高一数学空间几何体的表面积与体积试题
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高一数学空间几何体的表面积与体积试题
1. 已知直角三角形的斜边长, 现以斜边为轴旋转一周，得旋转体.
（1）当时，求此旋转体的体积；
（2）当∠A=45°时，求旋转体表面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由中斜边长，，则以斜边为轴旋转一周，所得旋转体的形状是边的高为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；（2）由（1）可得该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．
试题解析：（1）
过作垂线交于，
则， ．
（2）当∠A=45°，其表面积．
【考点】1、求旋转体的体积；2、旋转体的表面积．
2. 若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（ ）倍
A． 3 B． 9 C． 27 D． 3
【答案】D
【解析】设球扩大前后半径为r,R;则扩大后体积为故选D
3. 已知：球的半径为R，要在球内作一内接圆柱，问这个圆柱的底面半径和高为何值时，它的侧面积最大？
【答案】当内接圆柱底面半径为R，高为R时，圆柱的侧面积最大
【解析】解：设球内接圆柱的高为h，底面半径为r,侧面积为S
∴（）2+r2=R2,∴h=2
则S=2πrh=4πr
令y=S2，x=r2，∴y=－16π2x2+16π2R2x
∴当x=时，即r==R时，S取最大值，这时圆柱的高h=2R
故当内接圆柱底面半径为R，高为R时，圆柱的侧面积最大、
4. 正三棱锥P—ABC的侧棱长为l，两侧棱的夹角为2，求它的外接球的体积。 【解析】解：如图，
作PD底面ABC于D，则D为正ABC的中心。
∵ OD底面ABC，
∴P、O、D三点共线。
∵PA=PB=PC=l，APB=2
∴AB==2lsin
∴AD=AB=lsin
设APD=，作OEPA于E，在RtAPD中，
∵sin==sin
又OP=OA=R，
∴PE=PA=l
在RtPOE中，
∵R=PO==
∴V球=[]2
=
5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即，
6. 在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用三棱锥的体积变换：，则
7. 一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ）
A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9
【答案】D
【解析】设球的半径为：1，
则球的外切圆柱的底面半径为：1，高为：2，
球的外切等边圆锥的底面半径为：，圆锥的高为：3
所以球的体积为：
圆柱的体积：2×π12=2π
圆锥的体积：
一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比：2π：3π
即4：6：9
故选D
8. 中心角为135°的扇形，其面积为B，其围成的圆锥的全面积为A，则A：B为（ ）
A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8
【答案】A
【解析】设扇形半径为R,则圆锥底面圆半径为r,则
所以所以
故选A
9. 正六棱锥的高为4cm，最长的对角线为cm，则它的侧面积为_________．
【答案】 cm
【解析】由条件知：正六棱锥底面边长为则斜高为所以正六棱锥的侧面积为
10. 高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）．
【答案】B
【解析】∵从V--H曲线图中可知随着高度的增加，水的体积增加得越来越慢
∴水瓶肯定为下粗上细
故选B
