MBA数学之排列组合

概述

1．排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示。

p(n,m)=n(n-1)(n-2)„„(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1)

2．组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号c(n,m) 表示。

c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);

3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!。

n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,„„nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*„„*nk!)。k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。

原理及应用

一、两个基本计数原理

1加法原理和分类计数法

(1)加法原理

(2)加法原理的集合形式

(3)分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

2乘法原理和分步计数法

(1)乘法原理

(2)合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

二、[例题分析]排列组合思维方法选讲

1． 首先明确任务的意义

例1．从1、2、3、„„、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，„„，19或2，4，6，8，„„，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C(2,1)* C(10,2)* C(2,1)=2*45*2=180。

例2．某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴ 本题答案为：C（8,3）=56。

2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合

例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换 ，共12种。

例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。(A)240

(B)180 (C)120 (D)60

分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有种6方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种10方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种84方法；

（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。

例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)=15*6*1=90种。

例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?

分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。

第一类：这两个人都去当钳工，有10种；

第二类：这两人一个去当钳工，另一个什么都不当，有20种；

第三类：这两人一个当钳工，一个当车工，有80种；

第四类：这两人都当车工，有30种；

第五类：这两人一个当车工，另一个什么都不当，有40种；

第六类：这两人什么都不当，有5种。

因而共有185种。

例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?

分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。

抽出的三数含0，含9，9仅当9使用，有种16方法，C(4,1)*[P(3,3)-2]=16；

抽出的三数含9不含0，9仅当9使用，有种36方法，C(4,2)*P(3,3)=36；

抽出的三数含0不含9，有种24方法，C(4,2) *[P(3,3)-2]=24；

抽出的三数不含9也不含0，有种24方法，C(4,3)*P(3,3)=24；

又因为数字9可以当6用，因此共有2*(16+36)+24+24=152种方法。

例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。

分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有9种停车方法。 3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

例9．六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数__________ ；P6-P4=696 (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数__________。P6-P4-P5= 576

分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

甲在排头，乙在排尾的情况有P(4,4)=24，

甲在排头，乙不在排尾的情况C(4,1)*P(4,4)=96，

甲不在排头，乙在排尾的情况C(4,1)*P(4,4)=96，

甲不在排头，乙不在排尾的情况=P(6,6)-2*C(4,1)*P(4,4)-P(4,4)=504。

（2）甲乙相邻的情况2P5=240，

甲在排头，甲乙相邻的情况P4=24，

乙在排尾，甲乙相邻的情况P4=24。共504-240+24+24=312种。

例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?

分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次测试的有C(4,1)种可能；第二步：前四次有一件正品有C(6,1)种可能。第三步：前四次有P(4,4)种可能。∴C(4,1)*C(6,1)*P(4,4)=4*6*24=576

捆绑与插空

例11． 8人排成一队(1)甲乙必须相邻 (2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻 (4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻

分析：（1）有种P(7,7)*2方法。（2）有P(8,8)-P(7,7)*2种方法。（3）有P(7,7)*2-P(6,6)*2种方法。（4）有P(6,6)*2*2种方法。（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。有P(8,8)-P(7,7)*2*2+P(6,6)*2*2种方法。

例12． 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?

分析：∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5,2)。

例13．马路上有编号为l，2，3，„„，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?

分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。∴共C(6,3)=20种方法。

4．间接计数法

(1)排除法

例14． 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?

分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。所求问题的方法数等于任意三个点的组合数减共线三点的方法数，∴ 共C(9,3)-8=76种。

例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?

分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴ 共C(8,4)-12=58个。12是AbcD、Bcda、ABcd、CDab、ACca、BDdb和6个表面。

例16． l，2，3，„„，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?

分析：由于底数不能为1。（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共P(8,2)=56种，其中log24=log39，log42=log93,

log23=log49, log32=log94。因而一共有1+56-4=53个。(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题

例17． 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，（1）共有多少种不同的方法? （2）如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?

分析：（1）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有P(6,6)/2=360种。（2）先考虑六人全排列P6=720；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了P3=6次， ∴ 共720/6=120种。

例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?

分析：若男生从左至右按从高到矮的顺序，4个女生先后选择位置。第一个有6种（5个男生有6个空位），第二个7种（5个男生1个女生有7个空位）„„共有排法6*7*8*9=3024种。若男生从右至左按从高到矮的顺序，同理也有3024种，综上，有6048种。

例19． 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法?

分析：因为三个红球相同，采用插空法，1O2O3O4，三个红球有四个空。第一个白球有4种选择，第二个白球有5种选择，因而共4*5=20种。

5．挡板的使用