平面向量的坐标表示及其运算

一. 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗GHG[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗二．学习新课 1. 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j r r，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r 即为一个位置向量.思考1：对于任一位置向量OA uu u r ，我们能用基本单位向量,i j r r来表示它吗如上图右，设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那么向量OA uu u r 能用向量OM u u u u r 与ON u u u r来表示吗（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ），OM u u u u r 与ON u u u r 能用基本单位向量,i j r r 来表示吗（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j ==u u u u r r u u u r r），于是可得：OA OM ON xi y j =+=+u u u r u u u u r u u u r r r由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA uu u r都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j r r的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.2.向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合吗如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA uu u r ，使OA a =uu u r r.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a r 都存在一个与它相等的位置向量OA uu u r.由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合，所以平面内任意的一个向量a r 都可以正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合.即：a r =OA uu u r =xi y j +r r上式中基本单位向量,i j r r前面的系数x,y 是与向量a r 相等的位置向量OA uu u r 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j r r是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a r 的位置向量OA uu u r是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a r ，并称（x,y ）为向量a r的坐标，记作：a r=（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a r 的坐标，而且也是与a r 相等的位置向量OA uu u r的终点A 的坐标！当将向量a r 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a r的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r.例1. 如图，写出向量,,a b c r r r的坐标.解：由图知()1,2a =r与向量b r 相等的位置向量为OA uu u r ，可知()1,2b OA ==r u u u r与向量c r 相等的位置向量为OB uuu r ，可知()1,2c OB ==-r u u u r[说明] 对于位置向量a r，它的终点的坐标就是向量的坐标；对于起点不在原点的向量,b c r r，我们是通过先找到与它相等的位置向量，再利用位置向量的坐标得到它们的坐标.那么，有没有不通过位置向量，直接就写出任意向量的坐标的方法呢答案是肯定的，而且很简便，但我们需几分钟后再来解决这个问题.让我们先学习向量坐标表示的运算：3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r由于1111(,),a x y x i y j ==+r r r 2222(,)b x y x i y j ==+r r r所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±r r()()1122x i y j x i y j =+±+r r r r()()()()()121212121212,x i x i y j y jx x i y y j x x y y =±+±=±+±=±±r r r r r r()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=r r r r r于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积.4.应用与深化下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量，如何直接写出任意向量的坐标的问题： 例2.如下图左，设()11,Px y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r解：如上图右，向量PQ OQ OP =-u u u r u u u r u u u r()()()22112121,,,x y x y x x y y =-=--从而有 ()2121,PQ x x y y =--u u u r[说明]上面这个式子告诉我们：平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的横坐标与它起点的横坐标的差，纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差，可简称为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”.例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC u u u r u u u r的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=-u u u r()()()13,322,1BC =----=u u u r（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB =u u u r u u u r设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---=u u u r又 ()()32,215,1AB =---=-u u u r故()()1,35,1D D x y ---=-DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.练习：（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗GH解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.则依题意有A(2,1),B(6,3),D(4,5),设C(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)(2,4)(6,6)AC AB AD =+=+=u u u r u u u r u u u r又(,)(2,1)(2,1)AC x y x y =-=--u u u r故(2,1)(6,6)x y --= 于是 x=8, y=7,即C （8，7）.答：队员C 位于距EF 边8米、距FG 边7米处.（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗4m5m 8m 10mA B C DH GFEB(6,3)A(2,1)O E F G H DC 10m8m5m 4myx解：以点F 为坐标原点，以边FG 为x 轴，以边FE 为y 轴，建立如上图右所示直角坐标系.依题意有A(2,1),B(6,3),设D(x,y),则由ABCD 是平行四边形可得：(4,2)DC AB ==u u u r u u u r又D(x,y)，所以可得C(x+4,y+2)由题意54101642826x x y y ≤+≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤+≤≤≤⎩⎩ 于是可得队员D 可能的位置区域如图所示阴影部分（除去点B ）：6261yxO F A B CDHGE例4.已知向量()4,1a =-r 与()5,2b =r ，求23a b +r r的坐标.解：因为()28,2a =-r ，()315,6b =r所以 ()()23815,2623,4a b +=+-+=r r三．巩固练习1. 如图，写出向量,,a b c r r r的坐标.2.已知(1,2)a =-r，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 .3.已知向量()2,3a =-r 与()1,5b =-r ，求3a b -r r 及3b a -r r的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=r r r2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -r r=3()7,14---()()1,57,14-=-3b a -r r=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -r r=()3a b --r r =()7,14--()7,14=-拓展内容：1、已知向量(1,2)a =r.（1）在坐标平面上，画出向量a r ；并求a r= ；（2）若向量a r 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a r的始点P 坐标为_______； （3）向量a r的模与两点P 、Q 间距离关系是 .若 (,)Q P Q P a PQ x x y y ==--r u u u r ，则a PQ ==r u u u r 练习1：已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-r r，求2a b -r r[说明] 在问题一中，先给出向量(1,2)a =r，要求学生在坐标平面上画出向量，增强数形结合的解题意识，感悟向量的模即平面上两点的距离.由此发现并掌握向量模的求法及几何意义.安排（2）小问的目的在于复习巩固位置向量与自由向量的概念，体会并感悟到任何一个自由向量都可转化为位置向量.通过自由向量与位置向量的学习，引出向量平行的概念.向量平行的概念：对任意两个向量,a b r r，若存在一个常数λ，使得a b λ=⋅r r 成立，则两向量a r 与向量b r 平行，记为：//a b r r .2. 在坐标平面上描出下列三点(0,1),(1,3),(3,7)A B C ,完成下列问题： （1）请把下列向量的坐标与模填在表格内：（2）通过画图，你得出什么结论三点A 、B 、C 在一条直线上（3）分析表格中向量的模，你发现了什么AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r（4）分析表格中向量，你还发现了什么2BC AB =u u u r u u u r ，3AC AB =u u u r u u u r，L[说明] 养成解题后反思的习惯，总结如何判断三点共线 方法一：计算三个向量的模长关系.方法二：看两个非零向量之间是否存在非零常数λ. （5）分析表格中向量坐标，你又发现了什么向量坐标之间存在比例关系.思考：如果向量,a b r r 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则2121y yx x =是//的（ ）条件.A 、充要B 、必要不充分C 、充分不必要D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出课本例5 若,a b r r是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则//a b r r的充要条件是1221x y x y =.分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明，（Ⅰ）先证必要性：//a b r r1221x y x y ⇒=非零向量//a b r r ⇔存在非零实数λ，使得a b λ=r r，即1122(,)(,)x y x y λ=，化简整理可得：1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，消去λ即得1221x y x y =（Ⅱ）再证充分性：1221x y x y =//a b ⇒r r（1）若12210x y x y =≠,则1x 、2x 、1y 、2y 全不为零，显然有11220x y x y λ==≠，即1122(,)(,)x y x y λ=a b λ⇒=r r//a b ⇒r r（2）若12210x y x y ==，则1x 、2x 、1y 、2y 中至少有两个为零.①如果10x =，则由a r是非零向量得出一定有10y ≠，⇒20x =，又由b r 是非零向量得出20y ≠，从而，此时存在120yy λ=≠使12(0,)(0,)y y λ=，即a b λ=r r //a b ⇒r r②如果10x ≠，则有20y =，同理可证//a b r r综上，当1221x y x y =时，总有//a b r r所以，命题得证.[说明] 本题是一典型的代数证明，推理严密，层次清楚，要求较高，是培养数学思维能力的良好范例. 练习2：1．已知向量(2,3)a =r ，(,6)b x =r，且//a b r r ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )a b 0a u u r a r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u ur 1a =r 0a a =r u u r 述命题中，其中假命题的序号为 ；[说明] 安排此组练习快速巩固所学基础知识，当堂消化，及时反馈.知识拓展应用3：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线，则k=____（学生讨论与分析）[说明] 三点共线的证明方法总结：法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线.。