高考数学一轮总复习课件：数列的求和

用心 爱心 专心 高考数学难点之数列的通项与求和

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.

●难点磁场

(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

(1)写出数列{an}的前3项.

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

(3)令bn=)(2111nnnnaaaa(n∈N*)，求limn (b1+b2+b3+„+bn－n).

●案例探究

［例1］已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有nnccbcbc2111=an+1成立，求limnnnSS212.

命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.

错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.

数列的通项与求和

导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．求数列的通项

(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：

an＝ S1， n＝1，Sn－Sn－1， n≥2.

(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．

(3)当已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用__________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1.

(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．

(5)归纳、猜想、证明法．

2．求数列的前n项的和

(1)公式法

①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n项和Sn＝ ，q＝1， ＝ ，q≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n项和：

a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；

b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；

c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；

d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；

e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.

(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

常见的裂项公式有：

①1nn＋1＝1n－1n＋1；

第五节 数列的求和

掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题．

知识梳理

一、直接用等差、等比数列的求和公式求和

1．等差数列{}an的前n项和公式．

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.

2．等比数列{}an的前n项和公式．

Sn＝ na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1. (注意：公比含字母时一定要分类讨论)

二、错位相减法求和

例如{}an是等差数列，{}bn是等比数列，求a1b1＋a2b2＋„＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．

三、分组求和

把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．

四、并项求和

例如求1002－992＋982－972＋„＋22－12的和可用此法．

五、裂项相消法求和

把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项．

1．特别是对于canan＋1，其中{}an是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即

利用canan＋1＝cd1an－1an＋1(其中d＝an＋1－an)．

2．常见的拆项．

1nn＋1＝1n－1n＋1；12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；

1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2；

六、公式法求和

k＝1nk＝nn＋12；k＝1n ()2k－1＝n2；k＝1nk2＝nn＋12n＋16；

k＝1nk3＝nn＋122.

七、倒序相加法求和

如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．

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授课主题 数列求和

教学目标 1．理解等比数列的概念．

2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

4．了解等比数列与指数函数的关系．

教学内容

1．基本数列求和公式法

(1)等差数列求和公式：

Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.

(2)等比数列求和公式：

Sn＝ na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.

2．非基本数列求和常用方法

(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．

常见的裂项公式：

①1nn＋k＝1k1n－1n＋k；

②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；

③1nn＋1n＋2＝121nn＋1－1n＋1n＋2；

④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．

3．常用求和公式

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12；

(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；

2 (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16；

(4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn＋122.

题型一 错位相减法求和

例1、已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)令cn＝an＋1n＋1bn＋2n，求数列{cn}的前n项和Tn.

方法点拨：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)、方程思想、错位相减法．

解 (1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.

当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d.

由 a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，即 11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，