高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1

1 第2课时 双曲线几何性质的应用

学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．

知识点一 直线与双曲线的位置关系

思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？

答案 不能．

梳理 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

知识点二 弦长公式

若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＋k2x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2y1＋y22－4y1y2].

1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × )

2．直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．( √ )

类型一 直线与双曲线的位置关系

例1 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为233，且过点(6，1)． 2 (1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 直线与双曲线的位置关系

解 (1)由e＝233，可得c2a2＝43，

所以a2＝3b2，

故双曲线方程可化为x23b2－y2b2＝1.

将点P(6，1)代入双曲线C的方程，

解得b2＝1，所以双曲线C的方程为x23－y2＝1.

(2)联立直线与双曲线方程，

 y＝kx＋2，x2－3y2－3＝0，消去y，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由题意得，

 Δ＝72k2－－3k2－，1－3k2≠0，

解得－1

所以k的取值范围为－1，－33∪－33，33∪33，1.

反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．

(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．

(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论．

跟踪训练1 已知双曲线x2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 直线与双曲线的位置关系

解 当直线l的斜率不存在时，

直线l：x＝1与双曲线相切，符合题意．

当直线l的斜率存在时， 3 设l的方程为y＝k(x－1)＋1，

代入双曲线方程，

得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.

当4－k2＝0时，k＝±2，

直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；

当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝52.

综上，k＝52或k＝±2或k不存在．

类型二 弦长公式及中点弦问题

例2 双曲线的方程是x24－y2＝1.

(1)直线l的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l的方程；

(2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程．

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 弦长及弦中点问题

解 (1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，

Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，

∴m2>3.

设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则x1＋x2＝－83m，x1x2＝m2＋3.

由弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|，得

2×－83m2－m2＋3＝8311，

∴42×m2－33＝8311，即m＝±5，满足m2>3，

∴直线l的方程为y＝x±5.

(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点，

点P(3,1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2.

由x23－4y23＝4，x24－4y24＝4，

两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0，

∴y3－y4x3－x4＝34， 4 ∴l′的方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.

把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋114＝0，

满足Δ>0，

∴所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0.

反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．

跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x23＋y24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x－3y＋6＝0交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．

(1)求此双曲线的方程；

(2)求|AB|.

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 弦长及弦中点问题

解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)，

即是双曲线的顶点，

因此设双曲线方程为y2－mx2＝1(m>0)，①

又直线15x－3y＝－6，②

A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①②组成的方程组的两个解．

由 y2－mx2＝1，15x－3y＝－6，

得53－mx2＋4153x＋3＝0，

当m＝53时，显然不满足题意．

当m≠53时，则 x1＋x2＝－415353－m，x1x2＝353－m，

又OA⊥OB，∴OA→·OB→＝0， 5 ∴x1x2＋y1y2＝0，

∴x1x2＋y1y2＝83x1x2＋2153(x1＋x2)＋4＝0，

∴83×353－m＋2153×－415353－m＋4＝0，

∴m＝13，经验证，此时Δ>0.

∴双曲线的方程为y2－x23＝1.

(2)∵ x1＋x2＝－15，x1x2＝94，

∴|AB|＝1＋k2×x1＋x22－4x1x2

＝1＋1532×－152－4×94＝4.

类型三

由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)

例3 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，且OA→·OB→>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 直线与双曲线的位置关系

解 (1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，

由已知得a＝3，c＝2，

所以b＝1.故所求双曲线方程为x23－y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，

可得(1－3k2)x2－62kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点，得

 1－3k2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2， 6 故k2≠13且k2<1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2，

由OA→·OB→>2，得x1x2＋y1y2>2.

又因为y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)

＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝－9k21－3k2＋12k21－3k2＋2

＝3k21－3k2＋2.

所以－91－3k2＋3k21－3k2＋2>2，

所以3k2－91－3k2>0.

又因为k2≠13且k2<1，

所以13

所以k的取值范围是k －1

反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解．

跟踪训练3 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.

(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．

考点 直线与双曲线的位置关系

题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积

解 (1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，

则方程组 x2－y2＝1，y＝kx－1有两个不同的实数根，

整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

∴ 1－k2≠0，Δ＝4k2＋－k2，

解得－2

k的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．

(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l与y轴交于点D(0，－1)．

由(1)知，C与l联立的方程为(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

∴ x1＋x2＝－2k1－k2，x1x2＝－21－k2.

当A，B在双曲线上的一支上且|x1|>|x2|时，

S△OAB＝S△OAD－S△OBD

＝12(|x1|－|x2|)

＝12|x1－x2|；

当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，

S△OAB＝S△ODA＋S△OBD

＝12(|x1|＋|x2|)

＝12|x1－x2|.

∴S△OAB＝12|x1－x2|＝2，

∴(x1－x2)2＝(22)2，

即－2k1－k22＋81－k2＝8，

解得k＝0或k＝±62.

又∵－2

∴当k＝0或k＝±62时，△AOB的面积为2.

1．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围是( )

A．－2＜k＜2 B．－1＜k＜1