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勾股定理知识点总结梳理

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勾股定理知识点总结梳理

一、概念

勾股定理是指直角三角形中，直角边上的两个小正方形的面积之和等于斜边上的一个大正方形的面积。具体来说，设直角三角形的斜边长为 c，直角边长分别为 a 和 b，则有 a^2 +

b^2 = c^2。这就是著名的勾股定理。这个定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，因而也被称为毕达哥拉斯定理。

二、证明方法

勾股定理的证明方法有很多种，其中比较经典的是几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明

几何证明是从图形的角度出发，通过构造几何图形来证明勾股定理。一种经典的几何证明是通过构造一个边长为 a+b，边长为 a，b的三个正方形，然后利用这三个正方形的关系来证明勾股定理。具体步骤如下：

（1）首先，我们分别在直角三角形的两条直角边上分别构造正方形，假设它们的边长分别为 a 和 b。

（2）然后再对边长为 a+b 的正方形进行构造，使得它的面积等于 a^2 + b^2，这样就构成了一个大正方形。

（3）最后，我们可以通过计算其中每个三角形的面积，再将它们相加，就可以得到大正方形的面积，从而证明 a^2 + b^2 = c^2。

2. 代数证明

代数证明是通过代数方程式来推导和证明勾股定理。一种经典的代数证明方法是利用平面直角坐标系，假设直角三角形的顶点分别为（0,0）、（a,0）和（0,b），斜边的顶点为（a,b）。然后根据两点间的距离公式，可以推导出 a^2 + b^2 = c^2。这种方法比较直观和简单，适合初学者理解和掌握。

三、应用

勾股定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。主要体现在以下几个方面：

1. 测量和建筑

在测量和建筑领域，勾股定理被广泛应用于测量三角形的边长和角度，以及设计相应的建筑结构。例如，在房屋建筑中可以利用勾股定理来确定墙角是否垂直，以及计算各种角落的长度。 2. 航空航天

在航空航天领域，勾股定理被应用于导航、飞行轨迹规划和飞行器设计等方面。例如，飞行员需要根据勾股定理计算飞机的飞行距离和高度，以确保飞行过程中的安全。

3. 物理学

在物理学中，勾股定理被应用于研究物体的运动轨迹、速度和加速度等方面。例如，通过勾股定理可以推导出物体的位移、速度和时间之间的关系，从而进一步研究和分析物体的运动规律。

4. 数学研究

在数学研究中，勾股定理被广泛用于解决各种三角形的性质和关系问题，例如三角函数、三角恒等式、三角方程等。勾股定理为三角形的研究提供了重要的基础，对于推导和证明三角形性质具有重要意义。

综上所述，勾股定理是几何中的一个重要定理，它不仅对于数学理论研究有着重要的意义，也在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。通过对勾股定理的概念、证明方法和应用进行总结梳理，可以更好地理解和掌握这一重要定理，为进一步深入学习几何学和数学研究奠定坚实基础。

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勾股定理(讲义)

勾股定理(讲义)

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

勾股定理知识点总结、经典例题

勾股定理知识点总结、经典例题

知识点及例题

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ， c2=(a+b)2-2ab

知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；

3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。

2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理

一．勾股定理证明与拓展

模型一 .

图中三个正方形面积关系

思考：如下图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？

例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .

变式1：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234SSSS，，，，则41SS=______.

变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.

（变式2） （变式3）

变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为

．

（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC＋BC＝6，空白部分面积为

10.5，则阴影部分面积

模型二

勾股定理复习考点(全)-经典

勾股定理复习考点(全)-经典

第1页—总8页 1 勾股定理复习考点(全)-经典

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.

该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.

④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：

（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 )

(9，12，15 )

4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

第2页—总8页 2 S3S2S1

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．

3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）

A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1

4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。