高一数学空间几何体试题

高一数学空间几何体试题

1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）

【答案】A

【解析】几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆台，故选A

【考点】简单旋转体的概念

2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD,..

(1)求证：平面PAB丄平面PCD

(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积.

【答案】(1) 见解析 (2)

【解析】(1)欲证平面平面,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可，考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系，易证：,从而平面；

(2)作，垂足为，连结；可证≌是的中点,

从而求得四棱锥的高,进一步求得四棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）因为四棱锥的底面是矩形，所以，

又侧面底面，所以．

又，即，而，所以平面．

因为PAÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． 4分

（Ⅱ）如图，作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．

连结OB，OC，则PO⊥OB，PO⊥OC．

因为PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以OB＝OC．

依题意，ABCD是边长为2的正方形，由此知O是AD的中点． 7分

在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．

在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1． 10分

故四棱锥P-ABCD的体积V＝AB2·PO＝．

【考点】1、平面与平面垂直的判定与性质；2、棱锥的体积.

3. 一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为1的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为 ( 。 )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，该球是棱长为1的正方体的外接球，所以球的直径为正方体的体对角线，应为正方体的体对角线为，所以球的直径为，所以球的表面积为

【考点】本小题主要考查球与内接正方体之间的数量关系.

点评：球的内接正方体的体对角线是球的直径，这个数量关系经常用到，要灵活应用.

4. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图2、图3分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

图1 图2 图3

（1）请在正视图右侧画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积； 【答案】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）64000。

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

4分

（２）该安全标识墩的体积为：

10分

【考点】三视图，常见几何体的几何特征，体积的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及三视图、垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。解答本题的关键，是对三视图画法规则要熟练掌握，对常见几何体的三视图要熟悉。

5. 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为 . 【答案】 【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体为底面直径为1 cm，高为1 cm的圆柱，故其表面积为 【考点】本题考查了三视图的运用

点评：由三视图还原空间几何体以及掌握空间几何体的体积和表面积公式是解决此类问题的关键

6. 已知正方体的棱长为1，则它的外接球的表面积为_____

【答案】

【解析】正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，所以半径为，所以球的表面积为 【考点】本小题主要考查正方体与外接球的关系，和球的表面积的求解.

点评：正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，这两个关系要牢固掌握，灵活应用.

7. 如果一个几何体的三视图如右（单位长度：cm），则此几何体的体积是 . 【答案】

【解析】该几何体的三视图可知，几何体是一个组合体：下部是正方体，棱长为4，

上部是正四棱锥，底面边长为4，高为2；此几何体的体积是：43+=

【考点】本题考查了三视图的运用

点评：弄清原几何体的特点，代入原几何体的体积公式求解即可

8. 正方体的内切球，与各棱相切的球，外接球的体积之比为（ ）

A．1：2：3 B． C． D．

【答案】C

【解析】设正方体的棱长为，则它的内切球半径为，与各棱相切的球半径为，外接球的半径为，所以它们的体积比为.

【考点】本小题主要考查正方体的内切球、与各棱相切的球、外接球之间半径的关系和球的体积公式的应用.

点评：正方体的内切球的直径等于正方体的棱长，与各棱相切的球的直径等于正方体的面对角线，外接球的直径等于正方体的体对角线.

9. （本题满分12分）已知棱长为的正方体中，M,N分别是棱CD,AD的中点。（1）求证：四边形是梯形；（2）求证：

【答案】见解析。

【解析】（1）结合三角形的中位线的性质得到MN=AC，以及MN∥A1C1得到证明。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，根据等角定理得到结论。

证明：（1）连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是棱CD，AD的中点， ∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN=AC。由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1。 ∴MN∥A1C1，且MN= A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MN A1C1是梯形。

（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM=∠D1A1C1

【考点】本题主要考查了空间中确定平面的方法和等角定理的运用。

点评：解决该试题的关键是能通过正方体的性质得到梯形的形状的判定，以及运用等角定理来得到角的相等的证明。

10. 下列命题正确的是 （ ）

A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面

【答案】D

【解析】本试题主要是考查了确定一个平面 方法。

因为选项A中，只有不共线的三点确定一个平面， 错误，选项B中，只有直线和直线外一点可知确定一个平面，故错误，选项C中，空间四边形不是平面，根据平面的基本性质可知，两条相交直线确定一个平面，成立，故选D.

解决该试题关键是要掌握平面的基本性质，三个公理和两个推论。

11. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________

【答案】

【解析】解：三棱锥D1-EDF的体积为

12. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=2，，点E，F分别为棱AB，PD的中点。

（1）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；

（2）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。

【答案】解：（I）平面与平行……………………………………1分

取中点，连，

因为是中点， 所以，

在正方形中，，

所以，

所以为平行四边形，

所以，所以平面……………………………6分

（II）由平面，所以面，又面，

所以 ，由（I）知，易证

所以面，又面，所以，面PCD面PEC…………12分

【解析】略

13. 正方体中，二面角的平面角等于 （ ）

A. B. C . D

【答案】B

【解析】【考点】二面角的平面角及求法．

分析：设正方体的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴，建立空间直角坐标系，则=(0，1，0)，=(-1，1，1)，求出设面ABC的法向量=(1，0，1)，面ABC的法向量=(0，0，1)，由向量法能求出二面角C1-AB-C的平面角．

解答：

解：如图，设正方体的棱长为1，

以DA为x轴，以DC为y轴，以DD为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），

∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，

设面ABC1的法向量为=(x，y，z)，

∵?=0，?=0，

∴，∴=(1，0，1)，

∵面ABC的法向量=(0，0，1)，

设二面角C1-AB-C的平面角为θ，

∴cosθ=|cos＜，＞||=|，

∴θ=45°，

故选B．

点评：本题考查二面角的平面角及求法，是基础题．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用

14. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是

A． B． C． D．6 【答案】C

【解析】解：三视图复原的几何体是底面为等腰直角三角形，直角边为1，高为1的直三棱柱，

15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】此题考查三视图知识

思路：通过三视图，还原立体图形，然后在求体积。此题是一个长方体中挖去了一个倒圆锥。

答案 A

点评：通过三视图还原立体图形是解题的关键

16. 一个空间几何体的三视图及部分数据如右图所示，则这个几何体的体积是 【答案】 【解析】略

17. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：），则该几何体的表面积为（ ）