2021学年高一下学期期中数学试卷含答案
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1 / 22 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B．ac2＞bc2C．D．a+c＞b+c
2．（4分）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝（ ）
A．sin（α+2β）B．sin αC．cos（α+2β）D．cosα
3．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（ ）
A．36B．72C．91D．182
4．（4分）＝（ ）
A．B．C．1﹣D．3﹣
5．（4分）已知函数，当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝（ ）
A．﹣3B．2C．3D．8
6．（4分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
7．（4分）△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ） 2 / 22 A．B．C．D．
8．（4分）若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
9．（4分）下列四个等式：
①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4．
其中正确的等式个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an∈Z，且an+1﹣an﹣1＜3n+，an+2﹣an＞3n+1﹣，则a2021＝（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．（6分）已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则公比q＝；a3＝．
12．（6分）若sinθ＝﹣，tanθ＞0，则cosθ＝，tan2θ＝．
13．（6分）已知{an}是公差不为零的等差数列，a2＝9，且a3是a1和a4的等比中项，则d＝，数列{an}的前n项和Sn的最大值为．
14．（6分）已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，则：
（1）不等式f（x）≥5的解集为； 3 / 22 （2）若不等式f（x）≥m的解集为R，则m的取值范围为
15．（4分）若，则的值为．
16．（4分）数列{an}中，当n为奇数时，an＝5n+1，当n为偶数时，an＝，则这个数列的前2n项的和S2n＝
17．（4分）在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．
三、解答题：本大题公5题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+6．
（Ⅰ）解关于a的不等式f（1）＞0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），求实数a，b的值．
19．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
20．（15分）已知递增等比数列{an}，a3a4＝32，a1+a6＝33，另一数列{bn}其前n项和Sn＝n2+n．
（1）求{an}、{bn}通项公式；
（2）设{}其前n项和为Tn，求Tn．
21．（15分）在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，4 / 22 且bcosA＝sinA（acosC+ccosA）
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求的最小值．
22．（15分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a（a≠3），an+1＝Sn+3n，n∈N*．
（Ⅰ）设bn＝Sn﹣3n，求证：数列{bn}是等比数列，并写出数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若an+1＞an对n∈N*任意都成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B．ac2＞bc2C．D．a+c＞b+c
【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a2＜b2，故选项A错误．
对于选项B：当c＝0时，ac2＝bc2，故选项B错误．
对于选项C：当a＝0或b＝0时，无意义，故选项C错误． 5 / 22 对于选项D：a＞b，所以a+c＞b+c，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．
2．（4分）cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝（ ）
A．sin（α+2β）B．sin αC．cos（α+2β）D．cosα
【分析】利用两角差的余弦函数公式cosAcosB+sinAcosB＝cos（A﹣B），把α+β即为角度A，β即为角度B，变形后可得化简结果．
【解答】解：cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ
＝cos[（α+β）﹣β]
＝cosα．
故选：D．
【点评】此题考查了两角和与差得余弦函数公式，即cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β）及cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β）．熟练掌握公式的特点是解本题的关键．
3．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7+a9＝21，则S13＝（ ）
A．36B．72C．91D．182
【分析】利用等差数列通项公式推导出a5+a7+a9＝3a7＝21，解得a7＝7，再由S13＝（a1+a13）＝13a7，能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a7+a9＝21， 6 / 22 ∴a5+a7+a9＝3a7＝21，
解得a7＝7，
∴S13＝（a1+a13）＝13a7＝91．
故选：C．
【点评】本题考查数列的前13项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）＝（ ）
A．B．C．1﹣D．3﹣
【分析】根据分式的性质，有＝（1﹣），＝（﹣），…＝（﹣）成立，则可得原式＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），化简可得答案．
【解答】解：原式＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝（1﹣）＝；
故选：A．
【点评】本题考查数列的求和，常见方法有错位相减法、分组求和法、裂项相消法等，注意结合数列的特点选择对应的方法．
5．（4分）已知函数，当x＝a时，y取得最小值b，则a+b＝（ ）
A．﹣3B．2C．3D．8
【分析】将，转化为y＝（x+1+）﹣5，再利用基本不等式求解即可． 7 / 22 【解答】解：∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
∴＝（x+1）+﹣5≥2﹣5＝1，
当且仅当x＝2时取等号．
∴a＝2，b＝1，∴a+b＝3．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式，凑“积为定值”是关键，属于中档题．
6．（4分）在△ABC中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】利用二倍角公式代入cos2＝求得cosB＝，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2＝c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．
【解答】解：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝，
∴＝，
∴a2+c2﹣b2＝2a2，即a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：B． 8 / 22 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．
7．（4分）△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由正弦定理化简已知可得：b2﹣a2＝，又c＝2a，可解得a2+c2﹣b2＝3a2，利用余弦定理可得cosB，结合范围0＜B＜π，即可解得sinB．
【解答】解：∵bsinB﹣asinA＝asinC，
∴由正弦定理可得：b2﹣a2＝，
又∵c＝2a，
∴a2+c2﹣b2＝4a2﹣＝3a2，
∴利用余弦定理可得：cosB＝＝＝，
∴由于0＜B＜π，解得：sinB＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
8．（4分）若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【分析】在题目给出的等式中既含有x2，y2项，又含有xy项，求xy的最大值，可运用基本不等式先把等式中的x2，y2项替换9 / 22 掉，然后求解关于xy的一元二次不等式即可．
【解答】解：由4x2+9y2+3xy＝30，得2•2x•3y+3xy≤4x2+9y2+3xy＝30，
即15xy≤30，xy≤2，此时当且仅当，即x＝，时取得最大值．
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把已知的等式运用基本不等式转化为不等式求解，是基础题．
9．（4分）下列四个等式：
①tan25°+tan35°+；②＝1；③cos2；④＝4．
其中正确的等式个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由tan60°＝tan（25°+35°）展开两角和的正切判断①；由二倍角的正切判断②；由二倍角的余弦判断③；通分后利用两角和的余弦及诱导公式化简判断④．
【解答】解：∵tan60°＝tan（25°+35°）＝，
∴tan25°+tan35°+，故①正确；
＝，故②错误；
