2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列求和
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第五节数列求和
课程标准
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和
公式.
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的
几种常见方法.考情分析
考点考法:高考命题常以等差、等比数
列为载体,考查裂项相消、错位相减求和等数列求和方法,涉及奇偶项的求和
问题是高考的热点,常以解答题的形式
出现.
核心素养:数学建模、数学运算、逻辑
推理.
【核心考点·分类突破】
考点一分组、并项、倒序相加求和
[例1](1)数列11
2,214,31
8,…的前n项和为S
n=()
A.2-1
B.(𝐫1)
2+2n
C.(𝐫1)
2-1
2+1D.2-1【解析】选C.数列112,21
4,318,…的前n项和为S
n=(1+2+3+…+n)+(12+1
4+18+…+12)
=(𝐫1)
2+12(1-1
2)
1-1
2=(𝐫1)
2-1
2+1.
(2)设f(x)=2
1+2,则f(1
2024)+f(1
2023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024)=________.【解析】因为f(x)=2
1+2,
所以f(x)+f(1
)=1.
令S=f(1
2024)+f(1
2023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024),①
则S=f(2024)+f(2023)+…+f(1)+f(1
2)+…+f(1
2024),②所以2S=4047,所以S=40472.
答案:40472
(3)(2023·深圳模拟)已知公差为2的等差数列
的前n项和为S
n,且满足S
2=a
3.
①若a1,a
3,a
m成等比数列,求m的值;
②设bn=a
n-2,求数列
的前n项和T
n.
【解析】①由题意知数列
是公差为2的等差数列,设公差为d,则d=2,
又因为S
2=a
3,所以a
1+a
2=a
3,
即2a
1+d=a
1+2d,得a
1=d=2,
所以a
n=a
1+(n-1)d=2n(n∈N*).
又因为a
1,a
3,a
m成等比数列,即
32=a
1a
m,
所以36=2×2m,得m=9.
②因为bn=a
n-2=2n-4n,
所以T
n=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n)
=2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n)
=2×(𝐫1)
2-4×(1-4)1-4
=n(n+1)-4
3×(4n-1)
=n2+n+4
3-4𝐫1
3.
【解题技法】
分组转化与并项求和法
(1)数列的项可以拆分成两类特殊数列,分别对这两类数列求和,再合并后即为原
来的数列的前n项和;
(2)数列的项具有一定的周期性,相邻两项或多项的和是一个有规律的常数,可以
将数列分成若干组求和.【对点训练】
1.已知数列
的通项公式为a
n=ncos(n-1)π,S
n为数列的前n项和,则S
2023=()
A.1009B.1010C.1011D.1012
【解题提示】将a
n=ncos(n-1)π化为a
n=n×-1-1,利用并项法求和.
【解析】选D.因为当n为奇数时cos(n-1)π=1,
当n为偶数时cos(n-1)π=-1,
所以cos(n-1)π=-1-1,
所以a
n=ncos(n-1)π=n×-1-1.
S
2023=(1-2)+(3-4)+…+(2021-2022)+2023
=-1011+2023=1012.
2.设f(x)=44+2,若S=f(1
2024)+f(2
2024)+…+f(2023
2024),则S=________.
【解析】因为f(x)=44+2,
所以f(1-x)=41-
41-+2=2
2+4,
所以f(x)+f(1-x)=44+2+2
2+4=1.
S=f(1
2024)+f(2
2024)+…+f(2023
2024),①
S=f(2023
2024)+f(2022
2024)+…+f(1
2024),②
①+②,得
2S=[f(1
2024)+f(2023
2024)]+[f(2
2024)+f(2022
2024)]+…+[f(2023
2024)+f(1
2024)]=2023,
所以S=2023
2.
答案:202323.已知
是公差d≠0的等差数列,其中a
2,a
6,a
22成等比数列,13是a
4和a
6的等差中项;数列是公比q为正数的等比数列,且b
3=a
2,b
5=a
6.
(1)求数列
和
的通项公式;(2)令c
n=a
n+b
n,求数列
的前n项和T
n.
【解析】(1)因为a
2,a
6,a
22成等比数列,
所以
62=a
2a
22,
即(
1+5)2=(a
1+d)(a
1+21d)①.
因为13是a
4和a
6的等差中项,所以a
4+a
6=26,
即(a
1+3d)+(a
1+5d)=26②,
由①②可得:a
1=1,d=3,
所以a
n=1+(n-1)×3=3n-2,
从而b
3=a
2=4,b
5=a
6=16.因为数列
是公比q为正数的等比数列,
所以b
5=b
3q2,即16=4q2,所以q=2,
从而b
n=b
3qn-3=2n-1.
(2)由于b
n=2n-1,所以b
1=1.
因为c
n=a
n+b
n,
所以T
n=c
1+c
2+…+c
n=(a
1+b
1)+(a
2+b
2)+…+(a
n+b
n)
=(a
1+a
2+…+a
n)+(b
1+b
2+…+b
n)=+(-1)2×3+1-2
1-2
=2n+3
2n2-1
2n-1.
考点二裂项相消法求和
[例2](1)已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令a
n=1
(𝐫1)+(),n∈N*.记数列{a
n}的前
n项和为S
n,则S
2025=________.【解析】由f(4)=2可得4a=2,解得a=1
2,则f(x)=12,
所以a
n=1
(𝐫1)+()=1
𝐫1+
=+1-,
S
2025=a
1+a
2+a
3+…+a
2025
=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(2025-2024)+(2026-2025)
=2026-1.
答案:2026-1
(2)已知数列
的各项均为正数,S
n是其前n项的和.若S
n>1,且6S
n=
2+3a
n+
2(n∈N*).
①求数列的通项公式;
②设bn=1
𝐫1,求数列
的前n项和T
n.
【解析】①因为6S
n=
2+3a
n+2,
(i)n=1时,6S
1=6a
1=
12+3a
1+2,
即
12-3a
1+2=0,解得a
1=2或a
1=1,
因为S
n>1,所以a
1=2;
(ii)n≥2时,由6S
n=
2+3a
n+2,
有6S
n-1=
-12+3a
n-1+2,
两式相减得6(S
n-S
n-1)=
2-
-12+3a
n-3a
n-1,
所以6a
n=
2-
-12+3a
n-3a
n-1,
所以
2-
-12-3a
n-3a
n-1=0,
所以(a
n+a
n-1)(a
n-a
n-1)-3(a
n+a
n-1)=0,
所以(a
n+a
n-1)(a
n-a
n-1-3)=0.
因为数列
的各项均为正数,所以a
n+a
n-1≠0,
所以a
n-a
n-1-3=0,即a
n-a
n-1=3,
