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三角函数的和差与倍角公式练习题

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三角函数的和差与倍角公式练习题

1. 已知sin(x) = 1/2，cos(y) = 3/5，且x和y都属于第一象限，求sin(x+y)和cos(2x-y)的值。

解：首先，根据sin(x) = 1/2可知，x的角度必然是30度或150度（因为sin(30°) = 1/2，sin(150°) = 1/2），由于x属于第一象限，因此x

= 30°。

接下来，由cos(y) = 3/5可知，y的角度必然是53.13度（使用计算器求解），由于y属于第一象限，因此y = 53.13°。

根据和差公式sin(x+y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)，代入x =

30°，y = 53.13°，可得：

sin(x+y) = sin(30°+53.13°)

= sin(30°) * cos(53.13°) + cos(30°) * sin(53.13°)

= (1/2) * (3/5) + (√3/2) * (√2/2)

= 3/10 + 3√2/4

= (6 + 3√2) / 20

再根据倍角公式cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)，代入x = 30°，可得：

cos(2x) = cos(60°)

= 1 - 2sin^2(30°)

= 1 - 2(1/2)^2 = 1 - 1/2

= 1/2

继续代入y = 53.13°，可得：

cos(2y) = cos(106.26°)

= 1 - 2sin^2(53.13°)

= 1 - 2(√2/2)^2

= 1 - 2/2

= 1 - 1

= 0

最终得到sin(x+y) = (6 + 3√2) / 20，cos(2x-y) = 1/2。

2. 已知tan(a) = 3/4，且a属于第二象限，求tan(2a)和tan(5a)的值。

解：根据tan(a) = 3/4可知，a的角度必然是37.38度（使用计算器求解），由于a属于第二象限，因此a = 180° - 37.38° = 142.62°。

根据倍角公式tan(2a) = (2 * tan(a)) / (1 - tan^2(a))，代入a = 142.62°，可得：

tan(2a) = tan(285.24°)

= (2 * tan(142.62°)) / (1 - tan^2(142.62°))

= (2 * (3/4)) / (1 - (3/4)^2)

= (6/4) / (1 - 9/16) = (3/2) / (7/16)

= (3/2) * (16/7)

= 24/7

继续计算tan(5a)。根据和差公式tan(x+y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 -

tan(x)*tan(y))，可得：

tan(5a) = (tan(2a + 3a)) / (1 - tan(2a)*tan(3a))

代入a = 142.62°，可得：

tan(5a) = (tan(285.24° + 427.86°)) / (1 - tan(285.24°)*tan(427.86°))

= (tan(713.1°)) / (1 - tan(285.24°)*tan(427.86°))

= (tan(33.1°)) / (1 - (24/7) * tan(113.1°))

= (tan(33.1°)) / (1 - (24/7) * tan(-66.9°))

= (tan(33.1°)) / (1 + (24/7) * tan(66.9°))

使用计算器求解tan(33.1°) ≈ 0.6361，tan(66.9°) ≈ 2.3082，代入计算式中可得：

tan(5a) ≈ (0.6361) / (1 + (24/7) * 2.3082)

≈ 0.6361 / (1 + 7.4177)

≈ 0.6361 / 8.4177

≈ 0.0756

最终得到tan(2a) ≈ 24/7，tan(5a) ≈ 0.0756。 3. 已知sin(x) = 4/5，cos(x) < 0，求tan(2x)的值。

解：由于sin(x) = 4/5，那么根据勾股定理可求得cos(x) = -3/5（因为cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (4/5)^2 = -3/5）。

根据tan(2x) = (2 * tan(x)) / (1 - tan^2(x))，代入x的值，可得：

tan(2x) = (2 * tan(x)) / (1 - tan^2(x))

= (2 * (4/5)) / (1 - (4/5)^2)

= (8/5) / (1 - 16/25)

= (8/5) / (9/25)

= (8/5) * (25/9)

= 40/9

最终得到tan(2x) = 40/9。

通过以上三个练习题的计算，我们掌握了通过和差公式和倍角公式求解三角函数的和、差、倍角的方法。这使得我们能够更灵活地运用三角函数的性质来计算各种三角函数的值，提高了我们解决实际问题的能力。

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高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

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1. 己知 ，则tan 2a=_________．

【答案】

【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，

当=时，=，所以=2，所以==；

当=时，=-，所以=，所以==，

综上所述，的值为．

【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想

2. 凸四边形中，其中为定点，为动点，

满足.

（1）写出与的关系式；

（2）设的面积分别为和，求的最大值。

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；

（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．

（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：

3分

同理在⊿PQB中 ∴

∴ 6分

（2） 8分

∴

当时，。 12分

【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.

3. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.

（1）求B；

（2）设函数，求函数上的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.

（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为

再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围. 解：（1）解法一：

因为，所以 2分

由余弦定理得，整理得

所以 4分

又因为，所以. 6分

解法二：

因为，所以 2分

由正弦定理得

所以

整理得

因为，所以，所以 4分

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和差公式二倍角公式及半角公式

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-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三 角 函 数

1．两角和与差的三角函数

sincoscossin)sin(； sinsincoscos)cos(；

tantantan()1tantan。

2．二倍角公式

cossin22sin； 2222sin211cos2sincos2cos；

22tantan21tan。

3.半角公式：

22cos1sin2,22cos1cos2，2sin2cos12，2cos2cos12

1cossin22 ,1coscos22 ,1cossin1costan21cos1cossin

4．辅助角公式

22sincossinaxbxabx，2222sincosbaabab其中，。

5.积化和差公式：

sinsin21cossina, sinsin21sincosa

coscos21coscosa, coscos21sinsina

6. 和差化积公式：

sinsin2sincos22, sinsin2cossin22

coscos2coscos22, coscos2sinsin22 例题：

例1． 已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)的值.

例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值.

例2． 已知0coscos1sinsin，，求cos）的值（。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

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1. 若，则 . 【答案】2 【解析】由，得，即，整理得，即. 【考点】两角和的正切公式及三角函数式的恒等变形. 2. 若为锐角，且sin＝，则sin的值为________． 【答案】 【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=, ， 故答案为：. 【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值. 3. 已知,,分别为三个内角,,的对边, =sincos． (1)求； (2)若=,的面积为,求,． 【答案】(1) ；(2) 【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。 (2)由三角形面积可得。再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。 解 (1)由=sincos及正弦定理得

sinsin+cossin-sin=0,

由sin≠0,所以sin（+）=,

又0<

(2)△ABC的面积=sin=,故=4．

由余弦定理知2=2+2-2cos,得

代入=,=4解得,故

【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

4. 在中，角的对边分别为，

（1）若，求的值；

（2）设，当取最大值时求的值。 【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；

（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值 ．

试题解析：解：∵

∴

∴，即B= （3分）

（1）由

即 ∴ （5分）

当时，＜＜,C＜A＜B=

与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴ （7分）

（2）

（10分）

∵A∈（0，），∴∈，）