MBA重难点研究之一：排列组合中的分组问题
分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分组问
题，实际上可运用分组问题的方法来解决。下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在
教学中的体会和做法。
一、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？ 分析：分组与顺序无关，是组合问题。分组数是=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以
下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本
数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数624222CCC
33P，所以分法是
624222
33CCCP=15(种)。
例2 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？ 分析：先分组，方法是615233CCC，那么还要不要除以33P？我们发现，由于每组的书
的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有=60(种) 分法。 61CCC5233
例3 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？ 分析：先分组，方法是=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，
其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的
本数不一样，不可能重复。所以实际分法是642111CCC
642111
22CCCP=15(种)。
通过以上三个例题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。 原理一 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，
m，其中k组内元素数目相等，那么分组方案是12
pnmnmmnmmmmm
kkCCCC
Ppp112123−−−…。
二、分组后分配的问题 例4 将上面三个例题中的“分为三组”改为“分给甲、乙、丙三人”，那么各有
排列组合
A卷
一、填空题(每题2分，其20分)
1．从甲地到乙地，可以乘火车、乘轮船或乘汽车。如果某一天，甲地到乙地的火车有2班，轮船有3班，汽车有6班。在这一天中一位旅行者要从甲地到乙地，可以有多少种不同的走法。
2．一位旅行者要从A地到C地且必经8地。已知从A地到B地有4条路可走，从B地到C地有5条路可走，那么从A地到C地共有多少种不同的走法。
3．书架上有语文课外读物8种，数学课外读物20种，外语课外读物36种。小明要从书架上任取一本课外读物，有多少种不同的取法。
4．用l，2，3，4，5五个数字可以组成多少个三位数。(各位上的数字允许相同)
5。学校的演出队有各种服装如下：上衣6种，裙子3种，帽子4顶。从中任取一件上衣，一条裙子，一顶帽子搭成一套演出服装，共可配出多少套不同的演出服装。
6．学校组织一次象棋比赛，每一个人都要与另一个人互相比赛一场。有10位选手参加比赛，一共要进行多少场比赛。
7．幼儿园小班有两样物品：玩具6种，看图识字图书5种。从两样东西中任取一样共有——种不同的取法；从两样东西中各取一样各有多少种不同的取法。
8．在一次战斗中，有红、黄、蓝三种颜色的信号弹各一枚，每次发射可能是一枚、二枚或三枚，并且发射的顺序不同则表示不同的信号。这样一共可以表示多少种不同的信号。
9·有三张卡片，上面分别写着3，4，5。从中任取两张卡片，把卡片上的两个数相加，可以得到多少个不同的和。
10·小红、小丽、小刚三个人参加学校的体育、音乐、美术和数学四个课外兴趣小组，他们每人只能报名参加一个小组，那么报名结果会有多少种不同情形。
二、解答题(30分) ’
1·篮子里有6个苹果，5个梨，7个橘子，现在要小明从中任取一个水果，共有多少种不同的取法?
2·一列火车从北京开往哈尔滨，中途还要停靠8个车站，铁路部门要为这次火车准备多少种不同的车票?
盈通企管
MBA排列组合方法总结
一、【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（）
A、240B、256C、264D、288E、320
解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C；然后排首位共计有14C；最后排其他位置共计有34A；由分步计数原理得.288341413ACC选D
二、【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例：,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）
A、60种B、48种C、36种D、24种E、72种
解析：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种，答案：D.
三、【相离问题】插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）
A、1440种B、3600种C、4800种D、4820种E、4880种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种，选B. 盈通企管
四、【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法.
例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排3个有34A种，故共有2344144CA种.
五、【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:11mnC。
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1．排列组合的意义与计算方法
2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法
(★★☆)
8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了：
⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平；
⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观；
⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些；
⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称”
⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！”
(★★☆)
高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。
(★★☆)
刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？ 小升初计数重点考查内容————
排列组合
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(★★☆)
7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。推选三个人去买饭，有几种选法？
(★★★☆)
饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？
1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？
2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种不同的排法。
