数列求和 学案-高三数学一轮复习

用心 爱心 专心 题目 第三章数列数列的求和

高考要求

等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法

知识点归纳

1等差数列的前n项和公式：

Sn=dnnna2)1(1 Sn=2)(1naan Sn=dnnnan2)1(

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；

当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式

2等比数列的前n项和公式：

当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn=qqan1)1(1

Sn=qqaan11

3拆项法求数列的和，如an=2n+3n

4错位相减法求和，如an=(2n-1)2n

（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式）

5分裂项法求和，如an=1/n(n+1)111nn

（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式）

6反序相加法求和，如an=nnC100

7求数列{an}的最大、最小项的方法：

①an+1-an=„„000 如an= -2n2+29n-3

②1111nnaa (an>0) 如an=nnn10)1(9

③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=1562nn

题型讲解

例1 （分情况讨论）求和：)(*122221NnbabbababaaSnnnnnnn

解：①当a=0或b=0时，)(nnnabS

②当a=b时，nnanS)1(；

用心 爱心 专心 ③当ab时，babaSnnn11

例2（分部求和法）已知等差数列na的首项为1，前10项的和为145，求

等差数列求和方法

【考点1】等差数列的前n项和公式

（1）等差数列的前n项和公式：2)(1nnaanS，或dnnnaSn2)1(1，此式还可变形为ndandSn)2(212．

（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项公式的推导所用方法）．

例1在等差数列{an}中，

（1）已知S12＝84，S20＝460，求S28；

（2）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

【点拨】利用等差数列前n项和公式的变形形式ndandSn)2(212待定系数法求解．

【解析】（1）不妨设Sn＝An2＋Bn，∴172460202084121222BABABA∴Sn＝2n2－17n∴S28＝2×282－17×28＝1092．

（2）∵S6＝S5＋a6＝5＋10＝15，又S6＝2)10(62)(6161aaa∴15＝2)10(61a即a1＝－5而d＝31616aa∴a8＝a6＋2 d＝16S8＝442)(881aa．

【答案】（1）1092；（2）44．

【小结】本题考查等差数列前n项和公式．

例2设等差数列na的第10项为23，第25项为22，求：

（1）数列na的通项公式；

（2）数列na前50项的绝对值之和．

【点拨】通过通项公式找到数列na中的正．负分界项，利用等差数列前n项和公式求解．

【解析】（1）由已知可知22,232510aa，daa151025d152322，解得3d．509101daa533nan．

（2）此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．前50项的绝对值之和

20591175442225017175017501918173211321SSSSSaaaaaaaaaaaaSnn．

高中数学一轮复习讲义

专题十《数列》讲义

10.4数列求和知识梳理.数列求和

1．公式法

(1)等差数列{a

n}的前n项和S

n＝na

1＋a

n

2＝na1＋nn－1d

2.

推导方法：倒序相加法．

(2)等比数列{a

n}的前n项和S

n＝na

1，q＝1，

a

11－qn

1－q，q≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

(3)一些常见的数列的前n项和：

①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1

2；

②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；

③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.

2．几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成

的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，

从而求得前n项和．

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积

构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{a

n}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常

数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．高中数学一轮复习讲义

题型一.裂项相消

1．数列{a

n}的通项公式a

n=1𝐨𝐫1)，已知它的前n项和Sn=99100，则项数n＝（）

A．98B．99C．100D．101

【解答】解：列{an}的通项公式a

n=1𝐨𝐫1)=1−1𝐫1，

所以

=1−12+12−13+⋯+1−1𝐫1=1−1𝐫1，

由于前n项和Sn=99100，

所以1−1𝐫1=99100，

解得n＝99．

故选：B．

2．已知等差数列{a

n}满足a

3＝10，a

1+a

4＝17．

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=3

𝐫1，求数列{bn}的前n项和S

n．

【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，满足a

3＝10，a

1+a

4＝17．

所以

3=10

1+

4=17，解得

1=4

=3，

所以an＝4+3（n﹣1）＝3n+1．

高三数学一轮复习教案(精品)

一、教学目标

- 加深学生对高中数学知识的理解和掌握程度

- 通过复巩固基础知识，为高考做好准备

- 提高学生解决实际问题的数学能力和思维能力

二、教学内容

1. 数列与数列求和

2. 集合与映射

3. 几何运动与解析几何

4. 排列与组合

5. 数与函数

6. 三角函数

7. 概率与统计

三、教学策略

1. 温故知新：复前几年的数学知识，巩固基础，扩宽思路

2. 理论联系实际：通过解决实际问题，让学生理解数学在现实生活中的应用 3. 深入浅出：通过简单直观的解释和例子，帮助学生理解抽象的数学概念

4. 合作研究：鼓励学生在组内合作研究中互相交流、讨论，共同解决问题

5. 引导思考：提出问题，引导学生思考和探索，培养他们的独立思考能力

四、教学步骤

1. 复与导入：通过简单的例子回顾前几年的数学知识，引出本节课的内容

2. 知识讲解与示范：对每个知识点进行详细讲解，并举例说明

3. 学生练：让学生进行相关练，加深对知识点的理解和掌握

4. 错题讲解：对学生练中出现的错误进行解析和讲解，帮助他们纠正错误

5. 拓展练：对部分学生进行拓展练，提升他们的数学能力

6. 总结与展望：对本节课的内容进行总结，并展望下节课的研究内容

五、教学评价 1. 听课笔记：学生根据课堂内容进行听课笔记，评价学生对知识的理解和把握程度

2. 课堂练成绩：对学生在课堂练中的表现进行评价，衡量他们对知识掌握的程度

3. 作业完成情况：检查学生完成作业的质量和准确性，评价他们对知识的掌握程度

以上是高三数学一轮复习教案的大致内容和安排，通过系统的复习和讲解，帮助学生巩固和提高数学知识，为高考做好准备。同时，通过实际问题的解决和思考，培养学生的数学思维能力和应用能力。希望这份精品教案能让学生在高考中取得优异成绩。