黑龙江省牡丹江一中2017届高三10月月考 数学理.doc

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这个问题中，甲所得为（ ）
A. 3 钱 2
B. 4 钱 3
C. 5 钱 3
D. 5 钱 4
x 2 y 2,
10、已知实数
x、
y
满足约束条件
2x

y

4,
若 a (x, y) ， b (3,1) ，设 z 表示向量 a 在 b 方向上
4x y 1．
的投影，则 z 的取值范围是 (
)
A.
-
3 2
,6
B. -1,6
C.
-
2
3 10
，
6 10

D.
-
1 10
，
6 10

11、下列所有命题中真命题的个数是（
）
①在函数 y cos(x ) cos(x ) 的图象中，相邻两个对称中心的距离为 ；
4
4
②命题：“若 a 0 ，则 ab 0 ”的否命题是“若 a 0 ，则 ab 0 ”；
1，
d

2.
因此 an 2n 1， n N *
（2）由已知 b1 b2 a1 a2

bn an
1
1 2n
n N*
当n
1 时，
b1 a1

1 2
；
当n
2 时，
bn an
1
1 2n
1
1 2n1


1 2n
，
所以 bn an

1 2n
n N*
由（1）知 an 2n 1
2
62
得 f (x) 的单调递增区间为[ k , k ](k Z ) .

、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合A {x N | x2 2x 3 0}的真子集的个数是（）A.9B.8C.7D.6A.(1, 2)B.(1,2)C.(1, 2)D. (1, 2)3、已知a,b表示不冋的直线，,表示不冋的平面，则下列结论正确的个数是（）A.若a〃,b〃, // ，则a//bB.若a//b,a ,b ,，则//2、已知zi 2 i，则复数z在复平面对应点的坐标是（）,，则〃C.若直线a与b是异面直线，且a , bD.若直线a与b是异面直线, ,a〃,b ,b〃，贝U //4、在数列a n中，a1 1, a n a n 1 n 2, n ，则a5的值是（A.些16 B. 15~8 C. D.5、已知P ABC所在平面外的一点，PC X AB,PC= AB= 2,E、F分别为PA和BC的中点.则直线EF与直线PC所成的角为（A.—6B. C. D.6、已知数列{a n}满足1 lO g3a n log 3 a n 1(n N )，且a2 a4 a6 则log 1 (a53a7 a?)A. B. C. 5 D. -57、已知f(x) (3a 1)xlog a x,4a,A. (0,1) B.(0g)8、在ABC中,1,是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是（C.中）D.1 1[?3)已知点D在BC边上，AD2^2 厂AC ,sin BAC , AB 3 2, AD3,3则 CD () A. 3.2B.3.3C.6._2 D. 6._39、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A . 21+3 B . 8+2C. 21D. 1811、已知定义在R 上的函数f (x)满足 f (x) f (x1) 0，当 x [3,5]时，f(x) 2|x 4|，则( )A. f (sin1) f(cos1) B .f (sin)32 f (cos ) 3C. f (sin )6f (cos —)6Df (sin 2) f (cos 2)12、 设函数y2ax 与函数yIn x |- 11的图象恰有3个不同的交点，贝U 实数a 的取值范围为a x( )1~ I -J -.3 3 3 e, 0)(0, e) C. (0, e) D . 3 33.3")｛亍 二、填空题(每题 5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)10、若函数f(x)cos( x6)(0)在［0,］上的值域为的取值范围是A. [|,|] 2 3B.C. D.5 [6A.(討 °)B.(2)"'13、 tan20 tan40 . 3tan20 tan40 = ________________________14、 已知|a| 2,|b| 1,(2a 3b) (2 a b) 9,则a 在a b 方向上的投影为 ________________________15、已知p : x [I,1] ,2x m(x 21),q :函数 f(x) 4x2x 1 m 1存在零点，若p4 2且q 为真命题, 则实数m 的取值范围是16 、 已知数列 {a .}满 足a 1 1, a n 1an(n N *),若a n 2b i ,且数列{b n }是单调递增数列，则实数的取值范围是 __________________ 三、解答题：17、在；中，k ；詁分别是角|的对边，其外接圆半径为 1,(c-^a}co$B + bco$C = 0(1) 求角"的大小；(2) 求卜淤调长的取值范围.18、如图，在直三棱柱屈中，4心90”，卜些川分别是姐，叭的中点.b n 1(n1)(n求证：(1)环」平面；(2)"'19、设％为数列代的前□项和，已知仃°,叮斗，廿恥)•(I)求证：【卩』是等差数列； (n)设，求数列f 的前b 项和叮20、设抛物线C : y 2 2px(p 0)的焦点为F ，准线为I .已知点A 在抛物线C 上，点B 在I 上, ABF是边长为4的等边三角形. (1)求p 的值；(2 )在x 轴上是否存在一点 N ，当过点 N 的直线I 与抛物线 C 交于Q 、R 两点时，21、已知函数f (x) xln x , (1) 求函数f (x)的极值点；(2) 设函数g(x) f (x) a(x 1)，其中a R ，求函数g(x)在区间1, e 上的最小值。

2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x＜a}，B={x|x＜3}，则“a＜3”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（﹣）•（+）=（）A．﹣6 B．﹣2C．2D．63．下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1|C．D．4．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[2，+∞）C．[1，+∞）D．[0，+∞）6．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）7．在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点，若•=1，则AB 的长为（）A ．B ．4C ．5D ．68．已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示，则不等式（x 2﹣2x ﹣3）f ′（x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）9．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且=，点O 在线段CD 上（点O 与点C ，D 不重合），若=x +y ，则x 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，）C ．（0，1）D ．（﹣，0）10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥1”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．非零向量夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（ ）A ．（1，] B ．（0，] C ．（1，2]D ．[1，2]12．已知f （x ）=，g （x ）=（k ∈N *），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a＜b ＜c ，使得f （c ）=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知向量，满足+=（5，﹣10），﹣=（3，6），则，夹角的余弦值为 ．14．将函数f （x ）=sin （2x +φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为 ．15．在下列命题中：①函数f （x ）=x +（x ＞0）的最小值为2；②已知定义在R 上周期为4的函数f （x ）满足f （2﹣x ）=f （2+x ），则f （x ）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f （7）=0；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．16．定义在（﹣2，2）上的奇函数f（x）恰有3个零点，当x∈（0，2）时，f（x）=xlnx ﹣a（x﹣1）（a＞0），则a的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．18．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．用反证法证明：若f（a）+f （b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．19．已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．20．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求证：对任意x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x＜a}，B={x|x＜3}，则“a＜3”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合关系，结合充分条件和必要条件的进行判断即可．【解答】解：若A⊆B，则a≤3，则“a＜3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选：A2．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（﹣）•（+）=（）A．﹣6 B．﹣2C．2D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】正六边形的内角为120°，并且相对的边平行，再根据相等向量，从而得到=．【解答】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：===2+4﹣2+2=6．故选：D．3．下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1|C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A．y=sinx是奇函数，在区间[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．B．y=﹣|x+1|关于x=﹣1对称，关于原点不对称性，不是奇函数，不满足条件．C．由＞0得﹣2＜x＜2，则函数的定义域为（﹣2，2），∵=ln（2﹣x）﹣ln（x+2），∴函数在（﹣2，2）上为减函数，则f（﹣x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x）=﹣[ln（2﹣x）﹣ln（x+2）]，则函数f（x）为奇函数，则C满足条件．D．f（﹣x）=（2﹣x+2x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，不满足条件．故选：C4．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．5．已知表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[2，+∞）C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】设z=2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．则a≥5，故选：A．6．函数f （x ）=sin2x 和函数g （x ）的部分图象如图所示，则函数g （x ）的解析式可以是（ ）A ．g （x ）=sin （2x ﹣）B ．g （x ）=sin （2x +） C ．g （x ）=cos （2x +）D ．g （x ）=cos （2x ﹣）【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得g （x ）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f （）=sin=，由图象可得g （x ）的图象经过点（，），代入验证可得选项A ，g （）=sin ≠，故错误；选项B ，g （）=sin ≠，故错误；选项D ，g （）=cos =﹣cos =≠，故错误；选项C ，g （）=cos=cos=，故正确．故选：C ．7．在平行四边形ABCD 中，AD=2，∠BAD=60°，E 为CD 的中点，若•=1，则AB的长为（ ）A ．B ．4C ．5D ．6 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】•=•（+），而，利用向量数量积的运算法则及定义，得出关于||的方程，即得结果【解答】解：如图所示，由题意可得，•=•（+）=•+•=2﹣，=22﹣cos60°=1，||=6，即AB 的长为6，故选：D ．8．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣，0）【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出【解答】解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），∵f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数f（x）的周期T=2×=π，即=π，则ω=2，即f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得g（x）=f（x﹣）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）．由2sin（2x﹣）≥1，x∈[0，π]，可得sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，解得：x∈[，]，∴事件“g（x）≥1”发生的概率为==．故选：B．11．非零向量夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，]B．（0，]C．（1，2]D．[1，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对两边平方，便得，从而=，这样只要求的范围即可：根据便可得出，这样便可得出的范围，从而得出的取值范围．【解答】解：；∴，，夹角为60°；∴；∴；；∴；∴；∴；∴的取值范围为．故选A．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足+=（5，﹣10），﹣=（3，6），则，夹角的余弦值为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设出、的坐标，利用+与﹣列出方程，求出、的坐标，再求，夹角的余弦值．【解答】解：设=（x1，y1），=（x2，y2），∵+=（5，﹣10），﹣=（3，6），∴，且，解得x1=4，x2=1，y1=﹣2，y1=﹣8，∴=（4，﹣2），=（1，﹣8）；∴，夹角的余弦值为：cos＜，＞===．故答案为：．14．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．15．在下列命题中：①函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f （7）=0；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为②③⑤（写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由函数f（x）=x+（x＞0），知a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，可判断①；②，利用函数的对称性与周期性可得到f（﹣x）=f（x），从而可判断②；③，依题意可求得f（4）=0；f（7）=f（﹣1）=﹣f（1），从而可判断③；④，利用导数法及充分必要条件的概念可判断④；⑤，易求f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，进一步可知，f（x）为R上的为奇函数，从而可判断⑤．【解答】解：①，函数f（x）=x+（x＞0）中，当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；②，∵f（2﹣x）=f（2+x），∴f（4﹣x）=f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，∴f（x）=f（4﹣x）=f（﹣x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，∴f（4）=f（0）=0；f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）+f（4）+f（7）=f（1）+0﹣f（1）=0，故③正确；④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），要使y=f（x）有极值，则方程3ax2+2bx+c=0（a≠0）有两异根，∴△=4b2﹣12ac＞0，即b2﹣3ac＞0；当a+b+c=0（a≠0）时，b=﹣（a+c），b2﹣3ac=（a+c）2﹣3ac=a2+c2﹣ac=（a﹣）2+c2＞0，充分性成立，反之不然；∴a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件，故④错误；⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，又f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）=x﹣sinx为R上的奇函数；∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b=﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0，故⑤正确．综上所述，正确的命题序号为：②③⑤．故答案为：②③⑤16．定义在（﹣2，2）上的奇函数f（x）恰有3个零点，当x∈（0，2）时，f（x）=xlnx ﹣a（x﹣1）（a＞0），则a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1} ．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）为定义在（﹣2，2）上的奇函数便得到f（0）=0，又f（1）=0，从而问题便转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点，可设h（x）=xlnx，g（x）=a（x﹣1），容易判断a=1时h（x）=xlnx与g（x）=x﹣1相切，满足题意．而a＞0，且a≠1时，可以得出g（x）=a（x﹣1）过点（2，2ln2）时，h（x）与g（x）有两个交点，而此时a=2ln2，从而得到要使得g（x）=a（x﹣1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则需满足a ≥2ln2，这样即得出a的取值范围．【解答】解：f（x）为（﹣2，2）上的奇函数；∴f（0）=0，又f（1）=0；∴问题转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点；设h（x）=xlnx，g（x）=a（x﹣1）；①a=1时，h′（x）=lnx+1，∴h′（1）=1；∴h（x）=xlnx在（1，0）处的切线方程为y=x﹣1，即g（x）与h（x）在（1，0）相切，满足g（x）和h（x）只有一个交点，如下图所示：②a＞0，a≠1时，h（x），g（x）都过点（1，0）；∴当g（x）=a（x﹣1）过点（2，2ln2）时与h（x）有两个交点；此时a=2ln2；∴要使g（x）=a（x﹣1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则a≥2ln2；综上所述，a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1}．故答案为：{a|a≥2ln2，或a=1}．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．【考点】柯西不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）不等式f（x）≤3等价于m﹣3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]，建立方程组，即可求实数m的值；（2）由（1）得：a﹣2b+2c=2，再利用柯西不等式求得a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，∴a2+b2+c2≥当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为．18．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．用反证法证明：若f（a）+f （b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．【考点】反证法与放缩法．【分析】根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．【解答】证明：设a+b＜0，则a＜﹣b，b＜﹣a，∵f（x）是R上的增函数，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b），这与题设f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾，∴若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．19．已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴．（Ⅱ）利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴T==π，令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．设BC边上的高为h，=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，则S△ABC∵cosA===，∴bc+9=b2+c2，∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵A=，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=．∴h的最大值为．20．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求证：对任意x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数f′（x），由题意得f′（1）=0，可得a值，代入检验即可；（2）对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e，等价于|f（x1）﹣f（x2）|≤f max （x）﹣f min（x）≤e．问题转化为求函数f（x）的最大值、最小值问题，用导数易求．【解答】解：（1）f′（x）=ae x+（ax﹣2）e x=（ax+a﹣2）e x，由已知得f′（1）=0，即（2a﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f（x）=（x﹣2）e x取得极小值，所以a=1；（2）由（1）知f（x）=（x﹣2）e x，f′（x）=e x+（x﹣2）e x=（x﹣1）e x．令f′（x）=0得x=1，因为f（0）=﹣2，f（1）=﹣e，f（2）=0，所以f max（x）=0，f min（x）=﹣e，所以对任意x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f max（x）﹣f min（x）=e．21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S 的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）min≥0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；（Ⅲ）不等式两边取对数，得到ln（1+）﹣＞0，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0即a=2；（Ⅱ）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）要证，只需证，两边取自然对数得，，⇔ln﹣＞0⇔ln（1+）﹣＞0，由（Ⅱ）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，又＞0，f（0）=0，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，成立．2017年1月2日。

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）1、tan 600o=（ ） .A 3- .B 3 .C 33- .D 33 2、已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则"3"a =是""A B ⊆的（ ）.A 充要条件 .B 充分不必要条件 .C 必要不充分条件 .D 既不充分也不必要条件3、在直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边上有一点()3,4P ，则cos α=（ ）.A 34 .B 43 .C 54 .D 534、函数()212log 2y x =-的定义域为（ ）.A []3,1 .B [)+∞,3 .C (]3,2 .D [)(]3,22,15、在ABC ∆中，,,2AB a AC b BD DC ===，用,a b 表示AD 的结果为（ ）.A b a 3132+ .B b a 3231+ .C b a 3131+ .D b a 3232+6、在下列函数中，函数的一部分图像如图所示的是（ ）A ．2sin(4)6y x π=+B ．2sin(4)3y x π=--C ．2cos(2)3y x π=--D ．2cos(2)6y x π=-7、求函数2ln y x x =-图像上一点到直线2y x =-的最小距离( ) .A 2 .B 2 .C 1 .D 228、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 323sin π的单调递增区间为（ ） .A Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,3232,3231ππππ .B Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,32,3231πππ .C Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+,3231,32πππ .D Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3132,3231ππππ 9、偶函数()xx ae e x f -+=（e 为自然对数的底数）在(0,)+∞上（ ）.A 有最大值 .B 有最小值 .C 单调递增 .D 不单调10、设向量,,a b c 满足1a b ==，21-=⋅，--,的夹角为3π，则c （ ） .A 大小不确定 .B 恒等于2 .C 最小值为1 .D 最大值为211、在ABC ∆中，若()()()()B A b a B A b a +-=-+sin sin 2222，则ABC ∆为（ ）.A 等腰直角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰三角形或直角三角形12、函数()xx x x x x f cos 24sin 2222++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=π的最大值与最小值的和为（ ） .A π .B 2 .C 1 .D 0二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知1,3,a b a b ==⊥，2a b -= .14、已知2cos 212sin 2αα=-，则αsin = .15、函数()()21log sin 42f x x x π=-的零点个数为 个. 16、若对于任意(]e x 3,0∈恒有()224ln e x a x ≤-成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、(10分)已知,m n 为正实数，求证：22m n m n n m+≥+18、（10分）已知曲线P 的参数方程为：()22x t t y t⎧=⎨=⎩为参数，曲线Q 的极坐标方程为：sin sin 33ππρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把P 化成普通方程；Q 化成直角坐标方程；（2）P 、Q 相交,M N 两点，求P 、Q 两点的直角坐标.19、（12分）向量()()()cos ,2cos ,2cos ,sin a x x b x x π==-，若()1f x a b =⋅+（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的对称轴方程；（3）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值.20、（12分）已知函数()()232ln x x x f ++= （1）讨论()x f 的单调性；（2）求()()232ln x x x f ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,43上的最大值与最小值..21、（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，边中点为AB D ，已知C b B c A a cos cos cos 3+=⑴求cos A 的值 ; ⑵若1cos 332cos ,6=+=C B a ，求CD 的长.22、（14分）已知函数()ax x x f -=2，()x x g ln = （1）若()()x g x f ≥ 对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设()()()x g x f x h +=有两个极值点21,x x 且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,01x ，求证：()()2ln 4321->-x h x h (3)设()()⎪⎭⎫⎝⎛++=21ax g x f x r 对任意的()2,1∈a ，总存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x ，使不等式()()201a k x r ->成立，求实数k 的取值范围.。