

三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2+ b2= c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a, b, c、为勾股数，那么

ka, kb, kc同样也是勾股数组。）

* 附：常见勾股数: 3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角

三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为 c）; (2) 若c2= a2+ b2,则^ ABC是以Z C为直角的三角形；

若a2 + b2v c2,则此三角形为钝角三角形(其中 c为最大边)；

若a2 + b2> c2,则此三角形为锐角三角形(其中 c为最大边)

4. 注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ,那么它所对的直角边等于斜边的

(3) 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角

等于30° 。

5. 勾股定理的作用：

(1) 已知直角三角形的两边求第三边。

(2) 已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

(3) 用于证明线段平方关系的问题。

(4) 利用勾股定理，作出长为 际 的线段

二、 平方根：(11——19的平方)

1、 平方根定义：如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根。(也称为二次方

勾股定理(知识点+题型分类练习)

勾股定理(知识点+题型分类练习)

ABCabc弦股勾勾股定理（知识点）

【知识要点】

1. 勾股定理的概念：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

常用关系式

由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC

2. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

3. 勾股数：

①满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数

（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等

③用含字母的代数式表示n组勾股数： 221,2,1nnn（2,nn为正整数）；

2221,22,221nnnnn（n为正整数）

2222,2,mnmnmn（,mnm，n为正整数）

4.判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（4）如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

5.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° ACBD （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

勾股定理重点知识点

勾股定理重点知识点

勾股定理重点知识点

2017精选关于勾股定理重点知识点

一、勾股定理与逆定理

A.勾股定理

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。

1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。

2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。

3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。

B.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。然后进一步结合其他已知条件来解决问题。

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。

面积分割法、构造直角三角形

二、实数与数轴

1、实数与数轴上的点是一一对应关系。 任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。

2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。

3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。

三、矩形的性质

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有;

②角：矩形的四个角都是直角;